勾股定理的逆定理教案-新人教版

1、勾股定理的逆定的逆定理的探究方法二、過程與方法1用三邊的數(shù)量關(guān)系來判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想2通過對(duì)Rt判別條件的研究，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，勇于探索的創(chuàng)新精神三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1通過介紹有關(guān)歷史資料，激發(fā)學(xué)生解決問題的愿望2通過對(duì)勾股定理逆定理的探究；培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和創(chuàng)新精神教學(xué)重點(diǎn) 探究勾股定理的逆定理，理解互逆命題，原命題、逆命題的有關(guān)概念及關(guān)系教學(xué)難點(diǎn) 歸納、猜想出命題2的結(jié)論教具準(zhǔn)備 多媒體課件教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)問屬情境，引入新課 活動(dòng)1 (1)總結(jié)直角三角形有哪些性質(zhì) (2)一個(gè)三角形，滿足什么條件是直角三角形?設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的歸納總結(jié)

2、，聯(lián)想到用三邊的關(guān)系是否可以判斷一個(gè)三角形為直角三角形，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)反思問題的能力師生行為 學(xué)生分組討論，交流總結(jié)；教師引導(dǎo)學(xué)生回憶本活動(dòng)，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生： 能否積極主動(dòng)地回憶，總結(jié)前面學(xué)過的舊知識(shí)； 能否“溫故知新” 生：直角三角形有如下性質(zhì)：(1)有一個(gè)角是直角；(2)兩個(gè)銳角互余，(3)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方： (4)在含30角的直角三角形中，30的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半 師：那么，一個(gè)三角形滿足什么條件，才能是直角三角形呢? 生：有一個(gè)內(nèi)角是90，那么這個(gè)三角形就為直角三角形 生：如果一個(gè)三角形，有兩個(gè)角的和是90，那么這個(gè)三角形也是直角三角形 師：前面我們剛學(xué)習(xí)了勾股

3、定理，知道一個(gè)直角三角形的兩直角邊a，b斜邊c具有一定的數(shù)量關(guān)系即a2b2c2，我們是否可以不用角，而用三角形三邊的關(guān)系來判定它是否為直角三角形呢?我們來看一下古埃及人如何做? 二、講授新課 活動(dòng)2 問題：據(jù)說古埃及人用下圖的方法畫直角：把一根長蠅打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后以3個(gè)結(jié)，4個(gè)結(jié)、5個(gè)結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角 這個(gè)問題意味著，如果圍成的三角形的三邊分別為3、4、5有下面的關(guān)系“324252”那么圍成的三角形是直角三角形 畫畫看，如果三角形的三邊分別為2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的關(guān)系，“2.52626.52，畫出的三角形是直角三角形嗎?換成三

4、邊分別為4cm、7.5cm、8.5cm再試一試設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般，歸納猜想出“如果三角形三邊a，b，c滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形就為直免三角形的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力和尋求解決數(shù)學(xué)問題的一般方法師生行為 讓學(xué)生在小組內(nèi)共同合作，協(xié)手完成此活動(dòng)教師參與此活動(dòng)，并給學(xué)生以提示、啟發(fā)在本活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生：能否積極動(dòng)手參與能否從操作活動(dòng)中，用數(shù)學(xué)語言歸納、猜想出結(jié)論學(xué)生是否有克服困難的勇氣 生：我們不難發(fā)現(xiàn)上圖中，第(1)個(gè)結(jié)到第(4)個(gè)結(jié)是3個(gè)單位長度即AC3；同理BC4，AB5因?yàn)?24252我們圍成的三角形是直角三角形 生：如果三角形的三邊分別是2.5cm，6cm，6.5

5、cm我們用尺規(guī)作圖的方法作此三角形，經(jīng)過測量后，發(fā)現(xiàn)6.5cm的邊所對(duì)的角是直角，并且2.52626.52 再換成三邊分別為4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目標(biāo)可以發(fā)現(xiàn)8.5cm的邊所對(duì)的角是直角，且也有427.528.52 是不是三角形的三邊只要有兩邊的平方和等于第三邊的平方，就能得到一個(gè)直角三角形呢?活動(dòng)3 下面的三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長a，b，c 5，12，13；7，24，25；8，15，17 (1)這三組效都滿足a2b2c2嗎? (2)分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎?設(shè)計(jì)意圖：本活動(dòng)通過讓學(xué)生按已知數(shù)據(jù)作出三角形，并測量三角形三個(gè)內(nèi)角

