函數(shù)極限與連續(xù)性知識點(diǎn)及典例

1、重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),高等數(shù)學(xué)電子教案,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),主要內(nèi)容,典型例題,習(xí) 題 課,第一章 函數(shù)極限與連續(xù),重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),一、基本要求 1、理解函數(shù)的概念、了解函數(shù)的性質(zhì). 2、理解數(shù)列和函數(shù)極限的定義；掌握極限的性質(zhì)、存在準(zhǔn)則，熟練應(yīng)用極限運(yùn)算法則求數(shù)列和函數(shù)極限。 3、了解無窮小與無窮大的定義和性質(zhì)，掌握等價(jià)無窮小的運(yùn)算性質(zhì)。 4、掌握函數(shù)連續(xù)性和間斷點(diǎn)，理解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),一）極限的概念,二）連續(xù)的概念,二、主要內(nèi)容,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),左右極限,兩個(gè)重要 極限,求極限的常用方

2、法,無窮小 的性質(zhì),極限存在的 充要條件,判定極限 存在的準(zhǔn)則,無窮小的比較,極限的性質(zhì),數(shù)列極限,函 數(shù) 極 限,等價(jià)無窮小 及其性質(zhì),唯一性,兩者的 關(guān)系,無窮大,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),1. 極限的定義,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),左極限,右極限,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),另兩種情形,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),無窮小,極限為零的變量稱為無窮小,絕對值無限增大的變量稱為無窮大,無窮大,在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大,無窮小與無窮大的關(guān)系,2.

3、無窮小與無窮大,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),定理1 在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小,定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小,推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小,推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小,推論3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小,無窮小的運(yùn)算性質(zhì),重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),定理,推論1,推論2,3. 極限的性質(zhì),重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),4. 求極限的常用方法,a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限; b.消去零因子法求極限; c.無窮小因子分出法求極限; d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限; e.利用左右極限求分段函數(shù)極限,重慶郵電大學(xué)

4、市級精品課程-高等數(shù)學(xué),5. 判定極限存在的準(zhǔn)則,夾逼準(zhǔn)則,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),1,2,6. 兩個(gè)重要極限,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),定義,7. 無窮小的比較,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),定理(等價(jià)無窮小替換定理,8. 等價(jià)無窮小的性質(zhì),9. 極限的唯一性,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),左右連續(xù),在區(qū)間a,b 上連續(xù),連續(xù)函數(shù) 的 性 質(zhì),初等函數(shù) 的連續(xù)性,間斷點(diǎn)定義,連 續(xù) 定 義,連續(xù)的 充要條件,連續(xù)函數(shù)的 運(yùn)算性質(zhì),非初等函數(shù) 的連續(xù)性,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),1. 連續(xù)的定義,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),定理,3. 連續(xù)的

5、充要條件,2. 單側(cè)連續(xù),重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),4. 間斷點(diǎn)的定義,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),1) 跳躍間斷點(diǎn),2)可去間斷點(diǎn),5. 間斷點(diǎn)的分類,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn),特點(diǎn),可去型,第一類間斷點(diǎn),跳躍型,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),無窮型,振蕩型,第二類間斷點(diǎn),第二類間斷點(diǎn),重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),6. 閉區(qū)間的連續(xù)性,7. 連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì),定理,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),定理1 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù),定理2,8. 初等函數(shù)的連續(xù)性,定理3,重慶郵電大學(xué)市級精

6、品課程-高等數(shù)學(xué),定理4 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的,定理5 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間,9. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),定理2(有界性定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值m與最小值m之間的任何值,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),2,1,3,典型例題,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),6,4,5,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),典型例題解答,1,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),解,將分子、分母同乘以因子(1-x), 則,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),解,解法討論,2,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),解,3,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),4,解,重慶郵電大學(xué)市級精品課程-高等數(shù)學(xué),重慶郵電大學(xué)市級精