含時(shí)微擾理論ppt課件

1、1 含時(shí)微擾理論 2 量子躍遷幾率 3 光的發(fā)射和吸收,二、量子躍遷,1 含時(shí)微擾理論,一) 引言 （二）含時(shí)微擾理論,一) 引言,在定態(tài)微擾理論中討論了分立能級(jí)的能量和波函數(shù)的修正，所討論的體系 Hamilton 算符不顯含時(shí)間，因而求解的是定態(tài) Schrodinger 方程,本章討論的體系其 Hamilton 算符含有與時(shí)間有關(guān)的微擾，即,因?yàn)?Hamilton 量與時(shí)間有關(guān)，所以體系波函數(shù)須由含時(shí) Schrodinger 方程解出。但是精確求解這種問(wèn)題通常是很困難的，而定態(tài)微擾法在此又不適用，這就需要發(fā)展與時(shí)間有關(guān)的微擾理論,含時(shí)微擾理論可以通過(guò) H0 的定態(tài)波函數(shù)近似地求出微擾存在情況

2、下的波函數(shù)，從而可以計(jì)算無(wú)微擾體系在加入含時(shí)微擾后，體系由一個(gè)量子態(tài)到另一個(gè)量子態(tài)的躍遷幾率,假定 H0 的本征 函數(shù) n 滿足,H0 的定態(tài)波函數(shù)可以寫(xiě)為：n =n exp-int / 滿足左邊含時(shí) S - 方程,定態(tài)波函數(shù) n 構(gòu)成正交完備系，整個(gè)體系的波函數(shù) 可按 n 展開(kāi),因 H(t)不含對(duì)時(shí)間 t 的偏導(dǎo)數(shù)算符,故可 與 an(t) 對(duì)易,二）含時(shí)微擾理論,以m* 左乘上式后 對(duì)全空間積分,該式是通過(guò)展開(kāi)式 改寫(xiě)而成的 Schrodinger方程的另一種形式。仍是嚴(yán)格的,求解方法同定態(tài)微擾中使用的方法,1）引進(jìn)一個(gè)參量，用 H 代替 H（在最后結(jié)果中再令 = 1,2）將 an(t)

3、展開(kāi)成下列冪級(jí)數(shù),3）代入上式并按冪次分類(lèi),4)解這組方程，我們可得到關(guān)于an 的各級(jí)近似解，近而得到波函數(shù) 的近似解。實(shí)際上，大多數(shù)情況下，只求一級(jí)近似就足夠了。 （最后令 = 1，即用 Hmn代替 Hmn，用a m (1)代替 a m (1)。,零級(jí)近似波函數(shù) am(0)不隨時(shí) 間變化，它由未微擾時(shí)體系 所處的初始狀態(tài)所決定,假定t 0 時(shí)，體系處于 H0 的第 k 個(gè)本征態(tài) k。而且由于 exp-in t/|t=0 = 1，于是有,比較等式兩邊得,比較等號(hào)兩邊同 冪次項(xiàng)得,因 an(0)不隨時(shí)間變化，所以an(0)(t) = an(0)(0) = nk,t 0 后加入微擾，則第一級(jí)近似,

4、an(0)(t) = n k,2 量子躍遷幾率,返回,一）躍遷幾率 （二）一階常微擾 （三）簡(jiǎn)諧微擾 （四）實(shí)例 （五）能量和時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系,體系的某一狀態(tài),t 時(shí)刻發(fā)現(xiàn)體系處于 m 態(tài)的幾率等于 | a m (t) | 2,am(0) (t) = mk,末態(tài)不等于初態(tài)時(shí) mk = 0，則,所以體系在微擾作用下由初態(tài) k 躍遷到末態(tài)m 的幾率在一級(jí)近似下為,一）躍遷幾率,1）含時(shí) Hamilton 量,設(shè) H 在 0 t t1 這段時(shí)間之內(nèi)不為零，但與時(shí)間無(wú)關(guān)，即,2）一級(jí)微擾近似 am(1,Hmk 與 t 無(wú)關(guān) (0 t t1,二）一階常微擾,3）躍遷幾率和躍遷速率,極限公式,則當(dāng)t 時(shí) 上

