函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性

1、一、單調(diào)性的判別法,三、小結(jié)及作業(yè),一、單調(diào)性的判別法,定理,證,應(yīng)用拉氏定理,得,例2,解,例3,解,故單調(diào)區(qū)間為,注意 (1)函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性,2）函數(shù)在整個(gè)定義域上不一定是單調(diào)的，但在不同的區(qū)間上具有單調(diào)性，且改變單調(diào)性的點(diǎn)只可能是的 點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),3）討論函數(shù)單調(diào)性的步驟： ） 1 確定函數(shù)的定義域； 2 求函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)； 3 這些點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，列表討論,4）區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性,例如,例4 確定函數(shù),的單調(diào)區(qū)間,解,令,得,故

2、,的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為,例5,證,證明,因此,單調(diào)減少,單調(diào)減少,也就是,問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向,圖形上任意弧段位 于所張弦的上方,圖形上任意弧段位 于所張弦的下方,1. 曲線的凹凸與拐點(diǎn)的定義,定義 1. 設(shè)函數(shù),在區(qū)間 上連續(xù),1)若恒有,則稱 的圖形,是凹的,2)若恒有,則稱 的圖形,函數(shù)圖形上凹凸的分界點(diǎn)稱為 拐點(diǎn),是凸的,2、曲線凹凸的判定,定理1,例1 判斷曲線,的凹凸性,解,時(shí),故曲線,在,上是凹的,例2,解,注意到,例3 求曲線,的拐點(diǎn),解,不存在,因此點(diǎn)(0,0)為曲線,的拐點(diǎn),判別曲線的凹凸性及拐點(diǎn)的方法步驟： （a）求出 ； （b）求出使 的點(diǎn)及 不存在的點(diǎn)； （c）檢查在這些點(diǎn)左右兩邊的符號(hào),從而決定曲線 的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn),注意,例4 求曲線,的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn),解,1) 求,2) 求拐點(diǎn),可疑點(diǎn)坐標(biāo),令,得,對(duì)應(yīng),3) 列表判別,點(diǎn)(0,1)及,均為拐點(diǎn),故該曲線在,是凸的,三、小結(jié),單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用,定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間,結(jié)論仍然成立,應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式,曲線的彎曲方向凹凸性,凹凸性的判定,改變彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn),拐點(diǎn)的求法1, 2,思考題,思考題解答,例,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,思考題,思考題解答,不能斷定,例,但,當(dāng)