自動控制原理(胥布工)第二版9章習(xí)題及詳解[驕陽書苑]

1、第9章習(xí)題及詳解9-1 試分別寫出圖9-41中所列典型非線性特性的數(shù)學(xué)描述式。 （a）（b）（c） （d）（e）圖9-41 習(xí)題9-1圖解：(a)；(b) ；(c)；(d)；(e) 或者（e） 當(dāng)，；當(dāng)，9-2 試用解析法求下列系統(tǒng)相軌跡方程的解。（1）（2）解：（1）相變量方程為相軌跡方程的解為（2）相變量方程為相軌跡方程的解為9-3 考慮系統(tǒng)，其中，試用解析法求該系統(tǒng)的相平面圖。解：引入相變量和改寫為相變量方程利用相軌跡微分方程解的公式（9-6）在區(qū)間上求定積分得整理得即這是一個以原點為中心的橢圓相軌跡，所描述的運動是周期運動，相軌跡為一簇同心橢圓，橢圓的大小與初始狀態(tài)有關(guān)。因，橢圓的長半

2、軸和短半軸的長度分別為和。9-4 試用解析法求非線性系統(tǒng)的相平面圖。解：由題知相變量方程為相軌跡方程的解為可分下面三種情況：當(dāng)，相軌跡方程解為此時相平面圖為一組頂點在軸上的雙曲線，漸近線為，頂點位置與初始狀態(tài)相關(guān)。當(dāng)，相軌跡方程為此時相平面圖為一組頂點在軸上的雙曲線，漸近線為，頂點位置與初始狀態(tài)相關(guān)。當(dāng)，相平面圖為兩條直線，即和整個相平面圖如下：9-5 試用等傾斜線法繪出下列系統(tǒng)的相平面圖。（1）（2）解：（1）等傾斜線滿足方程等傾斜線法繪出的系統(tǒng)相平面圖為（2）當(dāng)時，有，故等傾斜線滿足方程注意到是關(guān)于的偶函數(shù)，相軌跡為軸對稱，所以可以在相平面的上半部繪出對應(yīng)線性系統(tǒng)的相軌跡，然后在相平面的下

3、半部對稱繪出相應(yīng)的相軌跡即可。等傾斜線法繪出的系統(tǒng)相平面圖為9-6 試判斷下列系統(tǒng)是否有奇點，確定奇點類型并畫出奇點附近的相軌跡。（1）（2）解：（1）相變量方程為故，即為該系統(tǒng)的奇點。在處對進行泰勒級數(shù)展開有即 ，其特征方程為，故特征根為，所以奇點為中心點。奇點附近的相軌跡為（2）相變量方程為故，即為該系統(tǒng)的奇點。在處對進行泰勒級數(shù)展開有系統(tǒng)在奇點附近線性化后得，其特征方程為，故特征根為所以奇點為不穩(wěn)定焦點。奇點附近的相軌跡為9-7 描述某運動的微分方程為，試根據(jù)奇點的性質(zhì)繪出系統(tǒng)的相平面圖。解：由于必有，而意味著對于所有，有。因此，意味著在軸上點均為該系統(tǒng)的奇點。下面對于，分別考慮軸上奇點

4、和兩種情況。情況1：對于所有，考慮奇點，用變換將方程在軸上奇點坐標平移到原點，即在處附近展開泰勒級數(shù)故在處附近有，其特征方程的根為因此，對于所有，系統(tǒng)的奇點均為中心點。情況2：對于所有，考慮奇點，用變換將方程在軸上奇點坐標平移到原點，即在處附近展開泰勒級數(shù)故在處附近有，其特征方程的根為因此，對于所有，系統(tǒng)的奇點均是鞍點。MATLAB仿真后繪制的相平面圖為9-8 考慮具有繼電器非線性的控制系統(tǒng)如圖9-42所示，試用分段線性化法求系統(tǒng)在輸入信號 作用下的相軌跡。圖9-42 習(xí)題9-8圖解：系統(tǒng)非線性特性的數(shù)學(xué)描述為可分成兩個區(qū)段，相平面上的轉(zhuǎn)換線為。設(shè)斜坡輸入為。當(dāng)時，有。由線性環(huán)節(jié)的微分方程為和