5、式右第二個(gè)分式有如下極限值,于是,躍遷速率,4）討論,1.上式表明，對(duì)于常微擾，在作用時(shí)間相當(dāng)長(zhǎng)的情況下，躍遷速率將與時(shí)間無(wú)關(guān)，且僅在能量m k ，即在初態(tài)能量的小范圍內(nèi)才有較顯著的躍遷幾率。 在常微擾下，體系將躍遷到與初態(tài)能量相同的末態(tài)，也就是說(shuō)末態(tài)是與初態(tài)不同的狀態(tài)，但能量是相同的,2. 式中的(m -k) 反映了躍遷過(guò)程的能量守恒,3. 黃金定則 設(shè)體系在m附近dm范圍內(nèi)的能態(tài)數(shù)目是(m) dm，則躍遷到m附近一系列可能末態(tài)的躍遷速率為,1）Hamilton 量,t=0 時(shí)加入一個(gè)簡(jiǎn)諧 振動(dòng)的微小擾動(dòng),為便于討論，將上式改寫(xiě)成如下形式,F 是與 t無(wú)關(guān) 只與 r 有關(guān)的算符,三）簡(jiǎn)諧微擾

6、,1）Hamilton 量,t=0 時(shí)加入一個(gè)簡(jiǎn)諧 振動(dòng)的微小擾動(dòng),為便于討論，將上式改寫(xiě)成如下形式,F 是與 t無(wú)關(guān) 只與 r 有關(guān)的算符,2）求 am(1)(t,H(t)在 H0 的第 k 個(gè)和第 m 個(gè)本征態(tài) k 和 m 之間的微擾矩陣元是,三）簡(jiǎn)諧微擾,2）幾點(diǎn)分析,I) 當(dāng) = mk 時(shí)，微擾頻率 與 Bohr 頻率相等時(shí)，上式第二項(xiàng) 分子分母皆為零。求其極限得,第二項(xiàng)起 主要作用,II) 當(dāng) = mk 時(shí)，同理有,第一項(xiàng)起 主要作用,III) 當(dāng) mk 時(shí)，兩項(xiàng)都不隨時(shí)間增大,總之，僅當(dāng) =mk = (m k)/ 或m =k 時(shí)，出現(xiàn)明顯躍遷。這就是說(shuō)，僅當(dāng)外界微擾含有頻率mk時(shí)，

7、體系才能從k態(tài)躍遷到m態(tài)，這時(shí)體系吸收或發(fā)射的能量是 mk 。這說(shuō)明我們討論的躍遷是一種共振現(xiàn)象。 因此我們只需討論 mk 的情況即可,3）躍遷幾率,當(dāng) =m k 時(shí)，略去第一項(xiàng)，則,此式與常微擾情況的表達(dá)式類(lèi)似，只需作代換：H mk Fmk , mk mk-，常微擾的結(jié)果就可直接引用，于是得簡(jiǎn)諧微擾情況下的躍遷幾率為,同理， 對(duì)于 = -m k 有,二式合記之,4）躍遷速率,或,5）討論,1. (m-k ) 描寫(xiě)了能量守恒：m-k = 0,2. k m 時(shí)，躍遷速率可寫(xiě)為,也就是說(shuō)，僅當(dāng) m=k - 時(shí)躍遷幾率才不為零，此時(shí)發(fā)射能量為 的光子,3. 當(dāng)k m時(shí),4. 將式中角標(biāo) m, k 對(duì)

8、調(diào)并注意到 F 的厄密性，即得體系由 m 態(tài)到 k 態(tài)的躍遷幾率,即 體系由 m k 的躍遷幾率 等于 由 k m 的躍遷幾率,例1. 設(shè) t = 0 時(shí)，電荷為 e 的線性諧振子處于基態(tài)。在 t 0 時(shí)，附加一與振子振動(dòng)方向相同的恒定外電場(chǎng) ，求諧振子處在任意態(tài)的幾率,例1. 設(shè) t = 0 時(shí)，電荷為 e 的線性諧振子處于基態(tài)。在 t 0 時(shí)，附加一與振子振動(dòng)方向相同的恒定外電場(chǎng) ，求諧振子處在任意態(tài)的幾率,解,t=0 時(shí)， 振子處 于基態(tài)， 即 k=0,式中 m,1 符號(hào)表明，只有 當(dāng) m=1 時(shí)，am(1)(t) 0,四）實(shí)例,所以,結(jié)論：外加電場(chǎng)后，諧振子從基態(tài)0躍遷到1態(tài)的幾率是

