正弦定理和余弦定理

1、正弦定理和余弦定理正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容2Ra2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC變形(1)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(2)sinA，sinB，sinC；(3)abcsinAsinBsinC；(4)asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinAcosA；cosB；cosCSABCabsinCbcsinAacsinB(abc)r(r是三角形內(nèi)切圓半徑)，并可由此計(jì)算R、r選擇題在ABC中，已知a2，b，A45，則滿足條

2、件的三角形有()A1個(gè) B2個(gè) C0個(gè) D無(wú)法確定解析bsinA，bsinAa1，所以只需使邊長(zhǎng)為3及x的對(duì)角都為銳角即可，故即8x20，所以2x.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若cosA，則ABC為()A鈍角三角形 B直角三角形 C銳角三角形 D等邊三角形解析已知cosA，由正弦定理，得cosA，即sinCsinBcosA，所以sin(AB)sinBcosA，即sinBcosAcosBsinAsinBcosA0，所以cosBsinA0，于是有cosB1.角B不存在，即滿足條件的三角形不存在若ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sinAsinBsinC51113，則ABC()A一定是銳角三

3、角形 B一定是直角三角形C一定是鈍角三角形 D可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形解析由正弦定理2R(R為ABC外接圓半徑)及已知條件sinAsinBsinC51113，可設(shè)a5x，b11x，c13x(x0)則cosC0，C為鈍角，ABC為鈍角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則“ab”是“cos2Acos2B”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析因?yàn)樵贏BC中，absinAsinBsin2Asin2B2sin2A2sin2B12sin2A12sin2Bcos2Acos2B，所以“ab”是“cos2Acos2B”的充分必要條件在A

4、BC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知bc，a22b2(1sinA)，則A()A. B. C. D.解析在ABC中，由bc，得cosA，又a22b2(1sinA)，所以cosAsinA，即tanA1，又知A(0，)，所以A，故選C.在ABC中，AB，AC1，B30，ABC的面積為，則C()A30 B45 C60 D75解析SABCABACsinA，即1sinA，sinA1，由A(0，180)，A90，C60，故選C已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則B等于()A. B. C. D.解析根據(jù)正弦定理2R，得，即a2c2b2ac，得cosB，故B，故選C.在ABC中，

5、角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若A，a2，b，則B等于()A. B. C.或 D.解析A，a2，b，由正弦定理可得，sinBsinA，A，B設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，若bc2a,3sinA5sinB，則角C等于()A. B. C. D.解析因?yàn)?sinA5sinB，所以由正弦定理可得3a5b.因?yàn)閎c2a，所以c2aaa.令a5，b3，c7，則由余弦定理c2a2b22abcosC，得49259235cosC，解得cosC，所以C.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c2(ab)26，C，ABC的面積是()A3 B. C. D3解析c2(ab)

6、26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcosa2b2ab.由得ab60，即ab6，SABCabsinC6.填空題ABC中，若bcosCccosBasinA，則ABC的形狀為_(kāi)解析由已知得sinBcosCcosBsinCsin2A，sin(BC)sin2A，sinAsin2A，又sinA0，sinA1，A，ABC為直角三角形在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若角A，B，C依次成等差數(shù)列，且a1，b，則SABC_.解析因?yàn)榻茿，B，C依次成等差數(shù)列，所以B60.由正弦定理，得，解得sinA，因?yàn)?A180，所以A30或150(舍去)，此時(shí)C90，所以SABCab在ABC

7、中，a4，b5，c6，則_解析由余弦定理：cosA，sinA，cosC，sinC，1.在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若(a2c2b2)tanBac，則角B的值為_(kāi)解析由余弦定理，得cosB，結(jié)合已知等式得cosBtanB，sinB，B或在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bcosCbsinCac0，則角B_解析由正弦定理知，sinBcosCsinBsinCsinAsinC0sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，代入上式得sinBsinCcosBsinCsinC0sinC0，sinBcosB10，2sin1，即sin.B(0，)，B在ABC中，

8、已知sinAsinB1，c2b2bc，則三內(nèi)角A，B，C的度數(shù)依次是_解析由題意知ab，a2b2c22bccosA，即2b2b2c22bccosA，又c2b2bc，cosA，A45，sinB，B30，C105.設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2，cosC，3sinA2sinB，則c_解析由3sinA2sinB及正弦定理，得3a2b，又a2，所以b3，故c2a2b22abcosC4922316，所以c4.設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a，sinB，C，則b_解析因?yàn)閟inB且B(0，)，所以B或B.又C，BC，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，在AB

