概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式及習(xí)題答案

1、第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特別地，當A、B互斥時， P(A+B)=P(A)+P(B)條件概率公式概率的乘法公式全概率公式：從原因計算結(jié)果Bayes公式：從結(jié)果找原因第二章 二項分布（Bernoulli分布）XB(n,p)泊松分布XP()概率密度函數(shù)怎樣計算概率均勻分布XU(a,b)指數(shù)分布XExp ()分布函數(shù)對離散型隨機變量對連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)與密度函數(shù)的重要關(guān)系：二元隨機變量及其邊緣分布分布規(guī)律的描述方法聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合密度與邊緣密度離散型隨機變量的獨立性連續(xù)型隨機變量的獨立性第三章 數(shù)學(xué)期望離散型隨機變量，數(shù)學(xué)期望定義連續(xù)型隨機變量，數(shù)學(xué)期望定

2、義l E(a)=a，其中a為常數(shù)l E(a+bX)=a+bE(X)，其中a、b為常數(shù)l E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y為任意隨機變量隨機變量g(X)的數(shù)學(xué)期望常用公式方差定義式常用計算式常用公式當X、Y相互獨立時：方差的性質(zhì)D(a)=0，其中a為常數(shù)D(a+bX)=b2D(X)，其中a、b為常數(shù)當X、Y相互獨立時，D(X+Y)=D(X)+D(Y)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差的性質(zhì)獨立與相關(guān)獨立必定不相關(guān)相關(guān)必定不獨立不相關(guān)不一定獨立第四章 正態(tài)分布標準正態(tài)分布的概率計算標準正態(tài)分布的概率計算公式一般正態(tài)分布的概率計算一般正態(tài)分布的概率計算公式第五章 卡方分布t分布F分布正態(tài)總體條件下樣本均

3、值的分布：樣本方差的分布：兩個正態(tài)總體的方差之比第六章 點估計：參數(shù)的估計值為一個常數(shù)矩估計最大似然估計似然函數(shù) 均值的區(qū)間估計大樣本結(jié)果正態(tài)總體方差的區(qū)間估計兩個正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間大樣本或正態(tài)小樣本且方差已知兩個正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間第七章假設(shè)檢驗的步驟 根據(jù)具體問題提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1 根據(jù)假設(shè)選擇檢驗統(tǒng)計量，并計算檢驗統(tǒng)計值 看檢驗統(tǒng)計值是否落在拒絕域，若落在拒絕域則拒絕原假設(shè)，否則就不拒絕原假設(shè)。不可避免的兩類錯誤第1類(棄真)錯誤：原假設(shè)為真，但拒絕了原假設(shè)第2類(取偽)錯誤：原假設(shè)為假，但接受了原假設(shè)單個正態(tài)總體的顯著性檢驗l 單正態(tài)總體均值的檢驗 大樣本情形Z檢驗

4、 正態(tài)總體小樣本、方差已知Z檢驗 正態(tài)總體小樣本、方差未知 t檢驗l 單正態(tài)總體方差的檢驗 正態(tài)總體、均值未知卡方檢驗單正態(tài)總體均值的顯著性檢驗統(tǒng)計假設(shè)的形式 雙邊檢驗左邊檢驗 右邊檢驗單正態(tài)總體均值的Z檢驗拒絕域的代數(shù)表示雙邊檢驗左邊檢驗右邊檢驗比例特殊的均值的Z檢驗單正態(tài)總體均值的 t 檢驗單正態(tài)總體方差的卡方檢驗拒絕域雙邊檢驗左邊檢驗右邊檢驗1概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題及答案習(xí)題一1略.見教材習(xí)題參考答案.2.設(shè)A，B，C 為三個事件，試用A，B，C 的運算關(guān)系式表示下列事件：（1） A 發(fā)生，B，C 都不發(fā)生；（2） A 與B 發(fā)生，C 不發(fā)生；（3） A，B，C 都發(fā)生；（4） A，B，C

5、 至少有一個發(fā)生；（5） A，B，C 都不發(fā)生；（6） A，B，C 不都發(fā)生；（7） A，B，C 至多有2 個發(fā)生；（8） A，B，C 至少有2 個發(fā)生.【解】（1） A BC （2） ABC （3） ABC（4） ABC= AB C A BC A BC A BCA B CABC ABC= ABC（5） ABC = A B C （6） ABC（7） A BCA B CABC AB CA BC A BC ABC = ABC = A B C（8） ABBCCA=ABC A B C A BCABC3.略.見教材習(xí)題參考答案4.設(shè)A，B 為隨機事件，且P（A）=0.7,P（AB）=0.3，求P（ AB