9、W01，而從基態(tài)躍遷到其他態(tài)的幾率為零,證,因?yàn)?m=1, k=0，所以,當(dāng) t (t ) 時(shí),此式成立條件就是微擾法成立條件， |a1(1)|2 1， 即,現(xiàn)在討論初態(tài) k 是分立的，末態(tài) m 是連續(xù)的情況 (m k,在t t1時(shí)刻， k m 的 躍遷幾率則為,1）由圖可見(jiàn)，躍遷幾率的貢獻(xiàn)主要來(lái)自主峰范圍內(nèi)，即在 -2/t1 mk 2/t1區(qū)間躍遷幾率明顯不為零，而此區(qū)間外幾率很小,五）能量和時(shí)間不確定性原理,2）能量守恒不嚴(yán)格成立，即在躍遷過(guò)程中，m = k + 或mk = 不嚴(yán)格成立，它們只是在上圖原點(diǎn)處嚴(yán)格成立。因?yàn)樵趨^(qū)間-2/t1 , 2/t1，躍遷幾率都不為零， 所以 既可能有 m

10、k = ， 也可能有 -2/t1 mk +2/t1。 上面不等式兩邊相減得： mk (1/t1,也就是說(shuō) mk 有一個(gè)不確定范圍。由于k能級(jí)是分立的，k 是確定的，注意到 mk = 1/ (m-k)，所以 mk 的不確定來(lái)自于末態(tài)能量m 的不確定，即,若微擾過(guò)程看成是測(cè)量末態(tài)能量m的過(guò)程，t1是測(cè)量的時(shí)間間隔，那末上式表明，能量的不確定范圍m與時(shí)間間隔之積有 的數(shù)量級(jí),上式有著普遍意義，一般情況下，當(dāng)測(cè)量時(shí)間為t，所測(cè)得的能量不確定范圍為E 時(shí)，則二者有如下關(guān)系,此式稱(chēng)為能量和時(shí)間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。由此式可知，測(cè)量能量越準(zhǔn)確（E 小），則用于測(cè)量的時(shí)間t 就越長(zhǎng),一) 引言 （二）光的吸收與受激發(fā)

11、射 （三）選擇定則 （四）自發(fā)輻射 （五）微波量子放大器和激光器,光的吸收和受激發(fā)射： 在光的照射下，原子可能吸收光而從較低能級(jí)躍遷到較高能級(jí)，反之亦反，我們分別稱(chēng)之為光的吸收和受激發(fā)射,自發(fā)輻射： 若原子處于較高能級(jí)（激發(fā)態(tài)），即使沒(méi)有外界光照射，也能躍遷到較低能級(jí)而發(fā)射光子的現(xiàn)象稱(chēng)為自發(fā)輻射,對(duì)于原子和光的相互作用（吸收和發(fā)射）所產(chǎn)生的現(xiàn)象，徹底地用量子理論解釋?zhuān)瑢儆诹孔与妱?dòng)力學(xué)的范圍，這里不作討論。本節(jié)采用較簡(jiǎn)單地形式研究這個(gè)問(wèn)題,光吸收發(fā)射的半徑典處理： （1）對(duì)于原子體系用量子力學(xué)處理； （2）對(duì)于光用經(jīng)典理論處理，即把光看成是電磁波。 這樣簡(jiǎn)單化討論只能解釋吸收和受激發(fā)射而不能解釋

12、自發(fā)輻射,一) 引言,1）兩點(diǎn)近似,1. 忽略光波中磁場(chǎng)的作用,照射在原子上的光波，其電場(chǎng) E 和磁場(chǎng) B 對(duì)原子中電子的作用分別為,二者之比,即，光波中磁場(chǎng)與電場(chǎng)對(duì)電子作用能之比，近似等于精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)，所以磁場(chǎng)作用可以忽略,B E,二）光的吸收與受激發(fā)射,2. 電場(chǎng)近似均勻,考慮沿z軸傳播的單色偏振光，即其電場(chǎng)可以表示為,電場(chǎng)對(duì)電子的作用僅存在于電子活動(dòng)的空間，即原子內(nèi)部。所以我們所討論的問(wèn)題中，z的變化范圍就是原子尺度 a 10-10 m，而 10-6 m,于是光波電場(chǎng)可改寫(xiě)為,所以在原子范圍內(nèi)可以近似認(rèn)為電場(chǎng)是均勻的,2）微擾 Hamilton 量,電子在上述電場(chǎng)中的電勢(shì)能是,3）求 躍

