行列式彭麗華ppt課件

1、第二節(jié) 行列式,第一章,一、n 階行列式的定義,三、行列式按行(列)展開,二、行列式的性質(zhì),四、 小結(jié),一、二階行列式的概念,數(shù) aij ( i, j =1, 2) 表示第 i 行第 j 列的元素,副對(duì)角線,主對(duì)角線,定義,二階行列式,說明 對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式,對(duì)角線法則,定義,二、三階行列式,其中 aij ( i , j =1, 2, 3 ) 表示第 i 行第 j 列上的元素,三階行列式,三階行列式的計(jì)算可如下圖,定理,定義,三、排列與逆序數(shù),為了得到 n 階行列式的定義和討論其性質(zhì), 先引 入排列和逆序數(shù)的概念,由自然數(shù) 1, 2, , n 組成的一個(gè)有序數(shù)組，稱為一個(gè) n

2、 級(jí)排列. 其中若某兩數(shù)之間前面的數(shù)大于后面的數(shù), 則稱它們構(gòu)成一個(gè)逆序. 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù),n 級(jí)排列 (i1 i2in ) 的逆序數(shù)記為(i1i2in), 簡(jiǎn)記為 . 例如, 四級(jí)排列 2314 中, 2與1, 3 與 1 構(gòu)成逆序, 故 (2314) = 2; 再如六級(jí)排列 243516 中, 2 與 1, 4 與 1, 3 與 1, 5與 1, 4 與 3 均構(gòu)成逆序, 故 (243516) = 5,奇、偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列, 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列,如四級(jí)排列 2314 是偶排列，而六級(jí)排列 243516 為奇排列,對(duì)換：將一個(gè)排列某兩

3、個(gè)數(shù)的位置互換而其余的數(shù)不動(dòng), 則稱對(duì)該排列作了一次對(duì)換,一次對(duì)換改變排列的奇偶性,四、n 階行列式的定義,利用排列與逆序數(shù)的概念, 可以看出三階行列式,中共 3! = 6 項(xiàng), 其中一半帶正號(hào), 一半帶負(fù)號(hào),123)= 0,312)=2,231)=2,321)=3,132)=1,213)=1,其中 是對(duì)所有三級(jí)排列 ( j1 j2 j3 ) 求和,三階行列式可記為,其中 是對(duì)所有二級(jí)排列 (j1 j2) 求和,同樣, 二階行列式,例1,解,定義,仿此, 可得,n 階行列式,其中 是對(duì)所有 n 級(jí)排列 ( j1 j2jn ) 求和, 而 aij 仍稱為第 i 行第 j 列的元素,由定義 可知,

4、 n 階行列式是所有取自不同行不同列的 n 個(gè)元素乘積的代數(shù)和, 且共有 n! 項(xiàng), 其中一半帶正號(hào), 一半帶負(fù)號(hào),在一個(gè)五階行列式中 a13 a24 a32 a41a55 的前面應(yīng)取什么符號(hào),由于 (3 4 2 1 5) = 5 , 列下標(biāo)為奇排列,故 a13 a24 a32 a41 a55 前應(yīng)帶負(fù)號(hào),上一頁,上一頁,例2 計(jì)算上三角行列式,展開式中項(xiàng)的一般形式是,所以不為零的項(xiàng)只有,解,例3,計(jì)算下列 n 階行列式,稱為下三角行列式,由定義，D 中取自不同行不同列的 n 個(gè)元素的乘積，除了 a11 a22 ann 外，其余全為 0 ，而 a11 a22 ann 的 列下標(biāo)的排列為 (12

5、 n),1 2 n ) = 0,D = (1)0 a11 a22 ann,故,解,作為例 3 的 特例，可知下面的 n 階行列式(稱為對(duì)角行列式,上一頁,a11 a22 ann,例4,計(jì)算 n 階行列式,取 D 中不在同一行不在同一 列的 n 個(gè)元素的乘積, 除 a1n a2, n-1 an1 外, 其余全為 0 , 而 a1n a2,n-1 an1 的列下標(biāo)的排列為 (n, n1, 1,故,解,由例 4 立即可知,上一頁,在 n 階行列式的定義中，為了確定每一項(xiàng)的符號(hào)，把 n 個(gè)元素的行下標(biāo)均按自然順序排列.事實(shí)上，數(shù)的乘法是可交換的，因而這 n 個(gè)元素相乘時(shí)次序可以是任意的，故有,定理,n

6、 階行列式的定義也可寫成,由上述定理還可知道, 若將列下標(biāo)按自然順序排列, 則有,小結(jié): n 階行列式的定義有三種形式,上一頁,性質(zhì)1,n 階行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,則 D = DT,即,如,由此可得行列式的下列性質(zhì),由性質(zhì) 1 可知,上三角行列式,下三角行列式,三角行列式,上一頁,性質(zhì)1,按定義計(jì)算行列式較麻煩, 因此有必要討論行列式的性質(zhì)以簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算,行列互換，行列式的值不變,即,五、行列式的性質(zhì),說明 行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立,則 D = DT,性質(zhì)2,交換 n 階行列式的任意兩行 ( 列 ) , 行列式僅改變符號(hào),即,這是因?yàn)?/p>

