2015年高考四川理科數(shù)學(xué)試題及答案解析

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)（理科）第卷（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（1）【2015年四川，理1】設(shè)集合，集合，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，故選A（2）【2015年四川，理2】設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】，故選C（3）【2015年四川，理3】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】易得當時時執(zhí)行的是否，當時就執(zhí)行是的步驟，所以，故選D（4）【2015年四川，理4】下列函數(shù)中

2、，最小正周期為且圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】顯然對于A，為關(guān)于原點對稱，且最小正周期是，符合題意，故選A（5）【2015年四川，理5】過雙曲線的右焦點且與軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于，兩點，則（ ）（A） （B） （C）6 （D）【答案】D【解析】由題意可知雙曲線的漸近線方程為，且右焦點，則直線與兩條漸近線的交點分別為，故選D（6）【2015年四川，理6】用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（ ）（A）144個 （B）120個 （C）96個 （D）72個【答案】B【解析】這里大于40000

3、的數(shù)可以分兩類：當5在萬位時，個位可以排0、2、4三個數(shù)中的一個，十位百位和千位沒有限制有種；當4在萬位時，個位可以排0、2兩個數(shù)中的一個，十位百位和千位沒有限制，有種，綜上所述：總共有72+48=120種，故選B（7）【2015年四川，理7】設(shè)四邊形 為平行四邊形，若點，滿足，則（ ）（A）20 （B）15 （C）9 （D）6【答案】C【解析】這里可以采用最快速的方法，把平行四邊形矩形化，因此，過建立直角坐標系，可得到，故選C（8）【2015年四川，理8】設(shè)，都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的（ ）（A）充要條件 （B）充分不必要條件 （C）必要不充分條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】

4、B【解析】由已知條件可得當時，即“”是“”的充分條件然而取則，滿足，卻不滿足“”是“”的不必要條件綜上“”是“”的充分不必要條件，故選B（9）【2015年四川，理9】如果函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則的最大值為（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B【解析】，由于單調(diào)遞減得：，在上恒成立設(shè)，則一次函數(shù)在上為非正數(shù)只須在兩個端點處和即可即，由得：當且僅當時取到最大值經(jīng)驗證，滿足條件和，故選B（10）【2015年四川，理10】設(shè)直線與拋物線相交于，兩點，與圓 相切于點，且為線段的中點 若這樣的直線恰有4條，則的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】設(shè)，則，兩式

5、相減，得：，當直線的斜率不存在時，顯然符合條件的直線有兩條當直線的斜率存在時，可得：，又，由于在拋物線的內(nèi)部，因此，故選D第II卷（共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分（11）【2015年四川，理11】在的展開式中，含的項的系數(shù)是 【答案】-40【解析】由題意可知的系數(shù)為：（12）【2015年四川，理12】的值是 【答案】【解析】（13）【2015年四川，理13】某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲藏溫度（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系 （為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）若該食品在的保鮮時間是192小時，在的保鮮時間是48小時，則該食品在的保鮮時間是_小時【答案】24【解析】，當時，（14）【20

6、15年四川，理14】如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面相互垂直，動點在線段上，分別為，中點，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為 【答案】【解析】以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，并設(shè)正方形邊長為，則，令，從而（15）【2015年四川，理15】已知函數(shù)，(其中)對于不相等的實數(shù)，設(shè)，現(xiàn)有如下命題：(1) 對于任意不相等的實數(shù)，都有；(2) 對于任意的及任意不相等的實數(shù)，都有；(3) 對于任意的，存在不相等的實數(shù)，使得；(4) 對于任意的，存在不相等的實數(shù)，使得其中的真命題有_（寫出所有真命題的序號）【答案】(1) (4)【解析】(1)設(shè)，,函數(shù)是增函數(shù)，則=0，所以正確；(2)設(shè)，則

7、，不妨我們設(shè)，則，矛盾，所以(2)錯(3)，由(1)(2)可得：，化簡得到，也即，令，即對于任意的函數(shù)在定義域范圍內(nèi)存在有兩個不相等的實數(shù)根，則，顯然當時，恒成立，即單調(diào)遞增，最多與x軸有一個交點，不滿足題意，所以錯誤(4)同理可得，設(shè)，即對于任意的函數(shù)在定義域范圍內(nèi)存在有兩個不相等的實數(shù)根，從而不是恒為單調(diào)函數(shù)，恒成立，單調(diào)遞增，又時，時，所以為先減后增的函數(shù)，滿足要求，所以正確 三、解答題：本大題共6題，共75分（16）【2015年四川，理16】（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項和，且，成等差數(shù)列（）求數(shù)列的通項公式；（）記數(shù)列的前項和，求得使成立的的最小值解：（）當時有，則，數(shù)列是以為首項

8、，2為公比的等比數(shù)列又由題意得， （）由題意得，則，又，即成立時，的最小值為（17）【2015年四川，理17】（本小題滿分12分）某市，兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，中學(xué)推薦3名男生，2名女生，中學(xué)推薦了3名男生，4名女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，由于集訓(xùn)后隊員的水平相當，從參加集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊（）求中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率；（）某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X得分布列和數(shù)學(xué)期望解：（）設(shè)事件表示“中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊”，可以采用反面求解：（）由題意，知，；因此的分布列為：期望為： （18

9、）【2015年四川，理18】（本小題滿分12分）一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設(shè)的中點為，的中點為（）請將字母標記在正方體相應(yīng)的頂點處（不需說明理由）；（）證明：直線平面；（）求二面角的余弦值解：（）如下圖所示：（）如答圖所示，連接，相交于點，連接、分別為線段、的中點，且四邊形為平行四邊形，又平面，平面（）連接，過點作于點，過點作于點，連接，由三垂線定理可得，為二面角的平面角，設(shè)正方體棱長為，則，所以，所以，所以，即二面角的余弦值為（19）【2015年四川，理19】（本小題滿分12分）如圖，為平面四邊形的四個內(nèi)角（）證明：；（）若，求解：（）證明：（），

10、同理可得，連接，設(shè)，在和中分別利用余弦定理及可得：，即，解得，從而得，同理可得，（20）【2015年四川，理20】（本小題滿分13分）如圖，橢圓的離心率是，過點 的動直線與橢圓相交于兩點當直線平行于軸時，直線被橢圓截得的線段長為（）球橢圓的方程；（）在平面直角坐標系中，是否存在與點不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由解：（）由題知橢圓過點因此可得：，解得：，橢圓E的方程為：（）假設(shè)存在滿足題意的定點當直線平行于軸時，則，兩點關(guān)于軸對稱，點在軸上不妨設(shè)，當直線垂直于軸時，解得或（舍去，否則點就是點），點的坐標為下面我們證明對于一般的直線，也滿足題意，由角平分線定理可

11、知，軸為的角平分線所以設(shè)，則，聯(lián)立：，消去可得，由韋達定理可得，兩式相加得，即，從而，假設(shè)成立，即存在與點不同的定點，使得恒成立（21）【2015年四川，理21】（本題滿分14分）已知函數(shù)，其中 （）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，討論的單調(diào)性；（）證明：存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解解：（），求導(dǎo)可得，即，對于多項式，（1）當，即時，恒成立此時，恒成立，所以恒單調(diào)遞增（2）當時，一元二次方程有兩個實數(shù)根，設(shè)為那么求根可得：，令，即，解得：，所以在，時單調(diào)遞增令，即，解得：，所以在，時單調(diào)遞減綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增當時，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減（），由（）可知在內(nèi)單調(diào)遞增又時，當時，顯然而在是單調(diào)遞增的，因此在內(nèi)