6、的度數(shù)來進(jìn)一步獲得一個(gè)三角形是直角三角形的有關(guān)邊的條件師生行為：學(xué)生進(jìn)一步以小組為單位，按給出的三組數(shù)作出三角形，從而更加堅(jiān)信前面猜想出的結(jié)論， 教師對(duì)學(xué)生歸納出的結(jié)論應(yīng)給予解釋，我們將在下一節(jié)給出證明本活動(dòng)教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生：對(duì)猜想出的結(jié)論是否還有疑慮能否積極主動(dòng)的操作，并且很有耐心 生：(1)這三組數(shù)都滿足a2b2c2(2)以每組數(shù)為邊作出的三角形都是直角三角形 師：很好，我們進(jìn)一步通過實(shí)際操作，猜想結(jié)論 命題2 如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2b2c2那么這個(gè)三角形是直角三角形 同時(shí)，我們也進(jìn)一步明白了古埃及人那樣做的道理實(shí)際上，古代中國人也曾利用相似的方法得到直角直至科技發(fā)達(dá)的今天

7、人類已跨人21世紀(jì)，建筑工地上的工人師傅們?nèi)匀浑x不開“三四五放線法” “三四五放線法”是一種古老的歸方操作所謂“歸方”就是“做成直角”。譬如建造房屋，房角一般總是成90，怎樣確定房角的縱橫兩線呢?如下圖，欲過基線MN上的一點(diǎn)C作它的垂線，可由三名工人操作：一人手拿布尺或測繩的0和12尺處，固定在C點(diǎn)；另一人拿4尺處，把尺拉直，在MN上定出A點(diǎn)，再由一人拿9尺處，把尺拉直，定出B點(diǎn)，于是連結(jié)BC，就是MN的垂線 建筑工人用了3，4，5作出了一個(gè)直角，能不能用其他的整數(shù)組作出直角呢? 生：可以，例如7，24，25；8，15，17等 據(jù)說，我國古代大禹治水測量工程時(shí)，也用類似的方法確定直角活動(dòng)4 問

8、題：命題1 如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2b2c2命題2 如果三角形的三邊長分別為a，b，c，滿足a2b2c2那么這個(gè)三角形是直角三角形它們的題設(shè)和結(jié)論各有何關(guān)系?設(shè)計(jì)意圖：認(rèn)識(shí)什么樣的兩個(gè)命題是互逆命題，明白什么是原命題，什么是逆命題?你前面遇到過有互逆命題嗎?師生行為：學(xué)生閱讀課本，并回憶前面學(xué)過的一些命題教師認(rèn)真傾聽學(xué)生的分析教師在本活動(dòng)中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生；能否發(fā)現(xiàn)互逆命題的題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系能否積極主動(dòng)地回憶我們前面學(xué)過的互逆命題 生：我們可以看到命題2與命題1的題設(shè)結(jié)論正好相反，我們把像這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題如果把其中的一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做

9、它的逆命題例如把命題1當(dāng)成原命題，那么命題2是命題1的逆命題 生：我們前面學(xué)過平行線的性質(zhì)和判定其中“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆命題“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”和“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”也是互逆命題 生：“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”和“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”也是互逆命題三、課時(shí)小結(jié)活動(dòng)5問題：你對(duì)本節(jié)內(nèi)容有哪些認(rèn)識(shí)?設(shè)計(jì)意圖：這種形式的小結(jié)，激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)參與意識(shí)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為每一位學(xué)生都創(chuàng)造了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，并為程度不同的學(xué)生提供了充分展示自己的機(jī)會(huì)，尊重學(xué)生的個(gè)體差異，滿足學(xué)生多極化學(xué)習(xí)的需要師生行為：教師課前準(zhǔn)備卡片，