5、，可得區(qū)：當(dāng)時，相軌跡微分方程為：。定性分析可知：（1）時，相軌跡斜率為零，是一條直線；（2）時，相軌跡垂直通過軸；（3）上半平面，意味著相軌跡斜率為負；（4）下半平面，時相軌跡斜率為正，時相軌跡斜率為負；（5）相軌跡斜率與無關(guān)，所有相軌跡都是某一相軌跡水平移動的結(jié)果，因此各相軌跡的形狀是一樣的；（6）令，等傾斜線方程為平行于軸的水平直線，顯然，系統(tǒng)在區(qū)無奇點。區(qū)：當(dāng)時，相軌跡微分方程為： 。由可知，區(qū)相軌跡與區(qū)相軌跡關(guān)于原點對稱，系統(tǒng)在區(qū)無奇點，區(qū)的相平面圖可按與區(qū)原點對稱辦法繪出，等傾線方程為平行于軸的水平線。系統(tǒng)在輸入信號 作用下的相軌跡為9-9 考慮具有飽和非線性的控制系統(tǒng)如圖9-43

6、所示，試用分段線性化法求系統(tǒng)在輸入信號 作用下的相軌跡。圖9-43 習(xí)題9-9圖解：由圖可知飽和非線性特性的數(shù)學(xué)描述為（1）可分三個線性化區(qū)段，相平面上的轉(zhuǎn)換線為，而線性環(huán)節(jié)的微分方程為（2）不失一般地，設(shè)階躍輸入為，其中為常數(shù)。當(dāng)時，有，從而。由式（2）和，此時可得（3）I區(qū)：因，由式（3）得（4）相變量方程為（5）相軌跡微分方程為（6）定性分析可知：（1）時，相軌跡斜率為零，是一條直線；（2）時，相軌跡垂直通過軸；（3）上半平面，式（6）意味著相軌跡斜率為負；（4）下半平面，時相軌跡斜率為正，時相軌跡斜率為負；（5）相軌跡斜率與無關(guān)，所有相軌跡都是某一相軌跡水平移動的結(jié)果，因此各相軌跡的形

7、狀是一樣的；（6）等傾斜線方程為平行于軸的水平直線（7）顯然，系統(tǒng)在I區(qū)無奇點。II區(qū)：由線性關(guān)系和式（3）得（8）相變量方程為（9）系統(tǒng)在II區(qū)是標準的線性系統(tǒng)相圖，并且滿足原點對稱條件，奇點在處，等傾斜線方程為過原點的直線（10）系統(tǒng)的特征方程為（11）其特征根為（12）和為一對具有負實部的共軛根，II區(qū)存在奇點，相軌跡以振蕩方式趨近于穩(wěn)定焦點。III區(qū)：有，則（13）相變量方程為（14）相軌跡微分方程為（15）由于，對比式（6）可知III區(qū)相軌跡與I區(qū)相軌跡關(guān)于原點對稱，系統(tǒng)在III區(qū)無奇點，III區(qū)相平面圖可按與I區(qū)原點對稱辦法繪出，等傾線方程為平行于軸的水平線（16）系統(tǒng)在輸入信號

8、作用下的相軌跡為9-10 具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)如圖9-44所示，其中。若，試用分段線性化法求系統(tǒng)的相平面圖。圖9-44 習(xí)題9-10圖解：已知死區(qū)非線性特性的數(shù)學(xué)描述為（1）可分三個線性化區(qū)段，相平面上的轉(zhuǎn)換線為，而線性環(huán)節(jié)的微分方程為（2）當(dāng)時，有，從而。由式（2）和，此時可得（3）開關(guān)線和將平面分成三個區(qū)。I區(qū)：因，由式（3）得（4）相變量方程為（5）相軌跡微分方程為（6）因此，I 區(qū)的相軌跡是斜率為-1的直線。II區(qū)：由線性關(guān)系和式（3）得（8）相變量方程為（9）相軌跡微分方程為：等傾斜線方程為（10）II區(qū)存在奇點，系統(tǒng)的特征方程為（11）而特征根為（12）和為一對具有負實部的共軛

