靜電場的解法課件

1、靜電場的解法,1,第三章 靜電場的解法,3.1 靜電場問題的類型 3.2 唯一性定理 3.3 分離變量法 3.4 鏡像法 3.5 有限差分法,靜電場的解法,2,3.1 靜電場問題的類型,3.1.1 分布型問題,已知全空間的電荷分布，利用電場強度或電位的計算公式直接計算場中各點的電場強度或電位，這類問題稱為分布型問題，對此問題有如下幾種解法。 1、根據(jù)電荷分布，利用場源積分式，直接求解電場 。 2、根據(jù)電荷分布，利用場源積分式，直接求解電位，再根據(jù) 計算電場。 3、若電荷分布具有某種對稱性，從而判斷場的分布也具有某種對稱性時，可用高斯定理直接求解電場，此法主要是要正確選取高斯面，一般高斯面上的場

2、強要保持常量，并且方向與所在面的法向相同，計算才可化簡,靜電場的解法,3,3.1.2 邊值型問題,已知確定區(qū)域中的電荷分布和其邊界上的電位或電位函數(shù)的法向?qū)?shù)分布，求解該區(qū)域中電位的分布狀況，這類問題稱為邊值型問題或簡稱為邊值問題，邊值問題根據(jù)邊界條件給出的形式不同可分為以下三種類型。 第一類邊值問題：給定整個邊界上的電位函數(shù)求區(qū)域中電位分布，這類問題又稱為狄利克萊問題。 第二類邊值問題：給定整個邊界上電位函數(shù)的法向?qū)?shù)求區(qū)域中電位分布，這類問題又稱為諾伊曼問題。 第三類邊值問題：一部分邊界上的電位給定，另一部分邊界上的法向?qū)?shù)給定，求區(qū)域中電位分布，這類問題又稱為混合型邊值問題。 如果邊界是

3、導(dǎo)體，則上述三類問題分別變?yōu)椋阂阎獙?dǎo)體表面的電位；已知各導(dǎo)體的總電量；已知一部分導(dǎo)體表面上的電位和另一部分導(dǎo)體表面上的電量,靜電場的解法,4,3.2 唯一性定理,唯一性定理： 滿足邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解必定唯一。 或：如果給定一個區(qū)域中的電荷分布和邊界上的全部邊界條件，則這個區(qū)域中的解是唯一的,3.2.1格林定理 格林定理是由散度定理直接導(dǎo)出的數(shù)學(xué)恒等式。將散度定理用于閉合面S所包圍的體積V內(nèi)任一矢量場,式中參量是在區(qū)域內(nèi)兩個任意的標(biāo)量函數(shù)，并要求在邊界上一階連續(xù)，在區(qū)域內(nèi)二階連續(xù),靜電場的解法,5,則有,格林第一恒等式,上述兩式相減得格林第二恒等式,靜電場的解法,6,3.2.2

4、 唯一性定理的證明,設(shè)12是同一無源區(qū)域的邊值問題 的解,即它們應(yīng)滿足 和 ，同時滿足邊界條件。因此，兩個解的差 應(yīng)滿足拉普拉斯方程,在格林第一恒等式中，取,對于第一類邊值問題，12應(yīng)滿足相同的邊界條件,靜電場的解法,7,可得,式中C為常數(shù)，由此可知，在第一類邊值問題中，兩個解最多相差一常數(shù)，若應(yīng)用自然邊界條件，因為12的參考點選在同一位置上，則常數(shù)C =0。于是證明了1=2 ，即該邊值問題的解是唯一的,對于第二類邊值問題，由于 的值在邊界上應(yīng)相同，故,同樣可得,因此，同樣兩個解相差一常數(shù)，同樣有常數(shù)C =0。于是證明了1=2 ，即第二類邊值問題的解也是唯一的,靜電場的解法,8,對于第三類邊值

