電工電子技術(shù)－第四章 正弦交流電路的穩(wěn)態(tài)分析

1、第四章 正弦交流電路的穩(wěn)態(tài)分析,第一節(jié) 正弦交流電的基本概念 第二節(jié) 正弦交流電的相量表示法 第三節(jié) 單一理想元件的交流電路 第四節(jié) RLC串聯(lián)交流電路 第五節(jié) 阻抗的串聯(lián)與并聯(lián) 第六節(jié) 正弦交流電路的分析方法 第七節(jié) 功率因數(shù)的提高 第八節(jié) 正弦交流電路的諧振,第一節(jié) 正弦交流電的基本概念,一 正弦量 二 正弦量的三要素,一、正弦量 大小和方向隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化 的電壓、電流和電動(dòng)勢(shì)統(tǒng)稱為正弦量,正弦信號(hào)的和、差、微積分等運(yùn)算結(jié)果仍是同頻率的正弦信號(hào),當(dāng)正弦信號(hào)作為電路的信號(hào)源時(shí)，電路中產(chǎn)生的響應(yīng)仍是同頻率的正弦信號(hào),i=Isin(t+,其波形如圖,t,i,T,從表達(dá)式可以看出,當(dāng)Im、T

2、、確定后,正弦量就被唯一地確定了,所以這三個(gè)量統(tǒng)稱為正弦量的三要素,正弦電流 i 用三角函數(shù)表示為,二 正弦量的三要素,1.周期T、頻率f 和角頻率 2.最大值和有效值,3. 相位、初相、相位差,周期T : 正弦量變化一次所需要的時(shí) 間稱為周期。單位是秒 (s）。 頻率f : 1秒鐘正弦量變化的次數(shù)稱 為頻率。單位是赫茲（HZ )。 顯然 f =1/T 或 T =1/f,1.周期、頻率f 和角頻率,角頻率,單位時(shí)間里正弦量變化的角度稱為 角頻率。單位是弧度/秒（rad/s）. =2/T=2f,周期，頻率，角頻率從不同角度描述了正弦量變化的快慢。三者只要知道其中之一便可以求出另外兩個(gè),最大值和有

3、效值,正弦量某一瞬間的值稱為瞬時(shí)值，瞬 時(shí)值中最大的稱為最大值。Im、Um、 Em分別表示電流、電壓和電動(dòng)勢(shì)的 最大值,表示交流電的大小常用有效值的概念,把兩個(gè)等值電阻分別通一交流電流i 和直流電流。如果在相同的時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的熱量相等，那么我們把這個(gè)直流電流定義為交流電流的有效值,所以交流電的有效值是瞬時(shí)值的方均根,即,將電流的三角式帶入上式中有,同理,3.相位、初相、相位差,相位：我們把 t+ 稱為相位。 初相：t=0時(shí)的相位稱為初相。 相位差：任意兩個(gè)同頻率的正弦 量的相位之差。用 表示,例,兩者的相位差為,0 電壓超前電流角 (或電流滯后電壓 角) =0 電壓與電流同相位 0 電流超前電

4、壓角 = 電流與電壓反相,若,u.i,t,解： =314rad/s，=2f f = /2=50(Hz），T=1/f = 0.02s,i= 30, u= 45 = U i=75,t,30,u、i,10,如圖所示,45,u 滯后 i 75, i 超前 u 75,第二節(jié) 正弦交流電的相量表示,一、 相量圖 二、 相量表示（復(fù)數(shù)表示,一、相量圖 正弦信號(hào)可用一旋轉(zhuǎn)矢量來(lái)表示， 令 矢量長(zhǎng)度Im 矢量初始角 矢量旋轉(zhuǎn)速度,如圖,該矢量某一時(shí)刻在縱軸上的投影剛好等于正弦量的瞬時(shí)值,一般我們研究的是同頻率的正弦量， 用相量表示時(shí)，它們同以速度旋 轉(zhuǎn)相對(duì)位置保持不變。因此 ，在同 一相量圖中，以t0時(shí)刻的相量

