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1、武漢理工大學(xué)考試試題5題號(hào)一二三四五六七八九十總分題分121236151510100 備注: 學(xué)生不得在試題紙上答題(含填空題、選擇題等客觀題) 一、填空題(每小題3分,共12分)1、已知是行列式的元素的代數(shù)余子式,則_;2、設(shè)矩陣,為的伴隨矩陣,且,則_;3、設(shè)向量組,是空間的一組基,要使,可以構(gòu)成空間的一組基,則必須滿足 ;4、要使實(shí)二次型為正定的,則必有k的值滿足 。二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共12分)1、設(shè)為3階矩陣,若,則 ;(A) ; (B) ; (C) ; (D) ; 2、設(shè)有齊次線性方程組和,其中均為矩陣,則下列命題正確的是 ;(A) 若的解均是的解,則;(B) 若,則的解均
2、是的解; (C) 若與同解,則; (D) 若,則與同解3、設(shè)P為n階正交矩陣,x是一個(gè)n維列向量,且|x|=3,則|Px|=_;(A) 1; (B) 3; (C) 6; (D) 9;4、 設(shè)為維列向量,且;為階單位矩陣;令,則下列說法錯(cuò)誤的是 _。(A) 是對(duì)稱矩陣; (B) 是可逆矩陣; (C) 是正交矩陣; (D) 是正定矩陣.三、計(jì)算題(每小題9分,共36分) 1、計(jì)算n階行列式 2、設(shè)矩陣,求;3、設(shè)是3階方陣,互換A的第一、第二列,得矩陣B;再將B的第二列加到第三列上得矩陣C;求滿足 的可逆矩陣;4、設(shè)向量組求它的一個(gè)最大無關(guān)組,并用此最大無關(guān)組表示其余向量。四、(15分)已知線性方
3、程組 (1)為何值時(shí),無解,有唯一解,有無窮多個(gè)解?(10分)(2)在有無窮多解時(shí)求出其通解(要求用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)。(5分)五、(15分)已知實(shí)二次型; (1)寫出對(duì)應(yīng)的矩陣A;(3分)(2)求正交變換(必須寫出相應(yīng)的正交變換矩陣)將化為標(biāo)準(zhǔn)形(或法式)。(12分)六、證明題(每小題5分,共10分)1、設(shè)和是矩陣的兩個(gè)不同的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量依次為和,證明不再是的特征向量。2、設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解,是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,試證明線性無關(guān)。武漢理工大學(xué)教務(wù)處試題標(biāo)準(zhǔn)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)用紙課程名稱:線性代數(shù) ( A 卷)一、填空題(每小題3分,共12分)
4、1、 2; 2、 1; 3、 ; 4、 二、選擇題(每小題3分,共12分)1、 A ; 2、 C ; 3、 B ; 4、 D三、解答題(每小題9分,共36分)1、 .(4分).(9分)2、記 ,則;.(4分)又,所以。.(9分)3、由題意有,.(4分)于是 ,所以。.(9分)4、.(4分)則,且線性無關(guān),所以即為的一個(gè)極大無關(guān)組,(7分)且;.(9分)或者取,;還可以取,四、解 .(4分)所以當(dāng)時(shí),方程組有唯一解;.(6分)當(dāng)時(shí), ,所以方程組無解。.(8分)當(dāng)時(shí),;此時(shí)原方程組有無窮多解;.(10分)有,取得原方程組一個(gè)特解;.(12分);得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系;所以原方程組的通解為:,其中為任意常數(shù)。.(15分)五、 .(3分)由求得的特征值為.(6分)對(duì)應(yīng),解方程,解方程,由,得基礎(chǔ)解系。將其單位化得。.(9分)對(duì)應(yīng),解方程,由,得基礎(chǔ)解系;.(12分)將正交化,取,;再將單位化,得.(14分)得正交矩陣,有.(15分)六、1、按題意,有,故.(1分)假設(shè)是的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量,則;.(2分)于是 ;即.(3分)又因?yàn)楹褪蔷仃嚨膬蓚€(gè)不同的特征值,所以與線性無關(guān),故,即得這與題設(shè)矛盾,所以假設(shè)不成立,即不是的特征向量。.(5分)2、設(shè),即 。 .(1分)以左乘該式兩
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