9、C中，A60，AC2，BC，則AB_解析A60，AC2，BC，設(shè)ABx，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosA，化簡(jiǎn)得x22x10，x1，即AB1.在ABC中，A，ac，則_解析在ABC中，a2b2c22bccosA，將A，ac代入，可得(c)2b2c22bc，整理得2c2b2bc，c0，等式兩邊同時(shí)除以c2，得22，可解得1在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為3，bc2，cosA，則a的值為_(kāi)解析cosA，0A，sinA，SABCbcsinAbc3，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccosA522

10、2464，a8.解答題在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知A，b2a2c2(1)求tanC的值；(2)若ABC的面積為3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos2Bsin2C.又由A，即BC，得cos2Bcos2cossin2C2sinCcosC，由解得tanC2.(2)由tanC2，C(0，)得sinC，cosC，因?yàn)閟inBsin(AC)sin，所以sinB，由正弦定理得cb，又因?yàn)锳，bcsinA3，所以bc6，故b3.已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，absinAacosB.(1)求角B；(2)若b2，ABC的面

11、積為，求a，c.解(1)由absinAacosB及正弦定理，得sinAsinBsinAsinAcosB，0A0，sinBcosB1，即sin，又0B，B，B.(2)SacsinB，ac4，又b2a2c22accosB，即a2c28.由聯(lián)立解得ac2.如圖，在ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分BAC，ABD面積是ADC面積的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的長(zhǎng)解(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因?yàn)镾ABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC，由正弦定理可得.(2)因?yàn)镾ABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2

12、AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知acb，sinBsinC(1)求cosA的值；(2)求cos的值解(1)ABC中，由，及sinBsinC，可得bc，又由acb，有a2c，所以cosA(2)在ABC中，由cosA，可得sinA于是，cos2A2cos2A1，sin2A2sinAcosA所以，coscos2Acossin2Asin已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb

13、)sinC，則ABC面積的最大值為解析由正弦定理，可得(2b)(ab)(cb)ca2，a2b2c2bc，即b2c2a2bc由余弦定理，得cosA，sinA.由b2c2bc4，得b2c24bc.b2c22bc，即4bc2bc，bc4，SABCbcsinA，即(SABC)max.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2BsinAcosAsinBcosB.(1)求角C的大小；(2)若sinA，求ABC的面積解(1)由題意得sin2Asin2B，即sin2Acos2Asin2Bcos2B，sinsin.由ab，得AB，又AB(0，)，所以2A2B，即AB，所

14、以C.(2)由c，sinA，得a，由ac，得AC，從而cosA，故sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，所以，ABC的面積為SacsinB.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知cosB，sin(AB)，ac2，求sinA和c的值解在ABC中，由cosB，得sinB，因?yàn)锳BC，所以sinCsin(AB).因?yàn)閟inCsinB，所以CB，可知C為銳角所以cosC.因此sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.由，可得a2c，又ac2，所以c1.專項(xiàng)能力提升在ABC中，AC，BC2，B60，則BC邊上的高等于()A. B. C. D.解析設(shè)ABc，

15、則由AC2AB2BC22ABBCcosB知7c242c，即c22c30，c3(負(fù)值舍去)BC邊上的高為ABsinB3.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，若cacosB(2ab)cosA，則ABC的形狀為()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形解析cacosB(2ab)cosA，C(AB)，由正弦定理得sinCsinAcosB2sinAcosAsinBcosA，sinAcosBcosAsinBsinAcosB2sinAcosAsinBcosAcosA(sinBsinA)0，cosA0或sinBsinA，A或BA或BA(舍去)，ABC為等腰或直角三角形在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若SABC2，ab6，2cosC，則c()A2 B4 C2 D3解析2cosC，由正弦定理，得sinAcosBcosAsinB2sinCcosC，sin(AB)sinC2sinCcosC，由于0C，sinC0，cosC，C.SABC2absinCab，ab8，又ab6，或c2a2b22abcosC416812，c2，故選C.在ABC中，若b5，B，tanA2，則a_解析由tanA2得sinA2cosA，又sin2Acos2A1得sinA.b5，B，根據(jù)正弦定理，有，a2.在ABC中，B120，AB，A