5、表示 正弦量,相量的寫法為大寫字母的上方加一 個(gè)“.,例： 用相量圖來(lái)表示下列正弦量,解,120,120,V,t,U,u,o,m,120,sin,3,V,t,U,u,o,m,120,sin,2,V,U,u,m,sin,1,120,t,注 意 只有正弦量才能用相量表示； 幾個(gè)同頻率正弦量可以畫在同一相量圖上； 任意兩個(gè)同頻率正弦量的和或差可用平行四邊形法則求,二、相量表示（復(fù)數(shù)表示,我們知道一個(gè)相量可以用復(fù)數(shù)表示， 而正弦量又可以用相量表示，因此正 弦量可以用復(fù)數(shù)表示,復(fù)數(shù)表示法,A=a+jb 代數(shù)式 A=r(cos +jsin)三角式,A=r e j 指數(shù)式 A=r 極坐標(biāo)式,其中,=arct

6、an(b/a,a=r cos,b=r sin,2、有關(guān)復(fù)數(shù)的計(jì)算,加減運(yùn)算用代數(shù)式, 實(shí)部與實(shí)部, 虛部與虛部分別相加減。 乘除運(yùn)算用指數(shù)式或極坐標(biāo)式， 模相乘或相除，輻角相加或減,3. 正弦量的相量表示,一個(gè)復(fù)數(shù)的幅角等于正弦量的初相角， 復(fù)數(shù)的模等于正弦量的最大值或有效值，該復(fù)數(shù)稱為正弦量的相量,R = a+j b 是t = 0 固定相量的復(fù)數(shù)形式 uUm,例： 寫出下列正弦量的相量， 并求 出：i = i1+i2 ,畫出相量圖,解,?1= 2060A,?2=10-30A,? = ?1+ ?2 = 2060+10 30 =20(cos60 +jsin60 )+ 10cos(30)+jsin

7、 (30,22.3633.4o(A,18.66+j12.39,10+j17.39+8.66j5,相量圖為,三、 基爾霍夫定律的相量形式,KCL i = 0 KVL u = 0,?= 0 U= 0,i=i1+i2,第三節(jié) 單一理想元件的交流電路,一、電阻電路 二、電感電路 三、電容電路,設(shè),一、電阻電路,u,1、電壓與電流關(guān)系,i,為了比較各個(gè)正弦量之間的相位關(guān)系，先規(guī)定一個(gè)初相角為零的參考正弦量,u、i 滿足歐姆定律,Im、Um（、）同樣滿足歐姆定律,復(fù)數(shù)形式,復(fù)數(shù)形式歐姆定律,可見(jiàn)：電壓與電流同相位,i,u,相量圖,可見(jiàn):P0 電阻是一個(gè)耗能元件,2功率關(guān)系,瞬時(shí)功率,p= ui =UmIm

8、sin2t =UI(1-cos2t,2)平均功率 = UI = I2R = U2/R,UI,二.電感電路,u,i,1.電壓與電流關(guān)系,設(shè) i =Imsint u = L di/dt = LImcost =Umsin(t+90) Um= LIm,感抗 U=XLI,XL= L,因此,相量表達(dá)式為,電感中的電流滯后電壓90 （電壓超前電流90,相量圖,2功率關(guān)系,1) 瞬時(shí)功率,在正弦交流電路中，電感功率以按正弦規(guī)律變化,波形如圖所示,Pu i =Im Umsint cost,顯然,第一個(gè) 1/4 周期P0,電感吸收能量, 第二個(gè) 1/4 周期 P0,放出能量.它與電源間進(jìn)行能量的互相交換,t,U，

9、 i,t,p,i,u,平均功率(有功功率,電感是儲(chǔ)能元件,不消耗電能,無(wú)功功率,無(wú)功功率反映的是電感與電源間能量互相交換的規(guī)模,QL= U I = I 2 XL = U 2XL 單位: 乏爾（var,解,XL= L=520 IL=UL/ XL=0.336A 電感中電流落后電壓90,QL=ULIL=69.54var,三、電容電路,C,1、電壓與電流關(guān)系,設(shè),容抗,電容中的電流超前電壓,相量圖,相量表達(dá)式為,2、功率關(guān)系,1）瞬時(shí)功率,t,u i,t,p,顯然,第一個(gè)1/4周期p0,電容儲(chǔ)存能量, 第二個(gè)1/4周期p0,放出能量,u,i,2）平均功率（有功功率,電容是儲(chǔ)能元件，不消耗電能,3）無(wú)功