5、問題，證明類似。 對于泊松方程解的唯一性的證明，仍然假設(shè)有兩個解12都滿足泊松方程和給定的邊界條件，即,因此，兩個解12的差12滿足拉普拉斯方程，證明方法完全相同,靜電場的解法,9,唯一性定理提出了定解的充分必要條件，是關(guān)于邊值問題的一個重要定理。它的重要意義在于告訴我們：如果一個區(qū)域中的電荷分布和邊界條件都給定，則該區(qū)域中有解且解是唯一的，此解一定滿足泊松方程或拉普拉斯方程，同時滿足邊界條件；反過來，一個函數(shù)如果同時滿足電位方程和邊界條件,則此函數(shù)一定是該區(qū)域中電位的唯一解。 因此，可以自由選擇任一種求解電場的方法，即使是采用湊的方法或者靠判斷猜測出的解，只要它滿足拉普拉斯方程（或泊松方程）

6、，又滿足給定的邊界條件，那么根據(jù)唯一性定理，這個解就是所要求的解,靜電場的解法,10,3.3 分離變量法,分離變量法是求解邊值問題的一種常用方法，此法可以分兩步進(jìn)行，第一步，根據(jù)給定的邊界形狀選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并在此坐標(biāo)系下將待求的電位函數(shù)表示成三個一元函數(shù)乘積的形式，每個函數(shù)僅是一個坐標(biāo)變量的函數(shù)，將其代入電位的偏微分方程，就可通過分離變量將偏微分方程求解轉(zhuǎn)化成三個常微分方程的求解。第二步，根據(jù)給定的邊界條件確定常微分方程解的形式、分離常數(shù)及通解中的待定系數(shù)，以求得給定問題的唯一解。本節(jié)將分別介紹在直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中解拉普拉斯方程的分離變量法。 分離變量法要求給定的邊界與坐標(biāo)

7、系的坐標(biāo)面相合或平行，或者至少分段地與坐標(biāo)面相合或平行；這樣，偏微分方程的解才可表示為坐標(biāo)系中三個函數(shù)的乘積，其中每個函數(shù)分別僅是一個坐標(biāo)的函數(shù),靜電場的解法,11,3.3.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法,聯(lián)立求解可得,當(dāng)邊界面形狀適合選用直角坐標(biāo)系時，則可在直角坐標(biāo)系中求解電位的拉普拉斯方程,設(shè)所求解區(qū)域中的電位函數(shù)是可變量分離的，則可令待求電位函數(shù)為,靜電場的解法,12,其中,上式中每一項僅是一個坐標(biāo)變量的函數(shù)，欲使此式成立，必須每項都為常數(shù)。即,靜電場的解法,13,由上式可知三個待定常數(shù)中只有兩個是獨立的，且它們不能全為實數(shù)，也不能全為虛數(shù)，如有兩個取實數(shù)時，第三個必取虛數(shù)，若其中一個為零值

8、，剩下的兩上必定一個是實數(shù)，一個是虛數(shù)，分離常數(shù)kx，ky，kz的選取由邊界條件決定；解的具體形式由分離常數(shù)的取值決定。如,這樣就把偏微分方程分離成了三個常微分方程，其中kx，ky，kz稱為分離常數(shù)，都是待定的量，三者間關(guān)系是,當(dāng)kx0時,當(dāng)kx為實數(shù)時,當(dāng)kx為虛數(shù)時,靜電場的解法,14,注意：上述 線性函數(shù)式和 雙曲函數(shù)式都最多只有一個零點，而 正弦函數(shù)式在x方向上有無窮多個零點,g(y)和h(z)的情況與此類似，這樣我們就求出了拉普拉斯方程的特解形式f(x)g(y)h(z) 。然后再將所有可能的特解迭加起來并使其滿足邊界條件，即可確定出該邊值問題的真解,靜電場的解法,15,解：由于電位不

