常數(shù)數(shù)級數(shù)的審斂法

1、正項級數(shù)及其審斂法,交錯級數(shù)及其審斂法,第二節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的審斂法,1. 定義,正項級數(shù),2. 充要條件,單調(diào)增加數(shù)列,這時,部分和數(shù)列只可能有兩種情形,一、正項級數(shù)及其審斂法,正項級數(shù)的部分和數(shù)列,定理1(基本定理,一般的級數(shù)，部分和數(shù)列存在極限，才可以保證級數(shù)的收斂性,對于正項級數(shù)，只要部分和數(shù)列有界，就可以保證級數(shù)收斂,正項級數(shù)收斂,部分和所成的數(shù)列,有界,上述充要條件，僅僅對正項級數(shù)成立,發(fā)散的級數(shù)，部分和數(shù)列沒有極限,發(fā)散的正項級數(shù)，部分和數(shù)列一定趨于無窮大,例 判定 的斂散性,解,由定理1知,故級數(shù)的部分和,可與另一個已知斂散性的正項級數(shù)比較來確定,該正項級數(shù)收斂,啟示,判定一個正

2、項級數(shù)的斂散性,由于,3. 比較審斂法,證,定理2,即部分和數(shù)列有界,則,收斂,收斂,發(fā)散,發(fā)散,收斂,不是有界數(shù)列,發(fā)散,發(fā)散,發(fā)散,證,比較審斂法的不便,須有參考級數(shù),推論,發(fā)散,收斂,收斂,發(fā)散,均為正項級數(shù)，則,因為級數(shù)的每一項乘以非零的數(shù)，或者去掉有限項不會影響到級數(shù)的斂散性，則有,解,1,2,用比較審斂法,發(fā)散,例,討論,的收斂性,收斂,常用,1) 幾何級數(shù),使用正項級數(shù)的比較判定法時,常用的比較級數(shù),一些級數(shù)的斂散性,作為比較的標(biāo)準(zhǔn),需要知道,2) p-級數(shù),3) 調(diào)和級數(shù),發(fā)散,例 討論下列正項級數(shù)的斂散性,解 (1,而等比級數(shù) 收斂,原級數(shù)收斂,由比較審斂法,解,因為,是發(fā)散

3、的p-級數(shù),原級數(shù),發(fā)散,由比較審斂法,4.比較審斂法的極限形式,定理3,證,由比較審斂法的推論, 得證,2)和(3)的證明作為課下練習(xí),問題,如果通項趨于零較慢的級數(shù)收斂，則較快的也收斂；如果通項趨于零較快的級數(shù)發(fā)散，則較慢的也發(fā)散；如果通項趨于零的速度一樣，則級數(shù)斂散性相同,解,發(fā)散,例 判定下列級數(shù)的斂散性,表明兩級數(shù),斂散性相同,定理6,5. 極限審斂法,證,1)在上述結(jié)論(2)(3)中令,2)在上述結(jié)論(1)中令,極限審斂 法實質(zhì)是以p級數(shù)為比較級數(shù)的比較審斂法。在使用比較審斂法時，只要記住比較審斂法比較的通項趨于零的速度,如果通項趨于零較慢的級數(shù)收斂，則較快的也收斂；如果通項趨于零

4、較快的級數(shù)發(fā)散，則較慢的也發(fā)散；如果通項趨于零的速度一樣，則級數(shù)斂散性相同,解,例 判定斂散性,原級數(shù)收斂,解,例 判定斂散性,原級數(shù)收斂,證明請參閱教材,定理4,6.比值審斂法(達朗貝爾 判定法,收斂,發(fā)散,方法失效,2. 若用比值判別法判定級數(shù)發(fā)散,3. 一旦出現(xiàn)=1,要用其它方法判定,級數(shù)的通項un不趨于零,或 不存在時,1. 適用于,的連乘形式,如,4. 比值判別法的優(yōu)點：不用找參考級數(shù),解,例 判定下列級數(shù)的斂散性,比值審斂法失效,解,改用比較極限審斂法,例 證明級數(shù),并估計以級數(shù)的部分和sn近似代替和s,解,以級數(shù)的部分和sn近似代替和s,是收斂的,所產(chǎn)生的誤差,所產(chǎn)生的誤差為,定

