七寶中學(xué)數(shù)列中的整除問(wèn)題-0210(完整

1、數(shù)列中的整除問(wèn)題數(shù)列中的不等關(guān)系數(shù)列中的整除問(wèn)題基礎(chǔ)知識(shí)1、 整數(shù)的基本性質(zhì)（1） 整數(shù)的和、差、積仍為整數(shù)（2） 整數(shù)的奇偶性，運(yùn)算規(guī)律（3） 若a,bZ,且ab，則ab-1.（4） 最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集，均有一個(gè)最小的自然數(shù)。2、整數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（1）若變量屬于整數(shù)，則利用方程與不等式均可求出變量的值；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若要求得變量的值，通常要依賴方程，而不等式只能求出變量的范圍，但是在整數(shù)范圍內(nèi)，除了方程，在不等式中也可以利用整數(shù)的離散型求出變量的值（2）整除問(wèn)題：若表達(dá)式形式較為簡(jiǎn)單，可通過(guò)對(duì)常熟進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而確定變量的取值；若表達(dá)式次數(shù)較高，則可以先利用二項(xiàng)式定理去掉高次

2、的項(xiàng)，再進(jìn)行處理。（3）多元整數(shù)不定方程：當(dāng)變量的值為整數(shù)時(shí)，不定方程的解可能有有限多組解，通常處理方式有兩個(gè)：通過(guò)對(duì)表達(dá)式進(jìn)行因式分解，對(duì)另一側(cè)的常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而將不定方程拆成多個(gè)方程的方程組，進(jìn)而解出變量將一個(gè)字母視為變量（其余視為參數(shù)）進(jìn)行參變分離，求出含變量函數(shù)的值域，進(jìn)而將參數(shù)置于一個(gè)范圍內(nèi)，再利用整數(shù)離散型求得參數(shù)的值（4）反證法：運(yùn)用反證法處理整數(shù)問(wèn)題時(shí)，常見(jiàn)的矛盾有一下幾點(diǎn)： 解得變量非整數(shù)，或不符合已知范圍 等式兩側(cè)為一奇一偶3、 問(wèn)題通常會(huì)與數(shù)列聯(lián)系起來(lái)，其特征就是數(shù)列中項(xiàng)的序數(shù)，以及前n項(xiàng)和的項(xiàng)數(shù)，均為正整數(shù)。典型例題1. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若為數(shù)列中的項(xiàng)，則答

3、案：2. 若數(shù)列，求的值，使得。引申探究：若將改成，試求值。答案：3. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè)是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。答案：（1）；（2）4. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第五項(xiàng)起一次成等比數(shù)列（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 求出所有的正整數(shù)，使得答案：（1）；（2）5. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（1） 求的值；（2） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3） 是否存在整數(shù)對(duì)，使得等式成立？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。答案：（1）；（2）；（3）6. 已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，是

4、其前項(xiàng)和，且滿足，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；（2） 是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出所有的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。答案：（1），；（2）；（3）7. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且（1） 設(shè)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè)，求，并確定最小正整數(shù)，使得為整數(shù)。答案：（1）；（2）8. 已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，若（1） 求；（2） 對(duì)，將中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求；記，的前項(xiàng)和記為，是否存在，使得成立？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。答案：（1）；（2）；9. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且對(duì)任意的，都有，若，則：（1） 求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2

5、） 試探究：數(shù)列中是否存在一項(xiàng)，它可以表示為該數(shù)列中其他項(xiàng)的和？若存在，請(qǐng)求出該項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。答案：（1）；（2）不成立10. 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，對(duì)于任意的，均存在，使得成立，則答案：歷年好題精選1. 用部分自然數(shù)構(gòu)造如圖的數(shù)表：用表示第行第個(gè)數(shù)，使得，每行中的其他各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和，設(shè)第行中的各數(shù)之和為（1） 寫(xiě)出，并寫(xiě)出與的遞推關(guān)系（不要求證明）（2） 令，證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（3） 數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列？若存在，求出的關(guān)系，若不存在，說(shuō)明理由。122343477451114115答案：2. 已知滿足，其中是數(shù)列的