9、是x y的函數(shù)，所以泊松方程為,由電荷分布的對稱性可知，電場在Z=0平面上必為零。所以可得A=0，因此,靜電場的解法,16,由于電荷分布關(guān)于Z=0平面對稱，所以 必定關(guān)于平面反對稱，且只有Z方向的分量，即在上底面上 ，在下底面上 。今在以Z=0為中心，上、下底面積為dS，高為Z的高斯面上，如圖所示，有,在區(qū)域 內(nèi)有,與由泊松方程所得到的結(jié)果相同,靜電場的解法,17,3.3.2 圓柱坐標(biāo)系中二維拉普拉斯方程的解,上式中，第一項僅是r的函數(shù)，第二項僅是的函數(shù)，要使上式對所有的r、值都成立，必須每項都等于一個常數(shù)，如果令第二項為k2，則可得,設(shè)在圓柱坐標(biāo)系中，電位分布只是坐標(biāo)r、的函數(shù)，沿z方向沒有

10、變化，則電位的拉普拉斯方程為,靜電場的解法,18,必須是單值,即,k必須為整數(shù),方程的解為,將kn代入方程得,此方程是一個變系數(shù)的常微分方程，稱為歐拉方程,靜電場的解法,19,其解形式為,對于實際的工程問題， 必須在所求解的區(qū)域中是單值的，即n0 ，所以圓柱坐標(biāo)系中，二維場的通解為,當(dāng)n0時，上述方程的解為,靜電場的解法,20,例 在圓柱坐標(biāo)系中，兩個C的平面在Z軸上是絕緣的。設(shè) 在平面上的電位為100V，參考零電位在平面0上。忽略邊緣效應(yīng)，求兩平面之間的表達(dá)式,解：由于電位不隨r、z變化，所以拉普拉斯方程為,靜電場的解法,21,3.3.3 球坐標(biāo)系中二維拉普拉斯方程的解,式中f(r)、g()

11、已分離，令其分別等于常數(shù)和 ，則有,設(shè)球坐標(biāo)系中，電位分布只是r,的函數(shù)，沿方向沒有變化，即場是對稱于極軸的，在此情況下，球坐標(biāo)中的拉普拉斯方程為,靜電場的解法,22,代入上式可得,上式為勒讓德方程。球坐標(biāo)系中從0，即X從01時，應(yīng)取為,Pn(cos) 稱為第一類勒讓德函數(shù)， Qn(cos)稱為第二類勒讓德函數(shù)，它們隨變化的曲線如圖所示,靜電場的解法,23,靜電場的解法,24,因為0時，Q(1) ，所以，如果場域中包括0的點，則應(yīng)取Bn=0。故,靜電場的解法,25,其中， Pn(cos) 又稱為勒讓德多項式，記作Pn(x) 。通式為,靜電場的解法,26,另外勒讓德多項式還具有正交完備性。即,靜

12、電場的解法,27,例 在均勻外電場中放置一半徑為a的介質(zhì)球，球的電介常數(shù)為，球外為空氣（介電常數(shù)為0 ），如圖所示，計算球內(nèi)、外電位函數(shù),解 設(shè)球坐標(biāo)系的原點在介質(zhì)球的球心，極軸的方向與外電場方向一致，若以球心處為零電位參考點,則外電場 可用電位 表示，若令球內(nèi)區(qū)域電位函數(shù)為1，球外區(qū)域電位函數(shù)為2 ，因為它們都關(guān)于極軸對稱與坐標(biāo)無關(guān)，所 以解的形式應(yīng)與(3.3.52)式相同,靜電場的解法,28,對于1 ，根據(jù)r=0處的自然邊界條件可知解中不應(yīng)該存在的負(fù)冪項，而球外區(qū)域的解2中可以有的負(fù)冪項。因此， 1和2可分別表示為,代入無窮遠(yuǎn)點的邊界條件可得,無窮遠(yuǎn)點的邊界條件為,r=a球面上的邊界條件為