13、遷速率 km,I) 對(duì)光的吸收情況，k m。單位時(shí)間由 k 態(tài)躍遷到 m 態(tài)的幾率用下式給出,II) 求 E0,根據(jù)電動(dòng)力學(xué)，光波能量密度,平均是對(duì)一個(gè)周期進(jìn)行,III) 躍遷速率,4）自然光情況,上式適用條件：?jiǎn)紊窆?，?一個(gè)頻率，一個(gè)方向（x 向電場(chǎng)）。 對(duì)自然光：非單色、非偏振光，我們必須作如下兩點(diǎn)改進(jìn),I）去掉單色條件,II）去掉偏振光條件,對(duì)各向同性的非偏振光，原子體系在單位時(shí)間內(nèi)由 k m 態(tài)的躍遷幾率應(yīng)該是上式對(duì)所有偏振方向求平均，即,這是我們略去了光波中磁場(chǎng)的作用，并將電場(chǎng)近似地用 Ex= E0cost 表示后得到的結(jié)果，這種近似稱(chēng)為偶極近似,上式是吸收情況，對(duì)于受激發(fā)射情

14、況，同理可得,1）禁戒躍遷,從上面的討論可知，原子 在光波作用下由 k 態(tài)躍 遷到 m 態(tài)的幾率,禁戒躍遷,當(dāng) |rmk|2 = 0 時(shí)，在偶極近似下，躍遷幾率等于零，即躍遷不能發(fā)生。我們稱(chēng)這種不能實(shí)現(xiàn)的躍遷為禁戒躍遷,顯然，要實(shí)現(xiàn) k m 的躍遷，必須滿足|rmk|2 0 的條件，或|xmk|, |ymk|, |zmk|不同時(shí)為零。 由此我們導(dǎo)出光譜線的選擇定則,2）選擇定則,I) 波函數(shù) 和 rmk,在原子有心力場(chǎng)中 運(yùn)動(dòng)的電子波函數(shù),nlm = Rnl(r)Ylm(,) = |n l m = |n l |l m,三）選擇定則,為方便計(jì)，在球坐標(biāo)下計(jì)算矢量 r 的矩陣元,于是,可見(jiàn)矩陣元計(jì)

15、算分為兩類(lèi),II) 計(jì)算,利用球諧函數(shù)的性質(zhì) I,則積分,欲使矩陣元不為零，則要求,III) 計(jì)算,利用球諧函數(shù) 的性質(zhì) II,則積分,欲使矩陣元不為零，則要求,IV) 選擇定則,綜合(II)、(III) 兩點(diǎn) 得偶極躍遷選擇定則,這就是電偶極輻射角量子數(shù)和磁量子數(shù)得選擇定則，在量子力學(xué)建立之前，它是通過(guò)光譜分析中總結(jié)出來(lái)的經(jīng)驗(yàn)規(guī)則,徑向積分 在 n、 n取任何數(shù)值時(shí)均不為零，所以關(guān)于主量子數(shù)沒(méi)有選擇定則,3）嚴(yán)格禁戒躍遷,若偶極躍遷幾率為零，則需要計(jì)算比偶極近似更高級(jí)的近似。在任何級(jí)近似下，躍遷幾率都為零的躍遷稱(chēng)為嚴(yán)格禁戒躍遷,光輻射、吸收,光子產(chǎn)生與湮滅,量子電動(dòng)力學(xué),電磁場(chǎng)量子化,在前面