6、前項(xiàng)和。（1） 若數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2） 若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3） 在（2）的條件下，設(shè)，求證：數(shù)列中的任意一項(xiàng)總可以表示成該數(shù)列其他兩項(xiàng)之積。答案：3. 已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2） 若，求正整數(shù)的值；（3） 是否存在正整數(shù)，使得恰好為數(shù)列中的一項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。答案：4. 已知數(shù)列滿足（1） 求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè)數(shù)列；滿足，對(duì)于任意給定的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，試用表示；

7、若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。答案：數(shù)列中的不等關(guān)系一、 基礎(chǔ)知識(shí)1、 在數(shù)列中涉及到的不等關(guān)系通常與數(shù)列的最值有關(guān)，而要求得數(shù)列中的最值項(xiàng)，要依靠數(shù)列的單調(diào)性，所以判斷數(shù)列的單調(diào)性往往是此類問(wèn)題的入手點(diǎn)。2、 如何判斷數(shù)列的單調(diào)性（1） 函數(shù)角度：從通項(xiàng)公式入手，將其視為關(guān)于n的函數(shù)，然后通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷數(shù)列的單調(diào)性。（2） 相鄰項(xiàng)比較：在通項(xiàng)公式不便于直接分析單調(diào)性時(shí)，可考慮進(jìn)行相鄰項(xiàng)的比較得出數(shù)列的單調(diào)性。通常的手段就是作差或作商典型例題1. 已知數(shù)列，前項(xiàng)和滿足（1） 求的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍。答案：（1）；（2）2. 已知數(shù)列中，記數(shù)列的前項(xiàng)和為

8、，若對(duì)任意的恒成立，則整數(shù)的最小值是（）A. 5B. 4C. 3D. 2答案：B3. 已知數(shù)列,滿足，若為等比數(shù)列，且（1） 求；（2） 設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為 求 求正整數(shù)，使得對(duì)于，均有答案：（1）；（2）；4. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，其前9項(xiàng)和為63（1） 求；（2） 設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)，均有，求最小值。答案：（1）；（2）5. 數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，其前9項(xiàng)和為63（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 求證：當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列；（3） 在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列中只有最小，求的取值范圍。答案：（1）；（2）略；（3）6. 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1） 求數(shù)

9、列的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在正數(shù)，使得對(duì)任意整數(shù)都有成立，求的最大值。答案：（1）；（2）177. 已知各項(xiàng)都為整數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的都有（其中且為常數(shù)），記數(shù)列的前項(xiàng)和為（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；（2） 當(dāng)時(shí)，將數(shù)列的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來(lái)順序恰為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，記的前項(xiàng)和為，若存在，使得對(duì)任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。答案：（1）；（2）8. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足（1） 求證：數(shù)列的是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè)數(shù)列滿足（為非零整數(shù)，）問(wèn)是否存在整數(shù)使得對(duì)任意，都有答案：（1）；（2）9. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1） 求

10、的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè)，若集合恰有4個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍。答案：（1）；（2）10. 已知數(shù)列滿足（1） 當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2） 若對(duì)任意，都有成立，求的取值范圍。答案：（1），為奇數(shù)；，為偶數(shù)；（2）數(shù)列中的不等關(guān)系 歷年好題1. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1） 若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2） 若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（3） 記，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值。答案：2. 已知數(shù)列是首項(xiàng)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和中成等差數(shù)列（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 設(shè)，若，求證：答案：3. 已知數(shù)列滿足：，（1） 證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3） 設(shè)（為非零整

11、數(shù)），試確定的值，使得對(duì)任意，都有成立。答案：4. 已知數(shù)列中，（為非零常數(shù)），其前項(xiàng)和滿足（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 若，且，求的值；（3） 是否存在實(shí)數(shù)使得對(duì)任意正整數(shù)，數(shù)列中滿足的最大項(xiàng)恰為第項(xiàng)？若存在，分別求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。答案：5. 數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)一切正整數(shù)都有（1） 求證：；（2） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3） 是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。答案：6. 已知函數(shù)，數(shù)列滿足（1） 求的通項(xiàng)公式；（2） 令，若對(duì)一切成立，求最小正整數(shù)；答案：7. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，對(duì)任意，都有（1）