9、根，相軌跡以振蕩方式趨近于穩(wěn)定焦點。III區(qū)：有，則（13）相變量方程為（14）相軌跡微分方程為：（15）等傾斜線方程為（16）III區(qū)存在奇點，系統(tǒng)的特征方程為（17）其特征根為（18）和為一對具有負實部的共軛根，相軌跡以振蕩方式趨近于穩(wěn)定焦點。因此系統(tǒng)相平面圖如圖所示。9-11 考慮帶滯環(huán)的非線性控制系統(tǒng)如圖9-45所示，輸入為單位斜坡函數(shù)。試繪制系統(tǒng)的相平面圖。圖9-45 習(xí)題9-11圖解：帶滯環(huán)的非線性特性為（1）根據(jù)和將相平面分成兩個區(qū)段，相平面上半平面，轉(zhuǎn)換線為，而下半平面，轉(zhuǎn)換線為，轉(zhuǎn)換線為一條折線。線性環(huán)節(jié)的微分方程為：，因為，所以，。I區(qū)：因得相變量方程為（2）相軌跡微分方程

10、為（3）即，解析法得（4）其中，為常數(shù)。因此，I 區(qū)的相平面圖是一簇對稱e軸、開口向左的拋物線。II區(qū)：由得相變量方程為（5）相軌跡微分方程為：（6）即，解得（7）其中，為常數(shù)。II 區(qū)的相平面圖是一簇對稱e軸、開口向右的拋物線。系統(tǒng)的相平面圖如圖所示：9-12 已知非線性控制系統(tǒng)如圖9-46所示，其中，設(shè)輸出為零初始條件，輸入為。試求：（1）繪出相平面圖；（2）判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定，最大穩(wěn)態(tài)誤差是多少；（3）繪制及的時間響應(yīng)的大致波形。圖9-46 習(xí)題9-12圖解：（1）由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖知系統(tǒng)描述函數(shù)的微分方程為：, 其中（1）可分三個線性化區(qū)段，相平面上的轉(zhuǎn)換線為，而線性環(huán)節(jié)的微分方程為（2）當(dāng)

11、時，有。由式（2）和，此時可得（3）開關(guān)線和將平面分成三個區(qū)。I區(qū)：因，由式（3）得（4）相變量方程為（5）相軌跡微分方程為（6）因此，I 區(qū)的相軌跡是斜率為-1的直線。II區(qū)：由線性關(guān)系和式（3）得（8）相變量方程為（9）相軌跡微分方程為：（10）等傾斜線方程為（11）III區(qū)：有，則（12）相變量方程為（13）相軌跡微分方程為：（14）等傾斜線方程為（15）相平面圖在每個區(qū)域均為線性系統(tǒng)的標準相圖，整體相平面圖如圖所示：（2）由相軌跡可知，無論初始狀態(tài)如何，該系統(tǒng)均穩(wěn)定，系統(tǒng)輸出最大穩(wěn)態(tài)誤差是。（3）若輸出為零初始條件而輸入，II區(qū)相軌跡方程：，計算可得其進入I區(qū)時，（準確值為-0.784

12、4），故必然穿過I區(qū)而進入III區(qū)，并最終返回至II區(qū)。故對應(yīng)誤差先有1降至-0.25，則回升至穩(wěn)態(tài)誤差滿足。時間響應(yīng)的大致波形為：時間響應(yīng)的大致波形為：9-13 圖9-47為一帶有庫侖摩擦的二階系統(tǒng)，試用相平面法討論庫侖摩擦對系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響。圖9-47 習(xí)題9-13圖解：假設(shè)開始時系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，即 ，,由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖有, 其中為庫侖摩擦非線性環(huán)節(jié)輸出則 因為： 所以： ， ，整理得： 當(dāng)時，相軌跡微分方程為：令得等傾斜線方程為：當(dāng)時，相軌跡微分方程為：令得等傾斜線方程為：未引入庫侖摩擦非線性環(huán)節(jié)時，系統(tǒng)的微分方程為：,等傾線方程為：所以引入庫侖摩擦非線性環(huán)節(jié)后，系統(tǒng)對單位階躍響應(yīng)收