13、,靜電場的解法,29,用Pm(cos) sin乘上式兩邊，對從0積分，根據(jù)勒讓德多項式的正交性可知，只有n=1項的系數(shù)不為零，且A1=E0，故2可簡化為,代入r=a界面上的兩個邊界條件可得,聯(lián)立求解，可得,靜電場的解法,30,因此，可得球內(nèi)外的電位函數(shù),球內(nèi)電場是一個均勻場，其電場強度為,靜電場的解法,31,3.4鏡像法,根據(jù)邊值問題解的唯一性，只要找到一個函數(shù)既滿足該問題的微分方程，又滿足該問題的邊界條件，則此函數(shù)就一定是這一場的解，鏡像法就是應(yīng)用唯一性定理來求解場的方法。 鏡像法的基本思想為：將邊界對所研究區(qū)域中場的影響，用一些位于所研究區(qū)域外的假想電荷來代替，也就是用一些位于所研究區(qū)域外

14、的鏡像電荷來代替邊界條件，如果鏡像電荷與區(qū)域中原電荷分布產(chǎn)生的場在邊界上滿足所給的邊界條件（當(dāng)然在場域內(nèi)也滿足微分方程），那么所求區(qū)域的場即可認(rèn)為是由原電荷分布與鏡像電荷產(chǎn)生的。 鏡像法主要適用于一些平面、柱面或球面導(dǎo)體邊界問題,靜電場的解法,32,3.4.1平面導(dǎo)體與點電荷 設(shè)在無限大導(dǎo)體平面(z=0)附近有一點電荷與平面距離為z=h 。若導(dǎo)體平面接地，則導(dǎo)體平面電位為零，如圖所示。求上半空間中的電場,分析：上半空間任一點P處的電位，應(yīng)等于點電荷q和無限大導(dǎo)體平板上感應(yīng)的負(fù)電荷產(chǎn)生的的電位總和。因此，上半空間的電位問題可表示為,靜電場的解法,33,其邊界條件可寫成：Z=0處，=0 由于無限大

15、導(dǎo)體平面上一點電荷q在上半空間的電場分布與無窮大空間中相距為2h的兩等值異號點電荷的電場完全相同，如圖所示。因此，無限大導(dǎo)體平面邊界可用一個位于（x，y，zh）的q來替代，即抽走導(dǎo)體板，在與原點電荷q對稱的位置上放置一個鏡像電荷q來代替原導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷，則該鏡像電荷在空間中任一點產(chǎn)生的電場與感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場等效。若選無窮遠(yuǎn)處為零電位點，則有,靜電場的解法,34,將r1和r2的表達(dá)式代入上式可得,總感應(yīng)電荷為,可以驗證電位滿足邊界條件，而此電位顯然在點（x，y，zh）滿足泊松方程，在其它的點滿足拉普拉斯方程，即此電位是此邊值問題的唯一解。 導(dǎo)體平面上感應(yīng)電荷密度為,靜電場的解法,35,角

16、形區(qū)域 如直角形區(qū)域的邊界為兩個相交成直角的無限大導(dǎo)體平面并接地，如圖所示，在它附近有一點電荷，現(xiàn)來計算此直角形空間內(nèi)的電位分布,用鏡像法求解，必須在原電荷對OA 和OB平面的對稱位置分別引入鏡像電荷-q ，但這并不能使OA 和OB面成為零電位。分析可知，若在原電荷的原點對稱位置再引入鏡像電荷q ，則原電荷及這三個鏡像電荷共同作用將使得OA 和OB面保持電位滿足原來的條件，因此場中任一點的電位即可認(rèn)為是由原電荷及這三個鏡像所生產(chǎn)電位的迭加,靜電場的解法,36,對于以上的原電荷和鏡像電荷，從幾何關(guān)系上不難看出：它們位于一個同心圓上，而且從原電荷開始，無論是繞順時針還是逆時針走向，相鄰的一對互為鏡