6、 ）.【解】 P（ AB ）=1P（AB）=1P（A）P（AB）=10.70.3=0.65.設(shè)A，B 是兩事件，且P（A）=0.6,P（B）=0.7,求：（1） 在什么條件下P（AB）取到最大值？（2） 在什么條件下P（AB）取到最小值？【解】（1） 當AB=A 時，P（AB）取到最大值為0.6.（2） 當AB= 時，P（AB）取到最小值為0.3.6.設(shè)A，B，C 為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C 至少有一事件發(fā)生的概率.【解】P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）P（AB）P（BC）P（AC）+P（

7、ABC）=14+14+13 112=347.從52 張撲克牌中任意取出13 張，問有5 張黑桃，3 張紅心，3 張方塊，2 張梅花的概率2是多少？【解】 p= 5 3 3 2 1313 13 13 13 52 C C C C /C8.對一個五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題：（1） 求五個人的生日都在星期日的概率； （2） 求五個人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五個人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 設(shè)A1=五個人的生日都在星期日，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1 個，故P（A1）= 517=（17）5 （亦可用獨立性求解，下同）（2） 設(shè)A2=五個人生日都不在星期日，有利事件數(shù)為65，故P

8、（A2）=5567=（67）5（3） 設(shè)A3=五個人的生日不都在星期日P（A3）=1P（A1）=1（17）59.略.見教材習(xí)題參考答案.10.一批產(chǎn)品共N 件，其中M 件正品.從中隨機地取出n 件（n30.如圖陰影部分所示.2230 160 4P = =22.從（0，1）中隨機地取兩個數(shù)，求：（1） 兩個數(shù)之和小于65的概率；（2） 兩個數(shù)之積小于14的概率.【解】設(shè)兩數(shù)為x,y，則0x,y1.（1） x+y65.11 4 41 2 5 5 17 0.681 25p = = =（2） xy=（3） 1 2( 1)! 1 ; 3!( 2)!, 3! !p n p n nn n n = = = 3

9、8.將線段0，a任意折成三折，試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率【解】 設(shè)這三段長分別為x,y,axy.則基本事件集為由0xa,0ya,0axy + + 構(gòu)成的圖形，即02022x ay aa x y a + 正正（甲乙）=（甲正乙正）=（n+1甲反n乙反）12=（甲反1+乙反）=（甲反乙反）由對稱性知P（甲正乙正）=P（甲反乙反）因此P（甲正乙正）=1246.證明“確定的原則”（Surething）：若P（A|C）P（B|C）,P（A|C ）P（B|C ），則P（A）P（B）.【證】由P（A|C）P（B|C）,得( ) ( ),( ) ( )P AC P BCP C P C即有 P(AC) P

10、(BC)同理由 P(A|C) P(B |C),得 P(AC) P(BC),故 P(A) = P(AC) + P(AC) P(BC) + P(BC) = P(B)47.一列火車共有n 節(jié)車廂，有k（kn）個旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一個旅客的概率.【解】 設(shè)Ai=第i 節(jié)車廂是空的，（i=1,n）,則1 2 1( ) ( 1) (1 1)( ) (1 2)( ) (1 1) nkki kki jki i iP A nn nP AAnP A A A n n= = = = 其中i1,i2,in1 是1，2，n 中的任n1 個.顯然n 節(jié)車廂全空的概率是零，于是2 11 2 11

11、1122111 1111 2 31( ) (1 1) C (1 1)( ) C (1 2)( ) C (1 1)0( ) ( 1)nnnk ki niki j ni j nn kn ii i ni i i nnnni niS PA nn nS PAAnS P A A A nnSP A S S S S= 0.試證明：不論0 如何小，只要不斷地獨立地重復(fù)做此試驗，則A 遲早會出現(xiàn)的概率為1.【證】在前 n 次試驗中，A 至少出現(xiàn)一次的概率為1 (1 )n 1(n)49.袋中裝有m 只正品硬幣，n 只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽）.在袋中任取一只，將它投擲r 次，已知每次都得到國徽.試問這只硬

12、幣是正品的概率是多少？【解】設(shè)A=投擲硬幣r 次都得到國徽B=這只硬幣為正品由題知 ( ) , ( ) P B m P B nm n m n= =+ +( | ) 1 , ( | ) 12r P A B = P A B =則由貝葉斯公式知( | ) ( ) ( ) ( | )( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P B A P AB P B P A BP A P B P A B P B P A B= =+121 1 22rrrmm n mm n m nm n m n= + =+ + +ii i50.巴拿赫（Banach）火柴盒問題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴

13、時他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴時（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？【解】以B1、B2 記火柴取自不同兩盒的事件，則有1 2( ) ( ) 12P B = P B = .（1）發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒恰剩r 根，說明已取了2nr 次，設(shè)n 次取自B1 盒（已空），nr 次取自B2 盒，第2nr+1 次拿起B(yǎng)1，發(fā)現(xiàn)已空。把取2nr 次火柴視作2nr 重貝努里試驗，則所求概率為1 2 22C (1) (1) 1 C 12 2 2 2n n n r nn r n r r r p = i =式中2 反映B1 與B2 盒