13、斂速度加快，超調(diào)量減小，從而改善了系統(tǒng)動態(tài)性能。系統(tǒng)的相平面圖如下：由相平面圖可知，引入庫侖摩擦非線性環(huán)節(jié)后，系統(tǒng)響應(yīng)不再為無阻尼振蕩，而是經(jīng)有限次振蕩（初始狀態(tài)遠離原點時）或者單調(diào)（初始狀態(tài)為遠離原點時）收斂并最終靜止于輸入值附近，最大穩(wěn)態(tài)誤差為。因此，摩擦環(huán)節(jié)的作用為加速階躍響應(yīng)收斂，減小超調(diào)量，從而改善系統(tǒng)動態(tài)性能。9-14 為了獲得滿意的系統(tǒng)過渡過程，可在系統(tǒng)中添加如圖9-48所示的變增益特性，若，試確定和的取值范圍。圖9-48 習(xí)題9-14圖解：系統(tǒng)微分方程為由變增益特性的數(shù)學(xué)表達式并且有，由此得到，當(dāng)時，系統(tǒng)微分方程為即此處處于大偏差階段，應(yīng)重點保證響應(yīng)速度。此時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方

14、程為可知和，應(yīng)使，即使處于欠阻尼狀態(tài)，此時特征根為，奇點、為穩(wěn)定焦點。同理，當(dāng)時，系統(tǒng)的微分方程為考慮到此時系統(tǒng)處于小偏差階段，重點是保證響應(yīng)平穩(wěn)，因此選擇使系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，即，得，此時系統(tǒng)的特征方程的根為，奇點類型為穩(wěn)定節(jié)點。因此選擇和的取值使得其滿足。系統(tǒng)相平面圖如下：9-15 圖9-49所示為一個帶非線性反饋的二階系統(tǒng)，試用MATLAB繪制系統(tǒng)的相平面圖，并分析系統(tǒng)的運動。圖9-49 習(xí)題9-15圖解：直線和將相平面劃分為三個線性區(qū)域。，飽和非線性特性和數(shù)學(xué)描述為，將代入上式得線性環(huán)節(jié)的微分方程為：即：I區(qū)：當(dāng)時 相變量方程為相軌跡微分方程為區(qū)域I有一個奇點為穩(wěn)定焦點。II區(qū)：當(dāng)，即

15、，可得相變量方程為相軌跡微分方程為等傾斜線方程為區(qū)域II相應(yīng)的相軌跡方程為上式也為橢圓方程，中心點在處。III區(qū)：當(dāng)，即時，得相變量方程為相軌跡微分方程為等傾斜線方程為區(qū)域III相應(yīng)的相軌跡方程為式中，A由初始條件決定，上式是橢圓方程，中心點在處。由相軌跡可知，無論初始狀態(tài)如何，該系統(tǒng)均穩(wěn)定。9-16 根據(jù)本章表9-1中已知的非線性特性描述函數(shù)，求圖9-50所示非線性特性的描述函數(shù)。 （a） （b）（c）圖9-50 習(xí)題9-16圖解：圖9-50（a）中非線性環(huán)節(jié)相當(dāng)于死區(qū)非線性和死區(qū)繼電非線性環(huán)節(jié)的并聯(lián)（圖1），由描述函數(shù)定義，并聯(lián)等效非線性特性的描述函數(shù)為各非線性特性描述函數(shù)的代數(shù)和。因此

16、圖 1 圖9-50（b）中的非線性環(huán)節(jié)相當(dāng)于兩個死區(qū)繼電非線性環(huán)節(jié)的并聯(lián)（圖2） 圖 2 圖9-50（c）中由于非線性特性對稱，故只需要考慮的情況。當(dāng)時 ；當(dāng)，否則 ；令，則有 故 ，即當(dāng)時，有，。因此，圖9-50（c）中兩個非線性環(huán)節(jié)可以等效為死區(qū)繼電非線性環(huán)節(jié)（圖3）圖3其描述函數(shù)為：其中 。9-17 判斷圖9-51所示各系統(tǒng)是否穩(wěn)定？ 與的交點是穩(wěn)定工作點還是不穩(wěn)定工作點。 （a） （b） （c） （d） （e） （f）圖9-51 習(xí)題9-17圖 解：圖（a）（b）（c）的曲線與曲線相交，可出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán)也可出現(xiàn)不穩(wěn)定的極限環(huán)。根據(jù)極限環(huán)穩(wěn)定性判據(jù)，圖（a）的交點處出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán)，是

