解直角三角形及其應(yīng)用ppt課件

1、第三單元 解直角三角形,第 37 講解直角三角形及其應(yīng)用,內(nèi)容索引,備考基礎(chǔ) 溫故知新，明確考向,重點突破 分類講練，以例求法,易錯防范 辨析錯因，提升考能,備考基礎(chǔ),返回,考點梳理,解直角三角形,1.直角三角形中的邊角關(guān)系：如圖，在RtABC中，C90， A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則： (1)三邊的關(guān)系：a2b2c2. (2)角的關(guān)系：AB90. (3)邊角關(guān)系：sinAcosB ， cosAsinB ，tanA . 2.解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所 有未知元素的過程，叫做解直角三角形,特別提醒 在直角三角形ABC中，C90，那么A，B，C，a，b，c中，

2、除C90外，其余5個元素，只要知道其中的2個元素(至少有一個是邊)，就可以求出其余3個未知數(shù),在解直角三角形實際應(yīng)用中的常用知識,1.仰角與俯角：從下向上觀察物體時，視線與水平線所成的角叫做仰角； 從上向下觀察物體時，視線與水平線所成的角叫做俯角,2.坡度與坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，坡面的鉛直高度h和水 平寬度l的比叫做坡度(坡比)，用字母i表示，即i ，坡度一般寫成 1m的形式,3.方向角：在平面上，過觀測點O作一條水平線(向右為東)和一條鉛垂 線(向上為北)，則從O點出發(fā)的視線與鉛垂線所夾的銳角，叫做觀測 的方向角如圖，OA，OB，OC，OD的方向角分別是：北偏東30， 南偏東45

3、(東南方向)，南偏西80，北偏西60,特別提醒解直角三角形在實際中有廣泛的應(yīng)用，主要涉及測量、航空、航海、工程等領(lǐng)域，常作為習(xí)題出現(xiàn)的有以下幾個方面：度量工作、工程建筑、測量距離等.解這類問題的一般步驟是： (1)弄清題中名詞術(shù)語的意義，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型； (2)將實際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系，當(dāng)有些圖形不是直角三角形時，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把它們分割成直角三角形； (3)尋求基礎(chǔ)直角三角形，并解這個三角形，或設(shè)未知數(shù)進行求解,基礎(chǔ)診斷,1.如圖，為測量一棵與地面垂直的樹OA的高度，在距離樹的底端30米 的B處，測得樹頂A的仰角ABO為，則樹OA的

4、高度為() A. 米 B.30sin米 C.30tan米 D.30cos米,C,2.如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1 ，堤壩高BC50m， 則迎水坡面AB的長度是() A.100m B.100 m C.150m D.50 m,A,3.如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA4km，某船從港口A出發(fā)，沿 北偏東15方向航行一段距離后到達B處，此時從觀測站O處測得該船 位于北偏東60的方向，則該船航行的距離(即AB的長)為() A.4km B.2 km C.2 km D.( 1)km,C,解如圖，過點A作ADOB于D. 在RtAOD中， AOD30，OA4， AD OA2. 在RtADB中

5、， BCABAOB753045， BDAD2， AB AD2 (km,4.如圖，某登山運動員從營地A沿坡角為30的斜坡AB到達山頂B，如果 AB2000米，則他實際上升了_米,1000,5.如圖，小明在窗臺C處，測得大樹AB的頂部A的仰角為45，測得大樹 AB的底部B的俯角為30，已知窗臺C處離地面的距離CD為5m，則大 樹的高度為_m(結(jié)果保留根號,解如圖，作CEAB于E， CD5， BECD5， 在RtCBE中,返回,重點突破,返回,類型一,解直角三角形,點撥根據(jù)同角的余角相等得CADBCD，解直角三角形即可求解,例1】(2017益陽)如圖，電線桿CD的高度為h，兩根拉線AC與BC相 互垂

6、直，CAB，則拉線BC的長度為(A、D、B在同一條直線上)(,答案,點撥,解,類型一,解直角三角形,點撥根據(jù)同角的余角相等得CADBCD，解直角三角形即可求解,例1】(2017益陽)如圖，電線桿CD的高度為h，兩根拉線AC與BC相 互垂直，CAB，則拉線BC的長度為(A、D、B在同一條直線上)(,B,答案,點撥,解,變式1】(2017蘭州)如圖，一個斜坡長130m，坡頂離水平地面的距 離為50m，那么這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于(,答案,解,解如圖，在RtABC中,變式1】(2017蘭州)如圖，一個斜坡長130m，坡頂離水平地面的距 離為50m，那么這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于(,

