武漢理工大學(xué)線性代數(shù)試卷期末考試卷子

1、武漢理工大學(xué)考試試題5題號一二三四五六七八九十總分題分121236151510100 備注: 學(xué)生不得在試題紙上答題(含填空題、選擇題等客觀題) 一、填空題（每小題3分，共12分）1、已知是行列式的元素的代數(shù)余子式，則_；2、設(shè)矩陣，為的伴隨矩陣，且，則_；3、設(shè)向量組，是空間的一組基，要使，可以構(gòu)成空間的一組基，則必須滿足 ；4、要使實(shí)二次型為正定的，則必有k的值滿足 。二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共12分）1、設(shè)為3階矩陣，若，則 ；(A) ； (B) ； (C) ； (D) ； 2、設(shè)有齊次線性方程組和，其中均為矩陣，則下列命題正確的是 ；(A) 若的解均是的解，則；(B) 若，則的解均

2、是的解； (C) 若與同解，則； (D) 若，則與同解3、設(shè)P為n階正交矩陣，x是一個(gè)n維列向量，且|x|=3，則|Px|=_；(A) 1； (B) 3； (C) 6； (D) 9；4、 設(shè)為維列向量，且；為階單位矩陣；令，則下列說法錯(cuò)誤的是 _。(A) 是對稱矩陣； (B) 是可逆矩陣； (C) 是正交矩陣； (D) 是正定矩陣.三、計(jì)算題(每小題9分，共36分) 1、計(jì)算n階行列式 2、設(shè)矩陣，求；3、設(shè)是3階方陣，互換A的第一、第二列，得矩陣B；再將B的第二列加到第三列上得矩陣C；求滿足 的可逆矩陣；4、設(shè)向量組求它的一個(gè)最大無關(guān)組，并用此最大無關(guān)組表示其余向量。四、(15分)已知線性方

3、程組 （1）為何值時(shí)，無解，有唯一解，有無窮多個(gè)解？（10分）（2）在有無窮多解時(shí)求出其通解（要求用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）。（5分）五、（15分）已知實(shí)二次型； （1）寫出對應(yīng)的矩陣A；（3分）（2）求正交變換（必須寫出相應(yīng)的正交變換矩陣）將化為標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）。（12分）六、證明題(每小題5分，共10分）1、設(shè)和是矩陣的兩個(gè)不同的特征值，對應(yīng)的特征向量依次為和，證明不再是的特征向量。2、設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解，是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，試證明線性無關(guān)。武漢理工大學(xué)教務(wù)處試題標(biāo)準(zhǔn)答案及評分標(biāo)準(zhǔn)用紙課程名稱:線性代數(shù) （ A 卷）一、填空題（每小題3分，共12分）

4、1、 2； 2、 1； 3、 ； 4、 二、選擇題（每小題3分，共12分）1、 A ； 2、 C ； 3、 B ； 4、 D三、解答題（每小題9分，共36分）1、 .（4分）.（9分）2、記 ，則；.（4分）又，所以。.（9分）3、由題意有，.（4分）于是 ，所以。.（9分）4、.（4分）則，且線性無關(guān)，所以即為的一個(gè)極大無關(guān)組，（7分）且；.（9分）或者取，；還可以取，四、解 .（4分）所以當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解；.（6分）當(dāng)時(shí)， ，所以方程組無解。.（8分）當(dāng)時(shí)，；此時(shí)原方程組有無窮多解；.（10分）有，取得原方程組一個(gè)特解；.（12分）；得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系；所以原方程組的通解為：，其中為任意常數(shù)。.（15分）五、 .（3分）由求得的特征值為.（6分）對應(yīng)，解方程，解方程，由，得基礎(chǔ)解系。將其單位化得。.（9分）對應(yīng)，解方程，由，得基礎(chǔ)解系；.（12分）將正交化，取，；再將單位化，得.（14分）得正交矩陣，有.（15分）六、1、按題意，有，故.（1分）假設(shè)是的對應(yīng)于特征值的特征向量，則；.（2分）于是 ；即.（3分）又因?yàn)楹褪蔷仃嚨膬蓚€(gè)不同的特征值，所以與線性無關(guān)，故，即得這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，即不是的特征向量。.（5分）2、設(shè)，即 。 .（1分）以左乘該式兩