10、卡片上寫出三個(gè)數(shù)，讓學(xué)生隨意抽出，判斷以這三個(gè)數(shù)為邊的三角形能否構(gòu)成直角三角形 在活動(dòng)5中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生：(1)不同層次的學(xué)生對(duì)本節(jié)的認(rèn)知程度(2)學(xué)生再談收獲是對(duì)不同方面的感受(3)學(xué)生獨(dú)立面對(duì)困難和克服困難的能力板書設(shè)計(jì)活動(dòng)與探究 Tom和Jerry去野外宿營，在某地要確定兩條互相垂直的線，而身邊又未帶直角尺，可利用的只有背包帶，你能幫他們想一個(gè)簡單可行的辦法嗎? 過程：確定垂線，即為確定一個(gè)直角，進(jìn)而想到構(gòu)造直角三角形結(jié)果：可在背包帶上打結(jié)，在背包帶上打13個(gè)等距離的結(jié)，把第5個(gè)結(jié)固定在地上，Tom拿住第1個(gè)和第13個(gè)結(jié)，而Jerry拿住第8個(gè)結(jié)，拉直背包帶，第5個(gè)結(jié)處即為直角，(

11、圖略)18.2 勾股定理的逆定理(二)教學(xué)目標(biāo)一、知識(shí)與技能1了解證明勾股定理逆定理的方法2理解逆定理，互遞定理的概念二、過程與方法1經(jīng)歷證明勾股定理逆定理的過程，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力2經(jīng)歷互為逆定理的討論，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和實(shí)事求是求學(xué)精神三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1經(jīng)歷探索勾股定理逆定理證明的過程，培養(yǎng)學(xué)生克服困難的勇氣和堅(jiān)強(qiáng)的意志2培養(yǎng)學(xué)生與人合作、交流的團(tuán)隊(duì)意識(shí)教學(xué)重點(diǎn) 勾股定理逆定理的證明，及互逆定理的概念教學(xué)難點(diǎn) 互逆定理的概念教具準(zhǔn)備 多媒體課件教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 活動(dòng)1 以下列各組線段為邊長，能構(gòu)成三角形的是_(填序號(hào))，能構(gòu)成直角三角形的是_3

12、，4，5 1，3，4 4，4，6 6，8，10 5，7，2 13，5，12 7，25，24設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生回憶構(gòu)成三角形的條件和判定一個(gè)三角形為直角三角形的條件師生行為：由學(xué)生自己獨(dú)立完成，教師巡視學(xué)生填的結(jié)果 在此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生是否熟練地完成填空；學(xué)生是否積極主動(dòng)地完成任務(wù) 生：能構(gòu)成三角形的是：，能構(gòu)成直角三角形的是；二、講授新課 活動(dòng)2 問題：命題2是命題1的逆命題，命題1我們已證明過它的正確性，命題2正確嗎?如何證明呢?設(shè)計(jì)意圖：由特例猜想得到的結(jié)論，會(huì)讓一些同學(xué)產(chǎn)生疑慮，我們的猜想是否正確，必須有嚴(yán)密的推理證明過程，才能讓大家用的放心通過對(duì)命題2的證明，還可以提高學(xué)生

13、的邏輯推理能力師生行為：讓學(xué)生試著尋找解題思路；教師可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)證明的思路 本活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生：能否在教師的引導(dǎo)下，理清思路能否積極主動(dòng)地思考問題，參與交流、討論 師：ABC的三邊長a，b，c滿足a2b2c2如果ABC是直角三角形，它應(yīng)與直角邊是a，b的直角三角形全等，實(shí)際情況是這樣嗎?我們畫一個(gè)直角三角形ABC，使BCa，ACb，C90(如下圖)把畫好的ABC剪下，放在ABC上，它們重合嗎? 生：我們所畫的RtABC，ABa2b2，又因?yàn)閏2a2b2，所以AB2c2，即ABc ABC和ABC三邊對(duì)應(yīng)相等，所以兩個(gè)三角形全等，CC90ABC為直角三角形即命題2是正確的 師：很好，當(dāng)

14、我們證明了命題2是正確的，那么命題就成為一個(gè)定理由于命題1證明正確以后稱為勾股定理，命題2又是命題1的逆命題，在此，我們就稱定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理稱為互為逆定理 師：但是不是原命題成立，逆命題一定成立嗎? 生：不一定，如命題“對(duì)頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角”不成立 師：你還能舉出類似的例子嗎? 生：例如：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值也相等 逆命題：如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等 顯示原命題成立，而逆命題不成立活動(dòng)3 練習(xí)：1如果三條線段長a，b，c滿足a2c2b2這三條線段組成的三角形是不是直角三角形?為什么? 2