17、穩(wěn)定工作點，圖（b）的交點處出現(xiàn)不穩(wěn)定極限環(huán)，是不穩(wěn)定工作點，圖（c）中的交點a處出現(xiàn)不穩(wěn)定極限環(huán)，是不穩(wěn)定工作點，交點b處出現(xiàn)穩(wěn)定極限環(huán)，是穩(wěn)定工作點。圖（d）和(e)中的曲線完全被曲線包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定，圖（f）的曲線不被曲線包圍，系統(tǒng)穩(wěn)定。9-18 某單位反饋系統(tǒng)，其前向通道中有一描述函數(shù)的非線性元件，線性部分的傳遞函數(shù)為，試用描述函數(shù)法確定系統(tǒng)是否存在自振？若有，參數(shù)是多少。解：由題意知非線性部分的描述函數(shù)為 ，其負倒描述函數(shù)為 。作和的曲線可知系統(tǒng)存在穩(wěn)定的自振點。由描述函數(shù)分析法，有： 即： 解之得：，所以系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩：9-19 已知非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖9-52所示，圖中非線性

18、環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，試用描述函數(shù)法確定：（1）使該非線性系統(tǒng)穩(wěn)定，不穩(wěn)定以及產(chǎn)生周期運動時，線性部分的值范圍。（2）判斷周期運動的穩(wěn)定性，并計算穩(wěn)定周期運動的振幅和頻率。圖9-52 習(xí)題9-19圖解：（1）非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)的負倒描述函數(shù)為：。由，得為單調(diào)減函數(shù)，作和的曲線如下圖所示：其穿越頻率，曲線與負實軸的交點為 。當(dāng) 時，的曲線不包圍曲線，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng) 時，的曲線和曲線存在交點（，曲線由不穩(wěn)定區(qū)域進入穩(wěn)定區(qū)域，系統(tǒng)存在穩(wěn)定的自振；當(dāng) 時，的曲線完全包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由上述知，隨著的增大，系統(tǒng)由穩(wěn)定變成自振，最終不穩(wěn)定。（2）系統(tǒng)周期運動是穩(wěn)定的。由自振條件：解得：9-20 飽和非線性系統(tǒng)如

19、圖9-53所示，試求：（1）確定系統(tǒng)穩(wěn)定時的最大值。（2）當(dāng)時，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，若產(chǎn)生自持振蕩，求振蕩頻率和幅值。圖9-53 習(xí)題9-20圖解：（1）飽和非線性特性的描述函數(shù)為其負倒描述函數(shù)為當(dāng)時，。因此，曲線負實軸上段，欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，則線性部分曲線必不包圍段。由線性部分傳遞函數(shù)可得令上式虛部為零，即解得，曲線與負實軸相交點的頻率代入，可得負實軸交點處的坐標值，即令，可得K的臨界值，即（2）當(dāng)時，令，即（按近似求解，可估計X值很大，故由得。帶入上式驗證得10.002）解得，因此，當(dāng)時，系統(tǒng)不穩(wěn)定，振蕩頻率為，振幅為。9-21 已知非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖9-54所示，其中繼電特性的描述函數(shù)為，線性部分的傳遞函數(shù)為，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求出當(dāng)自振幅值時，自振頻率和放大系數(shù)的數(shù)值。圖9-54 習(xí)題9-21圖解：該系統(tǒng)的非線性部分可以看成由放大系數(shù)為1的放大環(huán)節(jié)與繼電特性相并聯(lián)而成，因此可得其描述函數(shù)為則負倒描述函數(shù)為當(dāng)由變化時，曲線是在復(fù)平面上由原點到點的一段直線。系統(tǒng)穩(wěn)定性分析：當(dāng)K 比較大時，曲線將包圍曲線，這時，控制系統(tǒng)不穩(wěn)定；當(dāng) 較小時，曲線將于曲線相交，這時，控制系統(tǒng)產(chǎn)生相應(yīng)于交點處的自持振蕩。已知自振的振幅為，則有因此，曲線與相交于點，因為令的虛部等于0，即有所以，令的實部等于，即解得9-