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1、一、第一類(lèi)換元積分法,二、第二類(lèi)換元積分法,5.4 換元積分法,引例,一、第一類(lèi)換元積分法,觀察,湊微分,換元,回代,已知,湊微分法,一、第一類(lèi)換元積分法,第一類(lèi)換元積分法過(guò)程,一、第一類(lèi)換元積分法,如果f(u)、(x)及(x)都是連續(xù)函數(shù) 且,證明,只要證明F(x)f (x)(x,設(shè)F(u)f(u) 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式易知,f (x)(x,f(u)(x,F (u)(x,F(x,觀察,湊微分,換元,回代,一、第一類(lèi)換元積分法,第一類(lèi)換元積分法過(guò)程,解,令u2x1,再將u2x1代入上式得,解,令ux23,特殊類(lèi)型三角函數(shù)的積分,形如,1) m, n中有一個(gè)為奇數(shù),2) m,n均為正偶數(shù),降冪,解

2、,求,解,求,ln|csc xcot x|C,計(jì)算下列不定積分,二、第二類(lèi)換元積分法,xt23 此時(shí) dx2tdt,設(shè)x(t)單調(diào)可導(dǎo) 且(t)0 如果f(x)的原函數(shù)不易求得 而復(fù)合函數(shù)f (t)(t)的原函數(shù)F(t)易于求得 則有積分法,這是因?yàn)?由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與反函數(shù)求導(dǎo)法則,二、第二類(lèi)換元積分法,求微分,二、第二類(lèi)換元積分法-根式代換,xt23 此時(shí) dx2tdt,解,設(shè)xasint,則dxacostdt 且,二、第二類(lèi)換元積分法-三角代換,解,設(shè)xatan t,則dxasec2tdt 且,ln|secttan t|C1,其中CC1lna,解,設(shè)xasec t,則dxasec ttan tdt 且,其中CC1lna,1,一般令,或,2,一般令,或,3,一般令,或,總結(jié)例1012，有如下規(guī)律：若被積函數(shù)含有 如下“根號(hào)形式”時(shí),二、第二類(lèi)換元積分法-三角代換,就有,萬(wàn)能代換常用于三角函數(shù)有理式的積分,令,二、第二類(lèi)換元積分法-萬(wàn)能代換,例13,解法一 ( 用萬(wàn)能代換,解法二 ( 用初等化簡(jiǎn),解法三 ( 用初等化簡(jiǎn), 并湊微分,解,例 14,當(dāng)分母次數(shù)高于分子次數(shù), 且

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