15、說出下列命題的逆命題這些命題的逆命題成立嗎? (1)兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 (2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等 (3)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 (4)在角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等設(shè)計(jì)意圖 進(jìn)一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本質(zhì)特征，以及互為逆命題的關(guān)系及正確性；提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和邏輯推理能力師生行為：學(xué)生獨(dú)立思考，自主完成；教師巡視完成練習(xí)的情況，以不同層次的學(xué)生給予輔導(dǎo)在此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生學(xué)生對(duì)勾股定理的逆定理的理解學(xué)生對(duì)互為逆命題的掌握情況學(xué)生面對(duì)困難，是否有克服困難的勇氣 師：我們先來完成練習(xí)第1題 生：a2c2b2，移項(xiàng)得a2b2c2，所以根據(jù)勾股定

16、理的逆定理，這三條線段組成的三角形是直角三角形 生：2(1)逆命題：如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么兩直線平行，此逆命題成立 (2)逆命題：如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)也相等，此逆命題不成立 (3)逆命題：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形全等，此逆命題不成立 (4)逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上，此逆命題成立三、鞏固提高 活動(dòng)4例1一個(gè)零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中A和DBC都應(yīng)為直角工人師傅量出了這個(gè)零件各邊尺寸，那么這個(gè)零件符合要求嗎? 例2(1)判斷以a10，b8，c6為邊組成的三角形是不是直角三角形 解：因?yàn)閍2b210064164c2，即a2b2c

17、2，所以由a，b，c不能組成直角三角形 請問：上述解法對(duì)嗎?為什么? (2)已知：在ABC中，AB13cm，BC10cm，BC邊上的中線AD12cm 求證：ABAC設(shè)計(jì)意圖：這是利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題的例子，可以使學(xué)生進(jìn)一步理解勾股定理的逆定理，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系 學(xué)生只要能用自己的語言表達(dá)清楚解決問題的過程即可師生行為：先由學(xué)生獨(dú)立完成，然后小組交流，討論；教師巡視學(xué)生完成問題的情況，及時(shí)給予指導(dǎo)在此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生：能否進(jìn)一步理解勾股定理的逆定理，能否用語言比較規(guī)范地書寫過程，說明理由能否從中體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的樂趣。 生：例1：分析：這是一個(gè)利用直角三角形的判定條件解決

18、實(shí)際問題的例子 解：在ABD中，AB2AD291625BD2，所以ABD是直角三角形，A是直角 在BCD中，BD2BC225144169132CD2，所以BCD是直角三角形，DBC是直角 因此這個(gè)零件符合要求 例2：(1)解：上述解法是不對(duì)的因?yàn)閍10，b8，c6，b2c26436100102a2，即b2c2a2所以由a，b，c組成的三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可構(gòu)成直角三角形，其中a是斜邊，b，c是兩直角邊 評(píng)注：在解題時(shí)，我們不能簡單地看兩邊的平方和是否等于第三邊的平方，而應(yīng)先判斷哪一條邊有可能作為斜邊往往只需看最大邊的平方是否等于另外蔭邊的平方和

19、(2)證明：根據(jù)題意，畫出圖形，AB13cm，BC10cmAD是BC邊上的中線BDCD5cm，在ABD中AD12cm，BD5cm，AB13cm，AB2169，AD2BD212252169所以AB2AD2BD2則ADB90ADC180ADB1809090 在RtADC中，AC2AD2CD212252132 所以ACAB13cm四；課時(shí)小結(jié)活動(dòng)5 問題：你對(duì)本節(jié)的內(nèi)容有哪些認(rèn)識(shí)，掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用，熟記幾組勾股數(shù) 設(shè)計(jì)意圖： 這種形式的小結(jié)，激發(fā)了學(xué)生主動(dòng)參與意識(shí)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣為每一位學(xué)生都創(chuàng)造了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)機(jī)會(huì) 小結(jié)活動(dòng)既要注重引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)體系化，又要從

