第18講-取整計(jì)算

1、第18講 取整計(jì)算知識(shí)點(diǎn)撥 任何一個(gè)小數(shù)（或分?jǐn)?shù)）都可以分成整數(shù)和純小數(shù)（或真分?jǐn)?shù)）兩部分。在數(shù)學(xué)計(jì)算中，有時(shí)會(huì)略去數(shù)字的小數(shù)部分，而只取它的整數(shù)部分。比如，做一件上衣需要2米布，求5米布能做幾件上衣？由52=2.5，取2.5的整數(shù)部分2，得到正確答案是2件。為了方便，我們引進(jìn)符號(hào) ：a表示不超過數(shù)a的最大整數(shù)，稱為a的整數(shù)部分。與+，-，符號(hào)一樣，符號(hào)也是一種運(yùn)算，叫取整運(yùn)算。顯然，取整運(yùn)算具有以下性質(zhì)：對(duì)于任意的數(shù)字a，b，（1）aa；（2）aa1；（3）abab；（4）若ab，則ab；（5）若n是整數(shù)，則 an=an。同學(xué)們可以自己舉些例子來驗(yàn)證這五條性質(zhì)。例題精講【例1】計(jì)算134。解

2、：134=1334=17【例2】 1000以內(nèi)有多少個(gè)數(shù)能被7整除？分析與解：同學(xué)們?cè)谌昙?jí)“包含與排除”一節(jié)中就見過這類題目，現(xiàn)在我們用取整運(yùn)算來重新計(jì)算。1000以內(nèi)能被7整除的數(shù)，從1開始每7個(gè)數(shù)有1個(gè)，所以共有【例3】 求11000中能被2或3或5整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。 分析：由例2知道，11000中能被2，3，5整除的數(shù)分別有，個(gè)。如果認(rèn)為答案是這三個(gè)數(shù)相加就錯(cuò)了。因?yàn)橛行?shù)即能被2整除又能被3整除，這樣的數(shù)有個(gè)；有些數(shù)即能被2整除又能被5整除，這樣的數(shù)有個(gè)；有些數(shù)即能被3整除又能被5整除，這樣的數(shù)有個(gè).這些數(shù)都被重復(fù)計(jì)算了，應(yīng)當(dāng)減去。另外，同時(shí)能被2，3，5整除的數(shù)，開始被加了三遍，后來

3、又被減了三遍，所以還應(yīng)當(dāng)補(bǔ)上。也就是容斥原理。 解：+-+ =500+333+200-166-100-66+33 =734【例4】1000以內(nèi)有多少個(gè)數(shù)既不是3也不是7的倍數(shù)？分析：在11000中，除去“既不是3也不是7的倍數(shù)”的數(shù)，剩下的數(shù)或者是3的倍數(shù)，或者是7的倍數(shù)。用例3的方法可求出這部分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)。1000與這部分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)之差即為所求。解：=1000-333-142+47=572【例5】求下式約簡(jiǎn)后的分母：分析與解：因?yàn)?6=23，所以分母中的500個(gè)6相乘，等于25003500。只要我們求出分子中有多少個(gè)因子2、多少個(gè)因子3，就可以與分母中的因子2和因子3約分了。因?yàn)榉肿拥?000個(gè)

4、因數(shù)中有500個(gè)偶數(shù)，所以至少有500個(gè)因子2，這樣分母中的500個(gè)因子2將被全部約掉。分子中有因子3的數(shù)，有的只有1個(gè)因子3，有的有2個(gè)因子3，等等。因?yàn)?6=7291000372187，所以分子的每個(gè)因數(shù)最多有6個(gè)因子3。因?yàn)樵?1000中，至少有1個(gè)因子3的數(shù)有個(gè)，至少有2個(gè)因子3的數(shù)有個(gè)至少有6個(gè)因子3的數(shù)有個(gè)，所以分子中因子3的個(gè)數(shù)為與分母約分后，分母還剩兩個(gè)因子3。所以，約簡(jiǎn)后的分母是9。注意：在上面的計(jì)算中，并不需要真的這樣計(jì)算。因?yàn)槭街械姆肿佣际?000，分母依次是3，32，33，后面一個(gè)是前面一個(gè)的3倍，所以在取整運(yùn)算中，只需口算：1000除以3等于333（小數(shù)部分舍掉，下同

5、），333除以3等于111，111除以3等于37，37除以3等于12，12除以3等于4，4除以3等于1。于是得到333111371241=498（個(gè)）。在上面的運(yùn)算中，當(dāng)?shù)脭?shù)小于3時(shí)就自然停止，事先不必求出分母最大是3的幾次方。【例6】 在下面的等式中，M，n都是自然數(shù)，n最大可以取幾？1239910012nM。分析與解：因?yàn)?2=223，所以只要求出等號(hào)左邊有多少個(gè)因子2、多少個(gè)因子3，這些因子2和因子3能“湊”出多少個(gè)12，問題就解決了。與例5類似，可求出等號(hào)左邊因子2和因子3分別有因?yàn)?7個(gè)因子2與48個(gè)因子3最多可以“湊”出48個(gè)12，所以n最大是48。【課后練習(xí)】【1】計(jì)算【2】請(qǐng)給出三個(gè)數(shù)a，b，c，使?jié)M足：ab=ab，acac?！?】在10002000中，有多少個(gè)數(shù)是8的倍數(shù)？【4】500以內(nèi)有多少個(gè)數(shù)能被3