5、理5,7. 根值審斂法 (柯西判別法,收斂,發(fā)散,方法失效,2. 時，此判別法失效只能改用其它方法,級數(shù)收斂,1. 適用于通項以n為指數(shù)冪的級數(shù),判定 的斂散性,解,根據(jù)根值審斂法，級數(shù)收斂,因為,例,正、負項相間的級數(shù)稱為,定義,交錯級數(shù),定理6,萊布尼茨定理,二、交錯級數(shù)及其審斂法,證,由條件(1,分析,滿足收斂的兩個條件,證畢,也是一個交錯級數(shù),由條件(2,例,判別級數(shù),的收斂性,解,此級數(shù)為,交錯級數(shù),而且,所以原級數(shù)收斂,且其和,若用其前n項來近似s，誤差為,注意,解,原級數(shù)收斂,此級數(shù)為,例,判別級數(shù),的收斂性,交錯級數(shù),任意項級數(shù),定義,定義,可正,可負,可0,絕對收斂,條件收斂

6、,三、絕對收斂與條件收斂,明顯,對任意項級數(shù),必為正項級數(shù),比如,絕對收斂,條件收斂,證,絕對收斂與收斂,因為級數(shù),正,定理8,收斂,顯然,比較審斂法,有以下重要關(guān)系,注1,證明過程中引進了如下級數(shù),由于,這個級數(shù)就是原級數(shù)中的全體正項形成的級數(shù),定理的證明過程表明,是收斂的,同樣可以引進以下級數(shù),請分析此級數(shù)和原級數(shù)的關(guān)系,由于,原級數(shù)中的全體負項的絕對值形成的級數(shù),同樣由于,是絕對收斂的，且,所以,也是收斂的正項級數(shù),用絕對收斂級數(shù)的全部正項或者全部的負項的相反數(shù)形成的新級數(shù)一定是收斂的（正項）級數(shù),問題：如果用條件收斂的級數(shù)構(gòu)造如上的級數(shù)呢,問題：如果用條件收斂的級數(shù)構(gòu)造如上的級數(shù)呢,條

7、件收斂，即,斂散性如何,用條件收斂級數(shù)的全部正項或者全部的負項的相反數(shù)形成的新級數(shù)一定是發(fā)散的（正項）級數(shù),注2,定理8的逆命題不成立. 一般,或者說,但是，若由比值或者根值審斂法斷定,則可以保證,證明,比值或者根值審斂法斷定,是因為,明顯，如果,必有,所以，必有,注3,因為絕對收斂必收斂，所以很多任意項級數(shù)的收斂性問題，就轉(zhuǎn)化為正項級數(shù)的收斂性問題,即：對某一個任意項級數(shù)，如果對通項取絕對值得到的新級數(shù)收斂（正項級數(shù)），則原級數(shù)必收斂，而且是絕對收斂,解,故原級數(shù),例,判別級數(shù),的斂散性,任意項級數(shù),收斂,絕對收斂,解,故,根據(jù)根值審斂法,所以,所以原級數(shù)發(fā)散,例,解,1,所以原級數(shù),收斂,絕對收斂,是條件收斂還是絕對收斂,是等比級數(shù),判定下列級數(shù)的斂散性,對收斂級數(shù)要指明,解,因為,又,2,由正項級數(shù)的比值判別法知,從而級數(shù)(2,由于使用的是比值判別法而判定的級數(shù)(2,因此,級數(shù),發(fā)散,不絕對收斂,不絕對收斂,發(fā)散,級數(shù)(2)是,斷定,通常先考查它,若使用比值法或,根值法判定級數(shù)不絕對收斂(這時級數(shù)的通項不趨于零,對交錯級數(shù),如不是絕,對收斂的,再看它是否條件收斂,便可斷言級數(shù)發(fā)散,可用,萊布尼茨定理,用正項級數(shù)的審斂法,討論任意項級數(shù)的收斂性時,是否絕對收斂,例,例,正項級數(shù)斂散性判定,小