20、能力、情感態(tài)度等方面關(guān)注學(xué)生對(duì)課堂的整體感受 師生行為： 教師可準(zhǔn)備好寫有勾股數(shù)的卡片，讓學(xué)生隨機(jī)抽取，讓學(xué)生說明如果將直角三角形的三條邊長同時(shí)擴(kuò)大一個(gè)相同的倍數(shù)，得到的三角形還是直角三角形嗎? 在活動(dòng)5，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生： 不同層次的學(xué)生對(duì)本節(jié)知識(shí)的認(rèn)識(shí)程度 學(xué)生再談收獲是對(duì)不同方面的感受 學(xué)生獨(dú)立面對(duì)困難和克服困難的能力，板書設(shè)計(jì) 18.2 勾股定理的逆定理(二)勾股定理的逆定理的證明構(gòu)造RtABC，使兩直角邊為a，b，C90，從而得斜邊ABc，得到ABCABC，所以CC90，ABC為直角三角形活動(dòng)與探究 給出一組式子：324252，8262102，15282172，242102262

21、(1)你能發(fā)現(xiàn)上面式子的規(guī)律嗎?請你用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，給出第5個(gè)式子； (2)請你證明你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律 過程：觀察式子，要注意這些式子中不變的形式，如等式兩邊每一項(xiàng)的指數(shù)為2，等式左邊是平方和的形式，右邊是一個(gè)數(shù)的平方很顯然，我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律一定是“( )2( )2( )2”的形式然后再觀察每一項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系，如32，82，152，242與序號(hào)有何關(guān)系，可知32(221)2，82(321)2，152(421)2，242(521)2；所以我們可推想，第項(xiàng)一定是(n21)2(其n1，n為整數(shù))，同理可得第二項(xiàng)一定是(2n)2，等式右邊一定是(n21)2(其中n1，n為整數(shù)) (1)解：上面的式于是有規(guī)律的

22、，即(n21)2(2n)2(n21)2(n為大于1的整數(shù)) 第5個(gè)式子是n6時(shí)，即(621)2(26)2(621)2化簡，得352122372 (2)證明：左邊(n21)2(2n)2(n42n21)4n2n42n21(n21)2右邊，證畢18.2 勾股定理的逆定理(三)教學(xué)目標(biāo)一、知識(shí)與技能 能運(yùn)用勾股定理的逆定理解決簡單的實(shí)際問題二、過程與方法1經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為敷學(xué)模型的過程，體會(huì)用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題的方法，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用章識(shí)2在解決實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)解決問題的策略，發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神3在解決實(shí)際問題的過程中，學(xué)會(huì)與人合作，并能與他人交流思維過程和結(jié)果，形成反思的

23、意識(shí)三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1在用勾股定理的逆定理探索解決實(shí)際問題的過程中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心2在解決實(shí)際問題的過程中，形成實(shí)事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨(dú)立思考問題的習(xí)慣教學(xué)重點(diǎn) 運(yùn)用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題教學(xué)難點(diǎn) 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學(xué)問題教具準(zhǔn)備 多媒體課件教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 活動(dòng)1問題1：小紅和小軍周日去郊外放風(fēng)箏，風(fēng)箏飛得又高又遠(yuǎn)，他倆很想知道風(fēng)箏離地面到底有多高，你能幫助他們嗎?問題2：如下圖所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要檢測正面的AD邊和BC邊是否垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺 (1)你能替他想

24、想辦法完成任務(wù)嗎? (2)李叔叔量得AD的長是30厘米，AB的長是40厘米，BD的長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎? (3)小明隨身只有一個(gè)長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎?BC邊與AB邊呢? 設(shè)計(jì)意圖： 通過對(duì)兩個(gè)實(shí)際問題的探究，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到勾股定理和勾股定理的逆定理在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力 在將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題時(shí)，肯定要有一定的困難，教師要給學(xué)生充分的時(shí)間和空間去思考，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑 師生行為： 先由學(xué)生自主獨(dú)立思考，然后分組討論，交流各自的想法 教師應(yīng)深入到學(xué)生的討論中去，對(duì)于學(xué)生出現(xiàn)的問

25、題，教師急時(shí)給予引導(dǎo) 在此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生， 能否獨(dú)立思考，尋找解決問題的途徑 能否積極主動(dòng)地參加小組活動(dòng)，與小組成員充分交流，且能靜心聽取別人的想法 能否由此活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣生：對(duì)于問題1，我們組是這樣考慮的：小紅拉著風(fēng)箏站在原地，小軍到風(fēng)箏的正下方也就是說小軍的頭頂就是風(fēng)箏小紅放線，使線端到達(dá)他所站的位置，然后在線端做一記號(hào)，最后收回風(fēng)箏，量出放出的風(fēng)箏線的總長度AB，再量出小明和小軍所站位置的兩點(diǎn)間的距離BC，利用勾股定理便可以求出AB的長度(如下圖所示) 生：對(duì)于問題2，我們組是這樣考慮的：李叔叔隨身只帶卷尺檢測AD，BC是否與底邊垂直，也就是要檢測DAB90，C

