2018年高考真題——文科數(shù)學(xué)(全國卷II

1、絕密啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2作答時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根據(jù)公式，可直接計算得詳解： ，故選D.點睛：復(fù)數(shù)題是每年高考的必考內(nèi)容，一般以選擇或填空形式出現(xiàn)，屬簡單得分題，高考中復(fù)數(shù)主要考查的內(nèi)容有：復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的乘除運算，在解決此類問題時，注

2、意避免忽略中的負號導(dǎo)致出錯.2. 已知集合，則A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根據(jù)集合可直接求解.詳解：,故選C點睛：集合題也是每年高考的必考內(nèi)容，一般以客觀題形式出現(xiàn)，一般解決此類問題時要先將參與運算的集合化為最簡形式，如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決，若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進行運算.3. 函數(shù)的圖像大致為A. A B. B C. C D. D【答案】B【解析】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點睛：有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函

3、數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù) 4. 已知向量，滿足，則A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【答案】B【解析】分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果.詳解：因為所以選B.點睛：向量加減乘： 5. 從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：分別求出事件“2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)”的總可能及事件“選中的2人都是女同學(xué)”的總可能，代入概率公式可求得概率.詳解：設(shè)2名男同學(xué)為，3名女同學(xué)為，從

4、以上5名同學(xué)中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學(xué)的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學(xué)的概率為，故選D.點睛：應(yīng)用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出事件；第二步，分別求出基本事件的總數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；第三步，利用公式求出事件的概率.6. 雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.7. 在中，則A. B. C. D. 【答案

5、】A【解析】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB.詳解：因為所以，選A.點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的.8. 為計算，設(shè)計了右側(cè)的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根據(jù)程序框圖可知先對奇數(shù)項累加，偶數(shù)項累加，最后再相減.因此累加量為隔項.詳解：由得程序框圖先對奇數(shù)項累加，偶數(shù)項累加，最后再相減.因此在空白框中應(yīng)填入，選B.點睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼

6、，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項.9. 在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用正方體中，將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進行計算即可.詳解：在正方體中，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以則.故選C.點睛：求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角.（2）向量法：求兩直線的方向向量

7、；求兩向量夾角的余弦；因為直線夾角為銳角，所以對應(yīng)的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.10. 若在是減函數(shù)，則的最大值是A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先確定三角函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關(guān)系確定的最大值詳解：因為，所以由得因此，從而的最大值為，選A.點睛：函數(shù)的性質(zhì)： (1). (2)周期 (3)由 求對稱軸， (4)由求增區(qū)間; 由求減區(qū)間.11. 已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：設(shè)，則根據(jù)平面幾何知識可求，再結(jié)合橢圓定義可求離心率.詳解：在中，設(shè)，則，又由橢圓定義可知則離心率，故選D.點睛：橢圓

8、定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是判斷平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為橢圓，二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等；“焦點三角形”是橢圓問題中的常考知識點，在解決這類問題時經(jīng)常會用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義.12. 已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足若，則 A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.詳解：因為是定義域為的奇函數(shù)，且，所以,因此，因為，所以，從而，選C.點睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知

9、解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。、13. 曲線在點處的切線方程為_【答案】y=2x2【解析】分析：求導(dǎo)，可得斜率，進而得出切線的點斜式方程.詳解：由，得則曲線在點處的切線的斜率為，則所求切線方程為，即.點睛：求曲線在某點處的切線方程的步驟：求出函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率；寫出切線的點斜式方程；化簡整理.14. 若滿足約束條件 則的最大值為_【答案】9【解析】分析：作出可行域，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義可知當(dāng)時，. 點睛：線性規(guī)劃問題是高考中?？伎键c，主要以選擇及填空的形式出現(xiàn)，基本題型為給出約束條件求目標函數(shù)的最值，主要結(jié)合方式有：截距型、斜率型、距離

10、型等.15. 已知，則_【答案】【解析】分析：利用兩角差的正切公式展開，解方程可得.詳解：，解方程得.點睛：本題主要考查學(xué)生對于兩角和差公式的掌握情況，屬于簡單題型，解決此類問題的核心是要公式記憶準確，特殊角的三角函數(shù)值運算準確.16. 已知圓錐的頂點為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為_【答案】8【解析】分析：作出示意圖，根據(jù)條件分別求出圓錐的母線，高，底面圓半徑的長，代入公式計算即可.詳解：如下圖所示，又，解得，所以，所以該圓錐的體積為.點睛：此題為填空題的壓軸題，實際上并不難，關(guān)鍵在于根據(jù)題意作出相應(yīng)圖形，利用平面幾何知識求解相應(yīng)線段長，代入圓錐體積公式即

11、可.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23為選考題。考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。17. 記為等差數(shù)列的前項和，已知， （1）求的通項公式； （2）求，并求的最小值【答案】解：（1）設(shè)an的公差為d，由題意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通項公式為an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以當(dāng)n=4時，Sn取得最小值，最小值為16【解析】分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項公式得結(jié)果，（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式得的二次函數(shù)關(guān)系式，根