17、像的電荷大小相等，符號相反，并且最終回到原電荷位置，如圖所示,靜電場的解法,37,靜電場的解法,38,3.4.2 導(dǎo)體球面與球外點電荷 例：設(shè)一個半徑為a的接地導(dǎo)體球，在與球心相距d1的P1點有一點電荷q1，如圖所示，試求導(dǎo)體球外的電位函數(shù),靜電場的解法,39,解：由靜電感應(yīng)原理可知：接地導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷分布對OP1軸對稱且右邊密度大于左邊密度，則鏡像電荷一定位于原電荷與球心的連線OP1上，設(shè)鏡像電荷q2距球心距離為d2，另外，鏡像電荷q2與原電荷q1產(chǎn)生的場在球面上任一點必須滿足電位為零的條件。若在球面上任選一點P，則有,靜電場的解法,40,由此可得,于是球外任一點的電位為,若采用球坐標(biāo)系

18、，取原點為球心O點，極軸與 OP1重合，那么球外任一點的電位可表示為,靜電場的解法,41,感應(yīng)電荷與鏡像電荷相等,球面上感應(yīng)電荷密度,球面上總的感應(yīng)電荷量為,靜電場的解法,42,對于線電荷與導(dǎo)體柱面的邊值問題，如果用鏡像法，其求解方法與點電荷與導(dǎo)體球面的邊值問題的求解方法類似,如果導(dǎo)體球不接地，導(dǎo)體球表面電位不為零，但導(dǎo)體球仍為一等位體，球面上感應(yīng)凈電荷為零。為了滿足導(dǎo)體球的邊界條件，只需在球上再加上一個鏡像電荷q3= q2 ；且此時q3必須放在球心處，以保持球面仍為等位面，如圖所示。此時，球面外任一點的電位為,靜電場的解法,43,當(dāng)電介質(zhì)分界面為無窮大平面時，如果在其附近放置一點電荷或一線電

19、荷，用鏡像的點電荷或鏡像的線電荷來等效介質(zhì)分界面上束縛電荷對電位的影響，這樣原邊值問題的電位就等于全空間充滿與所求區(qū)域相同的介質(zhì)時，原電荷與鏡像電荷所產(chǎn)生的電位的迭加。 如圖，在Z0的下半部介電常數(shù)為，上半部為空氣，距離介質(zhì)平面h處有一點電荷q，求Z0和Z0的兩部分的電位,3.4.3電介質(zhì)分界面的鏡像,靜電場的解法,44,解：半無窮大的介質(zhì)放在點電荷q的場中被極化，其極化結(jié)果為在分界面上出現(xiàn)關(guān)于Z軸對稱分布的束縛面電荷。因此空間中的電場為點電荷q的電場與這些束縛面電荷的電場的迭加。設(shè)Z0空間中電位函數(shù)為1 ， Z0空間中的電位函,數(shù)為2 。應(yīng)用鏡像思想， 1可以視為點電荷q和在q關(guān)于分界面Z

20、=0的對稱位置上的鏡像電荷q ，在全空間充滿空氣時產(chǎn)生的電位的迭加。如圖所示,靜電場的解法,45,而對于2 ，由于等效束縛面電荷的鏡像電荷必須在所求區(qū)域之外，可設(shè)此鏡像電荷q就在點電荷q所在的位置上。因此， 2為點電荷q和鏡像電荷q在全空間充滿介電常數(shù)為的介質(zhì)時產(chǎn)生的電位的迭加。如圖所示,靜電場的解法,46,在Z0的介質(zhì)分界面上，其邊界條件為,當(dāng)Z0時，空間任一點M(x，y，z)的電位為,當(dāng)Z0時，空間任一點M(x，y，z)的電位為,靜電場的解法,47,總結(jié)： 鏡像法是用假想的鏡像電荷來代替導(dǎo)體上感應(yīng)電荷或介質(zhì)分界面上束縛電荷的作用，鏡像法的關(guān)鍵是根據(jù)邊界條件確定鏡像電荷的位置及大小。 注意：