26、BA90，連接BD或AC，也就是要檢測DAB和CBA是否為直角三角形很顯然，這是一個(gè)需要用勾股定理的逆定理來解決的實(shí)際問題 根據(jù)我們的分析，用勾股定理的逆定理來解決，要檢測DA月是否為直角三角形，即DAB90，李叔叔只需用卷尺分別量出AB，BD、DA的長度，然后計(jì)算AB2DA2和BD2，看他們是否相等，若相等，則說明ADAB，同理可檢測BC是否垂直于AB 師：很好，對(duì)于問題2中的第(2)個(gè)小問題，李叔叔已量得AD，AB，BD的長度，根據(jù)他量出的長度能說明DA和AB垂直嗎? 生：可以，因?yàn)锳D2AB23024022500，而BD22500，所以AD2AB2BD2可得AD與AB垂直 師：小明帶的刻

27、度尺長度只有20厘米，他有辦法檢驗(yàn)AD與AB邊的垂直嗎? 生：可以利用分段相加的方法量出AD，AB，BD的長度 生：這樣做誤差太大，可以AB，AD上各量一段較小的長度例如在AB邊上量一小段AE8cm，在AD邊上量一小段AF6cm，而AE2AF282626436100102，這時(shí)只要量一下EF是否等于10cm即可 如果EF10cm，EF2100，則有AE2AF2EF2，根據(jù)勾股定理的逆定理可知AEF是直角三角形，EAF90即DAB90所以ADAB；如果EF10cm，則EF2100，所以AE2AF2EF2，AEF不是直角三角形，即AD不垂直于AB 師：看來，同學(xué)們方法還真多，沒有被困難嚇倒，祝賀你

28、們 接下來，我們繼續(xù)用勾股定理的逆定理解決幾個(gè)問題二、講授新課活動(dòng)2 問題：例1判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形 (1)a15，b8，c17； (2)a13，b14，c15； (3)求證：m2n2，m2n2，2mn(mn，m，n是正整數(shù))是直角三角形的三條邊長 設(shè)計(jì)意圖： 進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)用勾股定理的逆定理，實(shí)現(xiàn)數(shù)和形的統(tǒng)一，第(3)題又讓學(xué)生從一次從一般形式上去認(rèn)識(shí)勾股數(shù)，如果能讓學(xué)生熟記幾組勾股數(shù)，我們在判斷三角形的形狀時(shí)，就可以避開很麻煩的運(yùn)算 師生行為： 先由學(xué)生獨(dú)立完成，然后小組交流 教師應(yīng)巡視學(xué)生解決問題的過程，對(duì)成績較差的同學(xué)給予指導(dǎo) 在此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)

29、生： 能否用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。 能否發(fā)現(xiàn)問題，反思后及時(shí)糾正 能否積極主動(dòng)地與同學(xué)交流意見 生：根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方 解：(1)因?yàn)?528222564289， 172289， 所以15282172，這個(gè)三角形是直角三角形 (2)因?yàn)?32142169196365 152225 所以132142152這個(gè)三角形不是直角三角形 生：要證明它們是直角三角形的三邊，首先應(yīng)判斷這三條線段是否組成三角形，然后再根據(jù)勾股定理的逆定理來判斷它們是否是直角三角形的三邊長 (3)證明： mn、m、n是正整數(shù) (m2

30、n2)(m2n2)2m22mn， 即(m2n2)(m2n2)2mn 又因?yàn)?m2n2)2mnm2n(2mn)， 而2mnm(mn)0， 所以(m2n2)2mnm2n2 這三條線段能組成三角形 又因?yàn)?m2n2)2m4n42m2n2 (m2n2)2m4n42m2n2 (2mn)24m2n2， 所以(m2n2)2(2mn)2 m4n42m2n24m2n2 m4n42m2n2 (m2n2)2 所以，此三角形是直角三角形，m2n2、2mn、m2n2(mn、m、n是正整數(shù))這三邊是直角三角形的三邊 師：我們把像15、8、7這樣，能夠成為三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù) 而且我們不難發(fā)現(xiàn)m2n2、m

