吉林省長春市2019屆高三質(zhì)量監(jiān)測(一)數(shù)學理

1、吉林省長春市2019屆高三質(zhì)量監(jiān)測（一）理科數(shù)學第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.已知集合，則（為自然數(shù)集）為（ ）A B C D3. 是邊長為1的等比三角形，已知向量滿足，則下列結論正確的是（ ）A B C D4.我國南宋數(shù)學家秦九韶所著數(shù)學九章中有“米谷粒分”問題：糧倉開倉收糧，糧農(nóng)送來米1512石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得216粒內(nèi)夾谷27粒，則這批米內(nèi)夾谷約（ ）A164石 B178石 C189石 D196石

2、5.命題：“，使”，這個命題的否定是（ ）A，使 B，使C，使 D，使6.按照如圖的程序框圖執(zhí)行，若輸出結果為31，則處條件可以是（ ）A B C D7.已知遞減等差數(shù)列中，成等比，若為數(shù)列的前項和，則的值為（ ）A-14 B-9 C-5 D-18某幾何體的三視圖如圖，其正視圖中的曲線部分為半圓，則該幾何體的體積是（ ）A B C D9.已知原點到直線的距離為1，圓與直線相切，則滿足條件的直線有多少條？A1條 B2條 C3條 D4條10.“龜兔賽跑”是一則經(jīng)典故事：兔子與烏龜在賽道上賽跑，跑了一段后，兔子領先太多就躺在道邊睡著了，當他醒來后看到烏龜已經(jīng)領先了，因此他用更快的速度去追，結果還是烏

3、龜先到了終點，請根據(jù)故事選出符合的路程一時間圖象（ ）11.雙曲線的左右焦點分別為，為右支上一點，且，則雙曲線的漸近線方程是（ ）A B C D12.已知實數(shù)滿足，實數(shù)滿足，則的最小值為（ ）A1 B2 C3 D4第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13. 展開式中的常數(shù)項是 .14.動點滿足，則的最小值為 .15.已知三棱錐，滿足兩兩垂直，且，是三棱錐外接球上一動點，則點到平面的距離的最大值為 .16.如圖，直角中，作的內(nèi)接正方形，再做的內(nèi)接正方形，依次下去，所有正方形的面積依次構成數(shù)列，其前項和為 .三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說

4、明、證明過程或演算步驟.） 17. （本小題滿分12分）已知.（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）在中，為銳角且，求.18. （本小題滿分12分）某人種植一種經(jīng)濟作物，根據(jù)以往的年產(chǎn)量數(shù)據(jù)，得到年產(chǎn)量頻率分布直方圖如圖所示，以各區(qū)間中點值作為該區(qū)間的年產(chǎn)量，得到平均年產(chǎn)量為455，已知當年產(chǎn)量低于350時，單位售價為20元/，若當年產(chǎn)量不低于350而低于550時，單位售價為15元/，當年產(chǎn)量不低于550時，單位售價為10元/.（1）求圖中的值；（2）試估計年銷售額的期望是多少？19. （本小題滿分12分）已知四棱錐中，底面為矩形，底面，為上一點，且平面.（1）求的長度；（2）求與平面所成角的余弦值.2

5、0. （本小題滿分12分）以邊長為4的等比三角形的頂點以及邊的中點為左、右焦點的橢圓過兩點.（1）求該橢圓的標準方程；（2）過點且軸不垂直的直線交橢圓于兩點，求證直線與的交點在一條直線上.21. （本小題滿分12分）已知函數(shù)，當時，與的圖象在處的切線相同.（1）求的值；（2）令，若存在零點，求實數(shù)的取值范圍.請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，為圓上一點，點在直線的延長線上，過點作圓的切線交的延長線于點，.（1）證明：；（2）若，求圓的半徑.23. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在

6、平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立坐標系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）曲線的極坐標方程為，求與的公共點的極坐標.24. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最大值為.（1）求的值；（2）若，求的最大值.長春市普通高中2019屆高三質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學（理科）試題參考答案及評分標準一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1. B2. C3. D4. C5. B6. C7. A 8. C9. C10. D11. B12. A簡答與提示：1. 【命題意圖】本題考查復數(shù)的實部和虛部運算與復數(shù)與平面內(nèi)點的對應關系. 【試題解

7、析】B題意可知，則，對應的點在第二象限. 故選B.2. 【命題意圖】本題考查集合中元素的計算與交集的運算.【試題解析】C 由已知，則，故選C. 3. 【命題意圖】本題考查平面向量的幾何表示中的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積運算.【試題解析】D由已知，的邊長為1，所以，則，因為，故選D.4. 【命題意圖】本題主要抽樣中的用樣本去估計總體.【試題解析】C 由已知，抽得樣本中含谷27粒，占樣本的比例為，則由此估計總體中谷的含量約為石. 故選C.5. 【命題意圖】本題是對邏輯問題中的特稱命題的否定進行考察. 【試題解析】B由已知，命題的否定為，故選B. 6. 【命題意圖】本題考查直到型循環(huán)結構程序框圖運算.【試