21、 1、鏡像電荷不能放在要計算電位的區(qū)域內(nèi)，否則，所得電位就不會滿足原來的電位方程； 2、電位函數(shù)必須滿足原來的邊界條件,于是在Z0的空間中,在Z0的空間中,靜電場的解法,48,3.5 有限差分法 有限差分法 ：將求解區(qū)域劃分為網(wǎng)格，將求解區(qū)域內(nèi)的連續(xù)分布的場用網(wǎng)格節(jié)點上的離散場值來代替，將邊界上連續(xù)分布的邊界條件用離散的邊界條件值來代替，這樣我們可將被求解區(qū)域中的解微分方程的邊值問題用差分方程的迭代求解來代替。 由于有限差分法是通過對被求解區(qū)域進(jìn)行分格，實現(xiàn)了連續(xù)場的離散化，因此，有限差分法不僅能用于求解靜電場的問題，還能求解任意靜態(tài)場和時變場問題；不僅能處理線性問題，還能處理非線性問題。特別

22、要注意的是：不管被求解區(qū)域的邊界形狀如何復(fù)雜，只要把網(wǎng)格分得足夠的細(xì)，都可以得到足夠精確的解,靜電場的解法,49,即給定二維區(qū)域中的電荷分布和電位在邊界上的值，求區(qū)域中各點的電位,如圖所示，在邊界為C的二維矩形區(qū)域內(nèi)，電位的邊值問題為,靜電場的解法,50,在節(jié)點1 ，X =X0+h ，這一點的電位為,有限差分法的第一步將場域分成足夠多的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格線之間的距離為h，網(wǎng)格線的交點稱為節(jié)點?，F(xiàn)我們來討論5個相鄰節(jié)點上電位之間的關(guān)系，即節(jié)點0上與節(jié)點1、2、3、4上1 2 3 4電位之間的關(guān)系。設(shè)節(jié)點0的坐標(biāo)為(x0， y0 )，由于網(wǎng)格的邊長h很小，因此在通過節(jié)點0且平行于軸的直線上的相鄰點x

23、的電位值 (x， y0 ) ，可用二維函數(shù)的泰勒公式在節(jié)點0展開為,靜電場的解法,51,同理,當(dāng)正方形網(wǎng)格分得足夠多時，網(wǎng)格的邊長h可以足夠的小，則上式中h4以上的項都可以忽略，上式近似為,在節(jié)點3 ，X =X0h ，這一點的電位為,靜電場的解法,52,代入可解得,節(jié)點0的泊松方程可以寫為,這是一個二維區(qū)域中一點的泊松方程的有限差分形式，它描述了該節(jié)點與周圍四個節(jié)點的電位和該點電荷密度之間的關(guān)系,無源區(qū)域s0，上式簡化為,這是二維拉普拉斯方程的有限差分形式，它描述了無源區(qū)域中任意一點的電位等于圍繞它的四個點的電位的平均值,靜電場的解法,53,對于給定的區(qū)域和電荷分布，當(dāng)用網(wǎng)格將區(qū)域劃分后，對每

24、一個節(jié)點我們可以寫出一個上述形式的差分方程，于是就可以得到一個方程數(shù)與未知電位的網(wǎng)點數(shù)相等的線性差分方程組。對于給定的連續(xù)邊界條件，當(dāng)用網(wǎng)格將區(qū)域劃分后，我們可以給出它在邊界節(jié)點上的離散值。余下的問題就是在已知邊界節(jié)點電位的條件下，用迭代法求解區(qū)域內(nèi)各節(jié)點上的電位。 方程的個數(shù)等于區(qū)域內(nèi)的節(jié)點數(shù)。如果區(qū)域劃分的網(wǎng)格粗，即節(jié)點少，則差分方程組的個數(shù)少，求解方程組簡單，需要的時間短，但精度低；如果區(qū)域劃分的網(wǎng)格細(xì)，即節(jié)點多，則差分方程組的個數(shù)也多，求解方程組所需的時間較長，但精度較高,靜電場的解法,54,這說明：節(jié)點0的平均中心差商近似等于該點的偏導(dǎo)數(shù)。h越小，近似的精度就越高，因此，差分方程組解的精度就越高。另外，對于迭代次數(shù)的要求可由下面三個條件來定： 1、余數(shù)都降到大約電位平均值的0.1；