31、2n2、2mn也是一組勾股數(shù)，而且這組勾股數(shù)由于m可取值的不同會(huì)得到不同的勾股數(shù)， 例如m2，n1時(shí)，m2n222123，m2n222125，2mn2214，而3、4、5就是一組勾股數(shù) 你還能找到不同的勾股數(shù)嗎? 生：當(dāng)m3，n2時(shí)，m2n232225，m2n213，2mn23212，所以5、12、13也是一組勾股數(shù)， 當(dāng)m4，n2時(shí)，m2n2422212，m2n220，2mn24216，所以12、16、20也是一組勾股數(shù) 師：由此我們發(fā)現(xiàn)，勾股數(shù)組有無數(shù)個(gè)，而上面介紹的就是尋找勾股數(shù)組的一種方法 17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬也研究了勾股數(shù)組的問題，并且在這個(gè)問題的啟發(fā)下，想到了一個(gè)更一般的問題，

32、1637年，他提出了數(shù)學(xué)史上的一個(gè)著名猜想費(fèi)馬大定理，即當(dāng)n2時(shí)，找不到任何的正整數(shù)組，使等式xnynzn成立，費(fèi)馬大定理公布以后，引起了各國優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的關(guān)注，他們圍繞著這個(gè)定理頑強(qiáng)地探索著，試圖來證明它1995年，英籍?dāng)?shù)學(xué)家懷爾斯終于證明了費(fèi)馬大定理，解開了這個(gè)困惑世間無數(shù)智者300多年的謎 活動(dòng)3 問題：例2“遠(yuǎn)航”號(hào)，“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里，它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里，如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎? 設(shè)計(jì)意圖： 讓學(xué)生體會(huì)勾股定理的逆定理在航海中的應(yīng)用，從

33、而樹立遠(yuǎn)大理想，更進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值， 師生行為： 教師先鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)題意畫出圖形，然后小組內(nèi)交流討淪，教師需巡視，對(duì)有困難的學(xué)生一個(gè)啟示，幫助他們尋找解題的途徑 在此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注： 學(xué)生能否根據(jù)題意畫出圖形 學(xué)生能否積極主動(dòng)地參與活動(dòng) 學(xué)生是否充滿信心解決問題生：我們根據(jù)題意畫出圖形，(如下圖)，可以看到，由于“遠(yuǎn)航”號(hào)的航向已知，如果求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道“海天”號(hào)的航向了解：根據(jù)題意畫出下圖 PQ161.524， PR121.518，QA30 因?yàn)?42182302，即PQ2PR2QR2 所以QPR90 由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知，QPS45，所以RPS

34、45，即“海天”號(hào)沿西北或東南方向航行 三、鞏固提高 活動(dòng)4問題：A、B、C三地兩兩距離如下圖所示，A地在B地的正東方向，C地在B地的什么方向? 設(shè)計(jì)意圖： 進(jìn)一步熟練掌握勾股定理的逆定理的應(yīng)用 師生行為： 由學(xué)生獨(dú)立完成后，由一個(gè)學(xué)生板演，教師講解 解：BC2AB252122169， AC2132169， 所以BC2AB2AC2，即BC的方向與BA方向成直角，ABC90，C地應(yīng)在B地的正北方向四，課時(shí)小結(jié)活動(dòng)5 問題：談?wù)勥@節(jié)課的收獲有哪些?掌握勾股定理及逆定理，來解決簡單的應(yīng)用題，會(huì)判斷一個(gè)三角形是直角三角形 設(shè)計(jì)意圖： 這種形式的小結(jié)，激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)參與意識(shí)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為每一位學(xué)生都創(chuàng)造了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功體驗(yàn)的機(jī)會(huì) 師生行為： 教師課前可準(zhǔn)備一組小卡片，卡片上寫上針對(duì)這節(jié)課內(nèi)容不同形式的小問題，請同學(xué)們抽簽回答板書設(shè)計(jì) 182 勾股定理的逆定理(三)1勾股定理的逆定理一實(shí)際問題(判定直角三角形的形狀)2勾股數(shù)組3在實(shí)際生活中的應(yīng)用活動(dòng)與探究 如下圖，在正方形ABCD中E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，且CFCD求證：AEF是直角三角形過程：要證A