14、的對稱性（即也可以是B2 盒先取空）.（2） 前2nr1 次取火柴，有n1 次取自B1 盒，nr 次取自B2 盒，第2nr 次取自B1盒，故概率為1 1 1 2 12 2 1 2 12C (1) (1) 1 C (1)2 2 2 2n n n r n n rn r n r p = =51.求n 重貝努里試驗中A 出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.14【解】設(shè)在一次試驗中A 出現(xiàn)的概率為p.則由( )n C0 0 n C1 n 1 C2 2 n 2 Cn n 0 1n n n n q + p = p q + pq + p q + p q =( )n C0 0 n C1 n 1 C2 2 n 2 ( 1)nCn

15、n 0n n n n q p = p q + pq + p q + p q以上兩式相減得所求概率為1 1 3 3 31 C n C nn n p = pq + p q +1 1 ( ) 2= q p n1 1 (1 2 ) 2= p n若要求在n 重貝努里試驗中A 出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得21 1 (1 2 ) 2p = + p n .52.設(shè)A，B 是任意兩個隨機事件，求P（ A +B）（A+B）（ A + B ）（A+ B ）的值.【解】因為（AB）（ A B ）=A B A B（ A B）（A B ）=AB AB所求 (A+ B)(A+ B)(A+ B)(A+ B) =

16、(AB AB)(AB + AB)= 故所求值為0.53.設(shè)兩兩相互獨立的三事件，A，B 和C 滿足條件：ABC=，P（A）=P（B）=P（C） 1/2，且P（ABC）=9/16，求P（A）.【解】由P(A BC) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC)3 ( ) 3 ( )2 916= P A P A =故( ) 14P A = 或34,按題設(shè)P（A）12,故P（A）=14.54.設(shè)兩個相互獨立的事件A 和B 都不發(fā)生的概率為1/9，A 發(fā)生B 不發(fā)生的概率與B 發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求P（A）.【解】( ) ( ) 1 ( ) 19P

17、 AB = P A B = P A B = P(AB) = P(AB) 故 P(A) P(AB) = P(B) P(AB)故 P(A) = P(B) 15由A,B 的獨立性，及、式有1 1 ( ) ( ) ( ) ( )9= P A P B + P A P B=1 2P(A) +P(A)2= 1 P(A)2故1 ( ) 13 P A = 故( ) 23P A = 或( ) 43P A = （舍去）即P（A）=23.55.隨機地向半圓0y0,P（A|B）=1,試比較P（AB）與P（A）的大小. （2006研考）解：因為 P(A B) = P(A) + P(B) P(AB)P(AB) = P(B)

18、 P(A B) = P(B)所以 P(A B) = P(A) + P(B) P(B) = P(A) .1、歧視：是指由于某些人是某一群體或類屬之成員，而對他們施以不公平或不平等的待遇。根據(jù)以上定義，下面哪種行為沒有發(fā)生歧視（ ）A某公司拒絕招收每一個黑人求職者B公司領(lǐng)導(dǎo)由于擔心客戶不愿意與一位女主管打交道，拒絕了有能力勝任副總裁之職的張女士C王先生認為非洲黑人的素質(zhì)普遍較差D一名小學(xué)教師對學(xué)習(xí)優(yōu)秀的學(xué)生特別關(guān)心，而不重視那些學(xué)習(xí)較差的學(xué)生2、健康：指一個人智力正常，行為合乎情理，能夠適應(yīng)正常工作、社會交往或者學(xué)習(xí)，能夠抵御一般疾病。根據(jù)健康的定義，下列屬于健康的是（ ）A大學(xué)教授老李，雖然五十

19、多歲但工作起來仍然精力充沛，在今年春天患流感B張嬸十九歲的兒子肖聰，讀書十一年還是小學(xué)二年級水平，但是從小到大沒發(fā)生過什么大病，體力活可以干得很好C小胡碩士畢業(yè)后，工作表現(xiàn)一直很優(yōu)秀。自一次事故后，當工作壓力比較大的時候就會精神失常D小劉身體很好，工作非常努力，孝敬父母，但很多同事說他古怪，不愿與其交往3、“ Email 營銷是指在用戶事先許可的前提下，通過電子郵件的方式向目標用戶傳遞有價值信息的一種網(wǎng)絡(luò)營銷手段”。 Email 營銷有三個基本要素：基于用戶許可，通過電子郵件傳遞信息、信息對用戶是有價值的。三個要素缺少一個，都不能稱之為有效的 Email 營銷。根據(jù)上述定義，下列屬于有效的 Email 營銷的一項是 （ ）A小王 2002 年成為某品牌產(chǎn)品刊物的會員，入會期滿一年后，小王決定退會，但他在網(wǎng)上進行退會操作沒有成功，該產(chǎn)品還繼續(xù)發(fā)來信息 。B小李在某門戶網(wǎng)站注