12、 求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2） 令，若對(duì)任意的，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍。答案：新信息背景下的數(shù)列問(wèn)題一、 基礎(chǔ)知識(shí)1、 問(wèn)題常涉及的知識(shí)點(diǎn)（1） 等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)和求和公式（2） 數(shù)列的單調(diào)性（3） 放縮法證明不等式（4） 簡(jiǎn)單的有關(guān)整數(shù)論（5） 數(shù)學(xué)歸納法與反證法2、 解決此類問(wèn)題的一些技巧（1） 此類問(wèn)題在設(shè)立問(wèn)題中通常具有“環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)”的特點(diǎn)，第（1）問(wèn)讓你熟悉所創(chuàng)設(shè)的定義域背景，第（2）（3）問(wèn)便進(jìn)行進(jìn)一步的應(yīng)用，那么在解題的過(guò)程中要注意解決前面一問(wèn)中的過(guò)程與結(jié)論，因?yàn)檫@本身就是對(duì)“新信息”的詮釋與應(yīng)用。（2） 盡管此類題目與傳統(tǒng)的數(shù)列“求通項(xiàng)，求和”的風(fēng)格不同

13、，但其根基也是所學(xué)的一些基礎(chǔ)知識(shí)與方法。所以在考慮問(wèn)題時(shí)也要向一些基本知識(shí)點(diǎn)靠攏，弄清本問(wèn)考察的與哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)有關(guān)，以便找到一些線索。（3） 在分類討論時(shí)要遵循“先易后難”的原則，以相對(duì)簡(jiǎn)單的情況入手，可能在解決的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)重復(fù)情況與該情況的聯(lián)系，或者發(fā)現(xiàn)一些通用的做法與思路，使得復(fù)雜情況也有章可循。典型例題1. 定義：若對(duì)任意，數(shù)列的前項(xiàng)和都為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列為“完全平方數(shù)列”；特別的，存在，使得數(shù)列的前項(xiàng)和為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列為“部分平方數(shù)列”；（1） 若數(shù)列為“部分平方數(shù)列”，且，求使數(shù)列的前項(xiàng)和為完全平方數(shù)時(shí)的值；（2） 若數(shù)列的前項(xiàng)和，那么數(shù)列是否為“完全平方數(shù)列”？若是，求出的

14、值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3） 試求所有為“完全平方數(shù)列”的等差數(shù)列答案：（1）（2）不是“完全平方數(shù)”；（3）2. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，設(shè)（1） 求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2） 若，求實(shí)數(shù)的最小值；（3） 當(dāng)時(shí)，給出一個(gè)新數(shù)列，其中，設(shè)這個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和為，若可以寫(xiě)成的形式，則稱為“指數(shù)型”和，問(wèn)：中是的項(xiàng)是否存在“指數(shù)型”和，若存在，求出所有“指數(shù)型”和；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。答案：（1）（2）；（3）存在為“指數(shù)型”和3. 如果存在常數(shù)使得數(shù)列滿足：若是數(shù)列中的一項(xiàng)，則也是數(shù)列中的一項(xiàng)，那么就稱數(shù)列為“兌換數(shù)列”，常數(shù)是它的“兌換系數(shù)”（1） 若數(shù)列是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，

15、求和的值；（2） 若又窮遞增數(shù)列是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和；（3） 已知又窮等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是，所有項(xiàng)之和是B，試判斷數(shù)列是否為“兌換數(shù)列”？如果是，給欲證明，并用和B表示它的“兌換系數(shù)”；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。答案：（1）（2）略；（3）4. 設(shè)數(shù)列滿足：；所有項(xiàng)；設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為，即是數(shù)列中滿足不等式的所有項(xiàng)項(xiàng)數(shù)的最大值，我們稱數(shù)列為數(shù)列的伴隨數(shù)列。入數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3（1） 若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3，請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)列；（2） 設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前30項(xiàng)和；（3） 若數(shù)列的前項(xiàng)和（其中為常數(shù)），求數(shù)列的伴隨