16、的討論中，我們將光子產(chǎn)生與湮滅問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在電磁場(chǎng)作用下原子在不同能級(jí)之間的躍遷問(wèn)題，從而用非相對(duì)論量子力學(xué)進(jìn)行了研究,這種簡(jiǎn)化的物理圖象 不能合理自恰的解釋 自 發(fā) 發(fā) 射 現(xiàn) 象,這是因?yàn)?，若初始時(shí)刻體系處于某一定態(tài)（例如某激發(fā)能級(jí)），根據(jù)量子力學(xué)基本原理，在沒(méi)有外界作用下，原子的Hamilton是守恒量，原子應(yīng)該保持在該定態(tài)，是不會(huì)躍遷到較低的能級(jí)上去的,Einstein曾提出了一個(gè)半唯象的理論，來(lái)簡(jiǎn)化處理自發(fā)發(fā)射問(wèn)題。他借助于物體與輻射場(chǎng)在達(dá)到平衡時(shí)的熱力學(xué)關(guān)系，建立了自發(fā)發(fā)射與吸收及受激發(fā)射之間的關(guān)系,四）自發(fā)輻射,1）吸收系數(shù),設(shè)原子在強(qiáng)度為 I() 的光照射下， 從 k 態(tài)到 m

17、態(tài)（m k） 的躍遷速率為,吸收 系數(shù),2）受激發(fā)射系數(shù),對(duì)于從m 態(tài)到k 態(tài)（mk）的受激發(fā)射躍遷速率，Einstein類(lèi)似給出,受激 發(fā)射 系數(shù),與相應(yīng)得微擾論公式比較得,由于 r 是厄密算符，所以,從而有,受激發(fā)射系數(shù)等于吸收系數(shù)，它們與入射光的強(qiáng)度無(wú)關(guān),3）自發(fā)發(fā)射系數(shù),1. 自發(fā)發(fā)射系數(shù) Amk 的意義,2. Amk，Bmk 和 Bkm 之間的關(guān)系,在光波作用下，單位時(shí)間內(nèi)，體系從m 能級(jí)躍遷到k 能級(jí)的幾率是,從k 能級(jí)躍遷到m 能級(jí)的幾率是,自發(fā)發(fā)射,受激發(fā)射,當(dāng)這些原子與電磁輻射在絕對(duì)溫度 T 下處于平衡時(shí)，必須滿足右式條件,k 能級(jí)上的 原子的數(shù)目,m 能級(jí)上的 原子的數(shù)目,

18、3. 求能量密度,由上式可以解得能量密度表示式,Bkm = Bmk,求原子數(shù) Nk 和 Nm,據(jù)麥克斯韋- 玻爾茲曼分布律,得,4. 與黑體輻射公式比較,在第一章給出了 Planck 黑體輻射公式,輻射光在頻率 間隔+d 內(nèi)的能量密度,在角頻率 間隔 +d內(nèi) 輻射光的 能量密度,所以,考慮到 =2 和 d= 2d,代入輻射公式得,mk=hmk,5. 自發(fā)發(fā)射系數(shù)表示式,由于自發(fā)發(fā)射系數(shù) Amk | rmk|2，所以自發(fā)發(fā)射與受激發(fā)射具有同樣的選擇定則,4）自發(fā)躍遷輻射強(qiáng)度,Amk 單位時(shí)間內(nèi)原子從m 自發(fā)地躍遷到 k 的幾率，與此同時(shí)，原子發(fā)射一個(gè) mk 的光子。 Nm 處于m 原子數(shù)， NmAmk單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生自發(fā)躍遷原子數(shù)（從m k）。也是發(fā)射能量為 m k 的光子數(shù),頻率為 mk 的光總輻射強(qiáng)度,5）原子處于激發(fā)態(tài)的壽命,處于激發(fā)態(tài)m 的Nm 個(gè)原子中，在時(shí)間 dt 內(nèi)自發(fā)躍遷到低能態(tài)k 的數(shù)目是,表示激發(fā)態(tài) 原子數(shù)的減少,積分后得到 Nm 隨時(shí)間變化得規(guī)律,t=0 時(shí)Nm 值,平均壽命,如果在m 態(tài)以下存在許多低能態(tài) k ( k=1,2,i )單位時(shí)間內(nèi)m 態(tài)自發(fā)躍遷的總幾率為,單位時(shí)間內(nèi)原子從 m 第 k 態(tài) 的躍遷幾率,原子處于m 態(tài)的平均壽命,1） 受激輻射的重要應(yīng)用微波量子放大器和激光器,受激輻射的特點(diǎn)：出射光束的光子與入射光子的狀態(tài)完全相同 （能量、傳播方向