7、答案,解,C,解題要領(lǐng)解直角三角形可用兩銳角之間的關(guān)系、三邊之間的關(guān)系、邊角之間的關(guān)系(銳角三角函數(shù)的定義).解題時，還常常用到“同(等)角的余角相等”，及面積關(guān)系S ab ch等結(jié)論，是對以前所學(xué)的有關(guān)三角形知識的“大匯總,類型二,利用解直角三角形測量物體高度(或?qū)挾?例2】(2017濰坊)如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組要測量一棟五層居民樓 CD的高度該樓底層為車庫，高2.5米；上面五層居住，每層高度相等測角儀支架離地1.5米，在A處測得五樓頂部點D的仰角為60，在B處測得四樓頂點E的仰角為30，AB14米求居民樓的高度(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)： 1.73,解,點撥,點撥設(shè)每層樓高為x米，在RtDC

8、A中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出CA，同理表示出CB，由CBCA求出AB的長即可求解,解設(shè)每層樓高為x米， 由題意得：MCMCCC2.51.51， DC5x1，EC4x1， 在RtDCA中，DAC60,變式2】(2017義烏)如圖，學(xué)校的實驗樓對面是一幢教學(xué)樓，小 敏在實驗樓的窗口C測得教學(xué)樓頂部D的仰角為18，教學(xué)樓底部B的俯角為20，量得實驗樓與教學(xué)樓之間的距離AB30m,1)求BCD的度數(shù),解過點C作CEBD， 由題意得：DCE18，BCE20， BCDDCEBCE182038,解,2)求教學(xué)樓的高BD.(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：tan200.36，tan180.32,解由題意得：

9、CEAB30， 在RtCBE中，BECEtan2010.80， 在RtCDE中，DECEtan189.60， 教學(xué)樓的高BDBEDE10.809.6020.4(m)， 即教學(xué)樓的高約為20.4m,解,解題要領(lǐng)弄清題中名詞術(shù)語的含意，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型，尋求或構(gòu)造基礎(chǔ)直角三角形，并解這個三角形或設(shè)未知數(shù)進行求解,類型三,利用解直角三角形解決航海問題,例3】(2017烏魯木齊)一艘漁船位于港口A的北偏東60方向，距離 港口20海里B處，它沿北偏西37方向航行至C處突然出現(xiàn)故障，在C處等待救援，B，C之間的距離為10海里，救援船從港口A出發(fā)20分鐘到達C處，求救援艇的航行速度(s

10、in370.6，cos370.8， 1.732，結(jié)果取整數(shù),解答,點撥,點撥過A，C各作一條水平線，過B作一條鉛垂線，構(gòu)造直角三角形，再根據(jù)勾股定理、三角函數(shù)及“路程時間速度”求解即可,解作輔助線如圖所示，BDAD，BECE，CFAF， 由題意知，F(xiàn)AB60，CBE37， BAD30， AB20，BD10， 在RtABD中,變式3】(2017天水)一艘輪船位于燈塔P南偏西60方向的A處， 它向東航行20海里到達燈塔P南偏西45方向上的B處，若輪船繼續(xù)沿正東方向航行，求輪船航行途中與燈塔P的最短距離(結(jié)果保留根號,解答,解作PCAB的延長線于點C， 由題意可知，APC60，BPC45，AB20，

11、 在RtPBC中，則PCx，則BCx， ACABBC20 x， 在RtPAC中，APC60,解題要領(lǐng)這類問題實質(zhì)上是求三角形中未知的邊與角，應(yīng)從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型直角三角形，再求解,類型四,利用解直角三角形解決坡度問題,例4】(2017黔東南)如圖，某校教學(xué)樓AB后方有一斜坡，已知斜坡 CD的長為12米，坡角為60，根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定，39時，才能避免滑坡危險，學(xué)校為了消除安全隱患，決定對斜坡CD進行改造，在保持坡腳C不動的情況下，學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動多少米才能保證教學(xué)樓的安全？(結(jié)果取整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：sin390.63，cos390.78，tan390.81， 1.41，

12、1.73， 2.24,解答,點撥,點撥假設(shè)點D移到D的位置時，恰好39，作輔助線，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可,解假設(shè)點D移到D的位置時，恰好39，過點D作DEAC于點E，作DEAC于點E， 在RtDCE中，CD12，DCE60,變式4】(2017荊州)如圖，某數(shù)學(xué)活動小組為測量學(xué)校旗桿AB的 高度，沿旗桿正前方2 米處的點C出發(fā)，沿斜面坡度i1 的斜坡CD前進4米到達點D，在點D處安置測角儀，測得旗桿頂部A的仰角為37，量得儀器的高DE為1.5米已知A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，ABBC，ABDE.求旗桿AB的高度(參考數(shù)據(jù)：sin37 ，cos37 ，tan37 .計算結(jié)果保留根號,解答,解如圖，延長ED交BC的延長線于點F,解題要領(lǐng)這類問題的實質(zhì)是梯形的計算問題，常常將其轉(zhuǎn)化為直角三角形進行求解,返回,易錯防范,返回,易錯警示系列 37,添加輔助線，構(gòu)造解直角三角形模型,正確解答,分析與反思,剖析,錯誤答案展示不能添加輔助線將斜三角形的問題轉(zhuǎn)化為解直角三 角形的數(shù)學(xué)模型，從而無從下手,試題如圖，AD是BC邊上的高，ADDCBD