16、數(shù)列的前項(xiàng)和答案：（1）（2）84；（3）5. 對(duì)于數(shù)列，若滿足：則稱數(shù)列A為“0-1數(shù)列”，定義變換將“0-1數(shù)列”A中原有的每個(gè)1變成0，1，原有的每個(gè)0變成1，0，例如：則；設(shè)是“0-1數(shù)列”，令（1） 若數(shù)列，求數(shù)列；（2） 若數(shù)列共有10項(xiàng)，則數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)至少有多少對(duì)？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3） 若，記數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)都是0的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)為，求關(guān)于的表達(dá)式答案：（1）（2）10對(duì)；（3）6. 已知數(shù)列是正整數(shù)的一個(gè)全排列，若對(duì)每個(gè)都有，則稱為H數(shù)列（1） 寫(xiě)出滿足的所有H數(shù)列；（2） 寫(xiě)出一個(gè)滿足的H數(shù)列的通項(xiàng)公式（3） 在H數(shù)列中，記，若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，求證：答案：（1）（2

17、）；（3）略7. 若有窮數(shù)列滿足：（1）；（2），則稱該數(shù)列為“階非凡數(shù)列”（1） 分別寫(xiě)出一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列的“3階非凡數(shù)列”和一個(gè)單調(diào)遞減的“4階非凡數(shù)列”；（2） 設(shè)，若設(shè)“階非凡數(shù)列”是等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式；（3） 記“階非凡數(shù)列”的前項(xiàng)的和為，求證：；答案：（1）“3階非凡數(shù)列”：；“4階非凡數(shù)列”（2）；（3）略8. 對(duì)于數(shù)列，把作為新數(shù)列的第一項(xiàng)，把或作為新數(shù)列的第項(xiàng)，數(shù)列成為數(shù)列的一個(gè)生成數(shù)列。例如，數(shù)列1，2，3，4，5的一個(gè)生成數(shù)列是；已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和。（1） 寫(xiě)出的所有可能值；（2） 若生成數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3） 證明：對(duì)于給定的的所有

18、可能值組成的集合為答案：（1）；（2）；（3）略9. 有限數(shù)列同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：對(duì)于任意的對(duì)于任意的三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)數(shù)是數(shù)列中的項(xiàng)（1） 若，且，求的值；（2） 證明：2，3，5不可能是數(shù)列中的項(xiàng)；（3） 求的最大值。答案：（1）；（2）略；（3）10. 對(duì)于實(shí)數(shù)，將滿足“且為整數(shù)”的實(shí)數(shù)稱為實(shí)數(shù)的小數(shù)部分，用記號(hào)表示，對(duì)于實(shí)數(shù)，無(wú)窮數(shù)列滿足如下條件：，其中（1） 若，求數(shù)列；（2） 當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有，求符合要求的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；（3） 若是有理數(shù)，設(shè)（是整數(shù)，是正整數(shù)，互質(zhì)），問(wèn)對(duì)于大于的任意正整數(shù)，是否都有成立，并證明你的結(jié)論。答案：（1）；（2）；（3）存在拓展練習(xí)1. 設(shè)數(shù)列和的項(xiàng)均為，則將數(shù)列和的距離定義為（1） 求出該數(shù)列1，3，5，6和數(shù)列2，3，10，7的距離；（2） 設(shè)為滿足遞推關(guān)系的所有數(shù)列的集合，和為中的兩個(gè)元素，且項(xiàng)數(shù)均為，若，和的距離小于2016，求的最大值；（3） 記是所有7項(xiàng)數(shù)列的集合，且由任何兩個(gè)元素的距離大于或等于3，證明：中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16答案：2. 已知數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，記（1） 寫(xiě)出的所有可能的值；（2） 求的最大值；答案：3. 設(shè)數(shù)列共有項(xiàng)，記該數(shù)列前項(xiàng)中的最大項(xiàng)為，該數(shù)列后項(xiàng)中的最小項(xiàng)為（1） 若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）