10、功率,無(wú)功功率反映的是電容與電源間能量 互相交換的規(guī)模,單位是乏爾（var,例：設(shè)電容C0.1F, = 6280 rad/s uC=10sin(t+30o),求XC 、?C 、Q C,解,XC= 1C=1.59K IC =UC/XC= 10 (2 1.59,電容中電流超前電壓90 ?C =4.45 30+90 = 4.45 120mA QC=XCIC2 =31.6103 (var,4.45mA,第四節(jié) RLC串聯(lián)交流電路,一、電壓與電流關(guān)系 二、功率關(guān)系,一.電壓與電流關(guān)系,i,R,L,C,u,以電流為參考正弦量， i = Im sint 即? =I0,1、相量圖法,相量圖為,可見(jiàn),UR,UL

11、-UC,U,電壓三角形,總電壓有效值 U 2= UR2+（ULUC）2,電抗與阻抗,式中 X=XLXC 稱為電抗,稱為阻抗,U=Iz,相位關(guān)系,可見(jiàn) 是由R、L、C及決定的,90 0 電壓超前電流電路呈感性。 90 0 電流超前電壓電路呈容性。 = 0 電壓與電流同相,電路呈純阻 性,2、復(fù)數(shù)形式分析法,Z為復(fù)阻抗,Z=R+j(XLXC) = z,復(fù)數(shù)形式歐姆定律,阻抗三角形,角為阻抗角,它等于電壓與電流之間的相位差角,R,XL-XC,z,在RLC串聯(lián)交流電路中，R=15， L=12mH, C=5F,電源電壓,求:電路中的電流i 和各部分電uR ,uL ,uC ; (2)畫相量圖,例1,解,6

12、0,500012103,XL=L,40,150005106,XC=1/C,2）相量圖如圖,1、平均功率 (有功功率,在RLC電路中，只有電阻消耗功率,所以電路的有功功率為,P = URIR,P =U I cos,式中cos為功率因數(shù),在正弦交流電路中，不管阻抗如何聯(lián)接，電路的功率等于各元件功率之和,Z = R + jX,二、功率關(guān)系,2、無(wú)功功率,電路中無(wú)功功率包括電感和電容兩個(gè) 元件的無(wú)功功率,QL=ULI QC=UCI,Q = QLQC,Z = R + j(XL-XC,Q=UIsin,0， Q0 電路呈感性 0 ， Q0電路呈容性,P = UI cos = S cos Q = UI sin

13、 = S sin,3、視在功率,S=UI,單位是伏安（VA,一般它表示發(fā)電設(shè)備的容量,得出功率三角形,P,Q,S,阻抗三角形,電壓三角形和功率三角形 是三個(gè)相似的三角形,總結(jié),例：某感性負(fù)載端電壓 P=7.5kW,Q=5.5kvar,試求感性負(fù)載的 功率因數(shù)及其串聯(lián)參數(shù),解,0.81 =35.9,電路為串聯(lián),42.1A,R = PI 2 = 4.2,XL=Rtan =3.04,L=XL = 9.7mH,第五節(jié) 阻抗的串聯(lián)與并聯(lián),一、阻抗串聯(lián)的交流電路,二、阻抗并聯(lián)的交流電路,一、阻抗串聯(lián)的交流電路,i,1,Z,2,Z,串聯(lián)等效復(fù)阻抗為,分壓公式為,二、阻抗并聯(lián)的交流電路,分流公式,已知 R1=

14、100 ，R2=1000 ， L=2H C =10F， ,求u、i,例,R2,L,u,i,R1,解,C,iC,iL,?Cm= 160,按分流公式,XC=318,XL=628,0.8945.1A,10035775.1 =39561,第六節(jié) 正弦交流電路的分析方法,X2,u,R1,X3,X1,解,a,b,Z1=jX1+R1=j10+2 Z2=jX2=j10 Z3=jX3=j5 Zab=Z2Z3=10j =1090,Uab=I1 zab=1010=100V,(j10+j20)(2+j10)+100 =100+j20+100=j20=2090,?1 = j10 =10 90 = 0, cos =1,P