8、題解析】C有已知，符合條件輸出，故選C. 7. 【命題意圖】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的求取. 【試題解析】A由已知，即，且為遞減數(shù)列，則.有，故選A. 8. 【命題意圖】本題主要考查三視圖的還原，還涉及體積的求取. 【試題解析】C由題意，此模型為柱體，底面大小等于主視圖面積大小，即幾何體體積為，故選C. 9. 【命題意圖】本題主要考查相離兩圓的公切線的相關知識. 【試題解析】C由已知，直線滿足到原點的距離為，到點的距離為，滿足條件的直線即為圓和圓的公切線，因為這兩個圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線. 故選C. 10. 【命題意圖】本題背景基于經(jīng)典國學故事，考查圖像對函數(shù)特點的描述. 【

9、試題解析】D 由故事內(nèi)容不難看出，最終由烏龜先到達終點，故選D. 11. 【命題意圖】本題考查雙曲線的定義及漸近線的相關知識. 【試題解析】B由已知，則.又因為，則，即.則漸近線方程為，故選B. 12. 【命題意圖】本題是考查導數(shù)的幾何意義，但因為函數(shù)隱含在里面，不容易分離出來. 【試題解析】A因為，則，即因為，則，即. 要求取的表達式的本質(zhì)就是曲線上的點到直線距離的最小值. 因為，則，有，即過原點的切線方程為. 最短距離為. 故選A. 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 14. 15. 16. 簡答與提示：13. 【命題意圖】本題考查二項展開式系數(shù)問題. 【試題解析】常

10、數(shù)項為. 14. 【命題意圖】本題考查線性可行域的畫法及線性目標函數(shù)的最值求法. 【試題解析】由已知可得，線性可行域如圖所示，則線性目標函數(shù)在點取最小值3. 15. 【命題意圖】本題考查三棱錐的外接球問題，特別涉及到了三棱錐和長方體的外接球之間的關系. 【試題解析】由已知，可將三棱錐放入正方體中，其長寬高分別為，則到面距離最大的點應該在過球心且和面垂直的直徑上，因為正方體的外接球直徑和正方體的體對角線長相等，則. 則到面距離的最大值為.16. 【命題意圖】本題通過三角形為背景考查歸納推理及數(shù)列的相關知識，對學生的邏輯推理能力提出很高要求，是一道較難題. 【試題解析】數(shù)列an構成以為首項,以為公

11、比的等比數(shù)列,故.三、解答題17. (本小題滿分12分)【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的化簡以及恒等變換公式的應用，還有解三角形的內(nèi)容，如正弦定理等. 【試題解析】(1) 由題可知，令，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，. （6分）(2) 由，所以，解得或（舍）因此. （12分）18. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查學生對概率知識的理解，以及統(tǒng)計案例的相關知識，同時考查學生的數(shù)據(jù)處理能力.【試題解析】解：(1)由已知，即，有.（6分）（2） 由（1）結合直方圖可知 當年產(chǎn)量為時，其年銷售額為元； 當年產(chǎn)量為時，其年銷售額為元； 當年產(chǎn)量為時，其年銷售額為元； 當年產(chǎn)量為時，其年銷售額為元；

12、則估計年銷售額的期望為（元）.（12分）19. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題以四棱錐為載體，考查立體幾何的基礎知識. 本題通過分層設計，考查了線面角等知識，考查學生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.【試題解析】解：（1）如圖所示建立空間直角坐標系，由已知，.令，因為，所以，則. 因為且.所以，則. 即的長為.（6分）(2)因為，則， 因為面的一個法向量，令與面成角為，則，故.（12分）20. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題考查橢圓的幾何意義以及標準方程，直線和橢圓的位置關系及定值的求法，考查學生的邏輯思維能力和運算求解能力.【試題解析】(1) 由題意可知兩焦點為與，

13、且，因此橢圓的方程為. （4分）(2) 當不與軸重合時，設的方程為，且，聯(lián)立橢圓與直線消去可得，即，設，則： ： -得則，即. 當與軸重合時，即的方程為，即，.即： ： 聯(lián)立和消去可得.綜上與的交點在直線上. （12分）21. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)的知識，具體涉及到導數(shù)的運算，用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性等，以及函數(shù)圖像的判定，考查學生解決問題的綜合能力.【試題解析】(1) 當時，則，又，所以在處的切線方程為，又因為和的圖像在處的切線相同，所以. （4分）(2) 因為有零點所以即有實根. 令令則恒成立，而，所以當時，當時，. 所以當時，當時，.故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，即. 當時，當時，.根據(jù)函數(shù)的大致圖像可知. （12分）22. (本小題滿分10分)【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明，具體涉及到三角形相似等內(nèi)容. 本小題重點考查考生對平面幾何推理能力.【試題解析】 (1) 由已知連接，因為且公用，所以即 （5分）(2) 因為，所以因為，所以，即，則，故，所以半徑是. （10分）23. (本小題滿分10分)【命題意圖】本小題主要考查極坐標系與參數(shù)方程的相關知識，具體涉及到參數(shù)方程與平面直角坐標方程的互化、把曲線的參數(shù)方程和曲線的極坐標方程聯(lián)立求交點等內(nèi)容. 本小題考查考生的方程思想與數(shù)形結合思想，對運算求解能