數(shù)學(xué)212《空間中直線與直線之間的位置關(guān)系》課件（新人教版必修2

1、空間中直線與直線的位置關(guān)系,判斷下列直線的位置關(guān)系: 1、豎直的兩條電線桿所在的直線,思考:在平面內(nèi)，兩條不重合的直線之間有幾種位置關(guān)系,2、十字路口的兩條路所在的直線,3、教室內(nèi)的日光燈管所在的直線與黑板的左右兩側(cè) 所在的直線,空間的兩直線呢,1.空間中兩條直線的位置關(guān)系,觀察,觀察教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線,想一想:它們相交嗎?平行嗎?共面嗎,觀察正方體的棱所在 直線,回答類似的問題,思考：我們把具有上述特征的兩條直線取個(gè)怎樣的名字才好呢,l,m,P,m,l,圖1,圖2,l,l,l,l,空間中兩直線的位置關(guān)系,從圖中可見，直線 l 與 m 既不相交，也不平行?？臻g中

2、直線之間的這種關(guān)系稱為異面直線,不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。（既不相交也不平行的兩條直線,不同在任何一個(gè)平面內(nèi),1、異面直線,判斷,直線m和l是異面直線嗎,2) ,則 與 是異面直線,3)a,b不同在平面 內(nèi),則a與b異面,異面直線的畫法,通常用一個(gè)或兩個(gè)平面來襯托,異面直線 不同在任何一個(gè)平面的特點(diǎn),這樣表示a、b異面正確嗎,想一想,做一做,1.已知M、N分別是長方體的棱C1D1與CC1上的點(diǎn)，那么MN與AB所在的直線是異面直線嗎,a,b,c是三條直線,若a,b是異面直線, b,c是異面直線,判斷a,c的位置關(guān)系,并畫圖說明,想一想,做一做,2. 下圖是一個(gè)正方體的展開圖，如

3、果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對(duì),想一想,做一做,三對(duì),AB與CD AB與GH EF與GH,3,異面直線的判定定理,異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線,與 是異面直線,例1.已知空間四邊形ABCD，E、F分別為BC、DA的中點(diǎn). 求證：AE和CF是異面直線,A,B,C,D,E,F,證明,所以AE和CF是異面直線,空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種,沒有,只有一個(gè),沒有,共面,不共面,共面,空間中兩條直線的位置關(guān)系,2.空間兩平行直線,提出問題：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么

4、這兩條直線互相平行。在空間中，是否有類似的規(guī)律,公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行,公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用,公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù),ab cb,ac,符號(hào)表示：設(shè)空間中的三條直線分別為a, b, c,若,想一想:空間中,如果兩條直線都與第三條直線垂直,是否也有類似的規(guī)律,例題示范,例1： 在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)。 求證：四邊形EFGH是平行四邊形,分析,欲證EFGH是一個(gè)平行四邊形,只需證EHFG且EHFG,E，F(xiàn)，G，H分別是各邊中點(diǎn),連結(jié)BD,只需證： EH BD且EH BD FG

5、 BD且FG BD,例題示范,例1： 在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)。 求證：四邊形EFGH是平行四邊形,變式一： 在例1中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形,E,H,F,G,分析： 在例題1的基礎(chǔ)上我們只需要證明平行四邊形的兩條鄰邊相等,菱形,變式二,空間四面體A-BCD中,E,H分別是AB,AD的中點(diǎn),F,G分別是CB,CD上的點(diǎn),且 ， 求證:四邊形ABCD為梯形,A,B,C,D,E,H,F,G,分析：需要證明四邊形ABCD有 一組對(duì)邊平行，但不相等,一條直線與兩條異面直線中的一條相交， 那么它與另一條之間的位置關(guān)系是（,平

6、行、相交 、異面、可能平行、可能相交、可能異面,兩條異面直線指的是（,沒有公共點(diǎn)的兩條直線,分別位于兩個(gè)不同平面的兩條直線,某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線,不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線,練習(xí),3、下列命題中，其中正確的是,若兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線互相平行,若兩條直線都和第三條直線相交，那么這兩條直線互相平行,若兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行,若兩條直線都和第三條直線異面，那么這兩條直線互相平行,3.等角定理,提出問題:在平面上,我們?nèi)菀鬃C明“如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”。在空間中,結(jié)論是否仍然成立呢,觀察思考：如

7、圖,ADC與ADC、ADC與ABC的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何,3.等角定理,定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ),3.等角定理,定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ),定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等,兩直線的夾角,兩直線相交所成的4個(gè)角中,其中不大于 的角叫做兩直線的夾角,三、兩條異面直線所成的角,如圖所示，a，b是兩條異面直線,在空間中任選一點(diǎn)O,過O點(diǎn)分別作 a，b的平行線 a和 b,a,b,則這兩條線所成,的銳角（或直角,稱為異面直線a，b所成的角,任選,若

8、兩條異面直線所成角為90，則稱它們互相垂直,異面直線a與b垂直也記作ab,異面直線所成角的取值范圍,平移,異面直線所成的角,如果兩條異面直線所成的角為直角，就說兩條直線互相垂直，記作ab,例 1.在正方體ABCDA1B1C1D1中，指出下列各對(duì)線段所成的角： 1）AB與CC1； 2）A1 B1與AC； 3) A1B與D1B1,1）AB與CC1所成的角,9 0,2）A1 B1與AC所成的角,4 5,3）A1B與D1B1所成的角,6 0,求異面直線所成角的一般步驟: (1)平移作角作 (2)補(bǔ)形說角證 (3)計(jì)算求角求,例2.正四面體ABCD(四個(gè)面都是全等的等邊三角形)中,M,N分別是BC和AD

9、的中點(diǎn),求異面直線AM和CN所成角的余弦值,A,B,C,D,M,N,H,解:連結(jié)DM，取DM中點(diǎn)H,連結(jié)NH、CH，則有NHAM,所以CHN為AM和CN所成的角,令BC=a,或其補(bǔ)角,例3.在空間四邊形ABCD中,對(duì)角線AC=10,BD=6,M,N分別為AB,CD的中點(diǎn),MN=7,求異面直線AC和BD所成的角,A,B,C,D,M,N,P,NPM=1200,即異面直線AC和BD所成的角是600,解:取AD中點(diǎn)P，連結(jié)MP、NP,MPBD、NPAC,MP=3、NP=5,NPM就是AC和BD所成的角 (或其補(bǔ)角,為什么,例4.長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值,取BB1的中點(diǎn)M，連O1M，則O1MD1B,如圖，連B1D1與A1C1 交于O1,于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補(bǔ)角,O1,M,解,為什么,平移法：即根據(jù)定義，以“運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)，用“平移轉(zhuǎn)化”的方法，使之成為相交直線所成的角,補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長方體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系,例5.長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值,定角一般方法有,1）平移法（常用方法,小結(jié),3.求異面直線所成的角是把空