12、據(jù)二次函數(shù)對稱軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值.詳解：（1）設(shè)an的公差為d，由題意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通項公式為an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以當(dāng)n=4時，Sn取得最小值，最小值為16點睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域為正整數(shù)集這一限制條件.18. 下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖 為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)

13、據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型： （1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值； （2）你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由【答案】解：（1）利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 =30.4+13.519=226.1（億元）利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為=99+17.59=256.5（億元）（2）利用模型得到的預(yù)測值更可靠理由如下：（i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y=30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基

14、礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠（ii）從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得

15、分【解析】分析：（1）兩個回歸直線方程中無參數(shù)，所以分別求自變量為2018時所對應(yīng)的函數(shù)值，就得結(jié)果，（2）根據(jù)折線圖知2000到2009，與2010到2016是兩個有明顯區(qū)別的直線，且2010到2016的增幅明顯高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能較好得到2018的預(yù)測.詳解：（1）利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 =30.4+13.519=226.1（億元）利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為=99+17.59=256.5（億元）（2）利用模型得到的預(yù)測值更可靠理由如下：（i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的

16、數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y=30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠（ii）從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏

17、低，而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分點睛：若已知回歸直線方程，則可以直接將數(shù)值代入求得特定要求下的預(yù)測值；若回歸直線方程有待定參數(shù)，則根據(jù)回歸直線方程恒過點求參數(shù).19. 如圖，在三棱錐中，為的中點 （1）證明：平面； （2）若點在棱上，且，求點到平面的距離【答案】解：（1）因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以O(shè)PAC，且OP=連結(jié)OB因為AB=BC=，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OB=2由知，OPOB由OPOB，OPAC知PO平面ABC（2）作CHOM，垂足為H又由（1）可

18、得OPCH，所以CH平面POM故CH的長為點C到平面POM的距離由題設(shè)可知OC=2，CM=，ACB=45所以O(shè)M=，CH=所以點C到平面POM的距離為【解析】分析：（1）連接，欲證平面，只需證明即可；（2）過點作，垂足為，只需論證的長即為所求，再利用平面幾何知識求解即可.詳解：（1）因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以O(shè)PAC，且OP=連結(jié)OB因為AB=BC=，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OB=2由知，OPOB由OPOB，OPAC知PO平面ABC（2）作CHOM，垂足為H又由（1）可得OPCH，所以CH平面POM故CH的長為點C到平面POM的距離由題設(shè)可知OC=2，CM=

19、，ACB=45所以O(shè)M=，CH=所以點C到平面POM的距離為點睛：立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問多以線面的證明為主，解題的核心是能將問題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系的證明；本題第二問可以通過作出點到平面的距離線段求解，也可利用等體積法解決.20. 設(shè)拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點， （1）求的方程； （2）求過點，且與的準線相切的圓的方程【答案】解：（1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x1）（k0）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）由得 ，故所以由題設(shè)知，解得k=1（舍去），k=1因此l的方程為y=x1（2）由（1）得AB的中點坐標為（3，2），所以A

20、B的垂直平分線方程為，即設(shè)所求圓的圓心坐標為（x0，y0），則解得或因此所求圓的方程為或詳解：（1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x1）（k0）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）由得 ，故所以由題設(shè)知，解得k=1（舍去），k=1因此l的方程為y=x1（2）由（1）得AB的中點坐標為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為，即設(shè)所求圓的圓心坐標為（x0，y0），則解得或因此所求圓的方程為或點睛：確定圓的方程方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程(2)待定系數(shù)法若已知條件與圓心和半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，從而求出的值；若已知

21、條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組，進而求出D、E、F的值21. 已知函數(shù) （1）若，求的單調(diào)區(qū)間； （2）證明：只有一個零點【答案】解：（1）當(dāng)a=3時，f（x）=，f （x）=令f （x）=0解得x=或x=當(dāng)x（，）（，+）時，f （x）0；當(dāng)x（，）時，f （x）0；當(dāng)x（，）時，f （x）0故f（x）在（，），（，+）單調(diào)遞增，在（，）單調(diào)遞減（2）由于，所以等價于設(shè)=，則g （x）=0，僅當(dāng)x=0時g （x）=0，所以g（x）在（，+）單調(diào)遞增故g（x）至多有一個零點，從而f（x）至多有一個零點又f（3a1）=，f（3a+1）=，故

22、f（x）有一個零點綜上，f（x）只有一個零點點睛：（1）用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟如下：確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)；由（或）解出相應(yīng)的的取值范圍，當(dāng)時，在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時，在相應(yīng)區(qū)間上是減增函數(shù).（2）本題第二問重在考查零點存在性問題，解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為求證函數(shù)有唯一零點，可先證明其單調(diào)，再結(jié)合零點存在性定理進行論證.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22. 選修44：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)） （1）求和的直角坐標方程； （2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率【答案】解：（1）曲線的直角坐標方程為當(dāng)時，的直角坐標方程為，當(dāng)時，的直角坐標方程為（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標方程，整理得關(guān)于的方程因為曲線截直線所得線段的中點在內(nèi)，所以有兩個解，設(shè)為，則又由得，故，于是直線的斜率【解析】分析：(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標方程，根據(jù)代入消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方