15、=UIcos =10201=200W Q= UIsin =10200=0var S=UI=200VA,解,設(shè)u為參考正弦量,iL+iC = i 且 I= IC=IL所以?C 、?L和? 組成等邊三角形,30,10A,作相量圖,有些情況借助于相量圖求解方便。畫相 量圖時(shí),參考相量的選擇很關(guān)鍵.一般, 串聯(lián)電路選電流為參考相量,并聯(lián)電路 選兩端電壓為參考相量,在串、并混聯(lián) 電路選最基本的并聯(lián)電路的端電壓為 參考相量,第七節(jié) 功率因數(shù)的提高,一、負(fù)載的功率因數(shù)cos 低 帶來(lái)的問(wèn)題 二、提高功率因數(shù)的方法,一.負(fù)載的功率因數(shù)cos低帶來(lái)的問(wèn)題,1.電源設(shè)備的容量不能充分利用 交流電源的額定容量為SN

16、=UNIN， 因?yàn)镻=SNcos ,發(fā)電機(jī)能夠輸出的有功 功率和負(fù)載的功率因數(shù)cos 成正比,所以，負(fù)載的功率因數(shù)低，電源發(fā)出的 有功功率就小，電源的容量得不到充分 利用,例：一個(gè)SN=50kVA的電源，向功率因數(shù)cos1=0.5的日光燈供電，它能供應(yīng)40W的日光燈_只,如果用來(lái)供應(yīng)cos2=1的40W日光燈，則可供應(yīng)_只？ P=n40=SNcos n1=501030.5/40=625 n2=501031/40=1250,625,1250,2. 供電效率低（輸電耗能大,P=UIcos I=P/Ucos 當(dāng)輸電線路的電壓和負(fù)載的功率一定 時(shí)，輸電線上的電流與cos 成反比。 cos 越小，I越大

17、。設(shè)輸電線的電阻為r, 則它引起的功率耗損為,P = I2r =(P/Ucos)2r cos 低，功率損耗大。降低了供電效率,二.提高功率因數(shù)的方法 工業(yè)負(fù)載多數(shù)是感性負(fù)載，因此提 高負(fù)載功率因數(shù)可在其兩端并聯(lián)電容,提高功率因數(shù)的基本思想是減少無(wú)功功率,作相量圖,顯然： cos cos II,電容的選擇,U I sinU Isin= QC =U2XC=U 2c I=PUcos I=PUcos C=（PU2）(tgtg,例： 某發(fā)電廠以22萬(wàn)伏的高壓向某地輸送24 萬(wàn)千瓦電力,若輸電線路的總電阻r =10， 試計(jì)算當(dāng)電路的功率因數(shù)由0.6提高到0.9 時(shí),輸電線上一年少損耗多少電能,解: 當(dāng)co

18、s1=0.6時(shí), 線路中的電流 I1=P/Ucos1=1818.2A 當(dāng)cos=0.9時(shí),線路中的電流 I=P/Ucos =1212A 一年輸電線上少損耗的電能為: W = (I12-I2) r t =1.6091011Wh =1.609108kWh,第八節(jié) 電路的諧振,一、 串聯(lián)諧振 二、并聯(lián)諧振,在含有電感和電容元件的電路中,若出 現(xiàn)電源電壓與電流同相位,整個(gè)電路呈純 電阻性,此時(shí)電路的狀態(tài)稱為諧振,一、串聯(lián)諧振,諧振按電路接法分為串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振,Z=R+j(XL-XC,1.諧振條件: 諧振時(shí), =0 則有 XL=XC,2.諧振頻率: 根據(jù)諧振條件有L=1C,f0僅與L、C有關(guān)，改變、L、C可使電路發(fā)生或消除諧振,諧振角頻率,3.諧振特征: z0=R 最小, Io=U z0=UR 最大。 諧振時(shí) XL=XC, UL=UC U=UR cos=1 UL=IoXL=（U/R）XL =（XL/R）U UC=I0XC=（U/R）XC =（XC/R）U,一般 XL=XCR， UL=UCU,品質(zhì)因數(shù)Q,Q是一個(gè)無(wú)量綱的參數(shù),UL=QU=QUR UC=QU=QUR,功率,P0=UI0=I02R Q0=0,電感與電容的能量可以彼此交換而電源與電路之間無(wú)能量交換，電源供給的能量被電阻消耗,QL0=I02XL=P0Q QC0=