7、行列式 D 的這兩行互換后得 D = D, 從而 D = 0,如二階行列式,而,兩者異號(hào),推論1,若 n 階行列式有兩行 ( 列 ) 的對(duì)應(yīng)元素相同, 則行列式為零,上一頁,性質(zhì)3,把行列式的某行(列)的所有元素同乘以數(shù) k , 等于該行列式乘以數(shù) k,即,由性質(zhì) 3 可知, 若行列式某行 ( 列 ) 有公因式則可提出來,結(jié)合性質(zhì) 2 和性質(zhì) 3 , 有,若 n 階行列式有兩行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例,則該行列式為零,若 n 階行列式有某行(列)全為零, 則行列式為零,推論2,推論3,證,右,上一頁,性質(zhì)4,若 n 階行列式的某行(列)的各元素是兩個(gè)數(shù)的和,則該行列式等于兩個(gè)行列式的和,即,如,1

8、0,而,即,上一頁,性質(zhì)5,把 n 階行列式的某行 ( 列 ) 的各元素乘以數(shù) k 后加到另一行 ( 列 )的對(duì)應(yīng)元素上去,行列式的值不變,即,性質(zhì) 5 可由性質(zhì) 4 及性質(zhì) 3 的推論 2 得出,如,兩者相等,上一頁,行列式還有三條推論,1. 行列式 D 有兩行 ( 列 ) 各元素對(duì)應(yīng)相同，則 D = 0,2. 行列式 D 有兩行 ( 列 ) 各元素對(duì)應(yīng)成比例，則 D = 0,3. 行列式 D 有某行 ( 列 )各元素全為零，則 D = 0,由上節(jié)例 2 可知上（下）三角形行列式簡(jiǎn)單易求, 因此對(duì)任一行列式,可利用行列式的性質(zhì), 將其化為 一個(gè)與之相等的上（下）三角形行列式, 從而簡(jiǎn)化行列式

9、的計(jì)算,為表達(dá)簡(jiǎn)捷,計(jì)算行列式時(shí), 以 ri 表示每 i 行, ci,以 k 加到第 i 行記作 ri+krj,將第 j 行乘,表第 i 列, 交換 i, j 兩行記作,小結(jié),2. 交換行列式的兩行 ( 列 ) ，行列式僅變號(hào),3. 行列式某行 ( 列 ) 的公因式可提出,4. 行列式某行 ( 列 ) 的元素均為兩數(shù)之和，則原行列式等于另兩行列式之和,5. 行列式某行 ( 列 ) 的各元素乘以數(shù) k 后加到另一行 ( 列 ) 對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變,行列式有五條性質(zhì),上一頁,1. 行列互換，行列式的值不變,例1,計(jì)算行列式,解,上一頁,例2,解,計(jì)算 n 階行列式,上一頁,例3,解,計(jì)算

10、 n 階行列式,ri+ r1,i 1,上一頁,六、行列式按行(列)展開,計(jì)算行列式時(shí), 除將其化為三角行列式外,還可考慮將高階行列式化為低階行列式直至二階行列式, 因?yàn)槎A行列式的計(jì)算極為簡(jiǎn)單, 為此引入余子式和代數(shù)余子式的概念,定義,在 n 階行列式中,去掉 aij ( i , j =1, 2, n ) 所在的行與所在列后剩下的 n1 階行列式稱為元素 aij 的余子式,記為 Mij . 余子式 Mij 帶上符號(hào) (1)i+j 則稱為元素 aij 的代數(shù)余子式, 記為 Aij , 即 Aij = (1)i+j Mij,元素 a11 = 1的余子式和代數(shù)余子式分別為,如三階行列式,中,元素 a

11、12 = 2 的余子式和代數(shù)余子式分別為,而元素 a13 = 3 的余子式和代數(shù)余子式分別為,通過直接計(jì)算可知,而,兩者相等, 這個(gè)現(xiàn)象不是偶然的. 事實(shí)上, 有,定理1,Laplace 展開定理 ) 行列式等于它的任一行(列) 的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,D,或,D,即,上一頁,Laplace 展開定理又稱為行列式按行(列)展開的法則. 利用這一法則并結(jié)合行列式的性質(zhì), 可把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式的計(jì)算, 從而簡(jiǎn)化計(jì)算,用 Laplace 展開定理解例 1,例4,解,上一頁,計(jì)算 n 階行列式,將其直接按第一列展開, 得,解,上一頁,上一頁,推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即,證,上一頁,同理,上一頁,關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì),證明范德蒙 ( Vandermonde ) 行列式,其中 n 2, 稱為連乘號(hào),這里表示所有可能的 xi xj (1 j i n) 的乘積,上一頁,證,用數(shù)學(xué)歸納法,解,原式,此為四階范德蒙行列式, 于是,求四階行列式,例8,證明,上一頁,證明,上一頁,方陣的行列式,定義