初三《圓》知識點及定理

1、圓知識點及定理外離（圖1） 無交點d R r ；外切（圖2） 有一個交點d R r ；、圓的概念集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合;2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合;相交（圖3） 有兩個交點 內(nèi)切（圖4） 有一個交點 內(nèi)含（圖5）無交點圖53 、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念:1、圓：至U定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑 的圓；（補充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線 （也叫中垂線）；3 、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；4 、到

2、直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離 等于定長的兩條直線；5 、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直 線距離都相等的一條直線。五、垂徑定理1、點在圓內(nèi)d2、點在圓上d3、點在圓外d、點與圓的位置關(guān)系三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離2、直線與圓相切3、直線與圓相交r點C在圓內(nèi)；r點B在圓上；r點A在圓外；dr無交點；dr有一個交點;dr有兩個交點;垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1： （ 1 ）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧;（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；（3）平分弦所對

3、的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共 5個結(jié)論中，只要知道其中 2個即可推出其它3個結(jié)論，即:AB是直徑弧AD四、圓與圓的位置關(guān)系AB CD CEDE 弧BC 弧BD 弧AC中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。 推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即:在O O 中， AB / CD弧 AC 弧 BDOA六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理,B即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的 3個結(jié)論, 即： AOB DOE : AB DE ；OC OF ;

4、弧BA 弧BD(1)切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即： MN OA且MN過半徑OA外端 MN是O O的切線七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。 即： AOB和 ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角 AOB 2 ACB2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等??；即：在O O中， C、 D都是所對的圓周角 C D推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在O O中， AB是直徑 C 90或 C 90

5、 AB是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在 ABC 中， OC OA OB ABC是直角三角形或 C 90注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上 的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角 在O O中，ABCD是內(nèi)接四邊形BAD 180DAE即:四邊形 CB D 180C九、切線的性質(zhì)與判定定理(2)性質(zhì)定理: 推論 推論COOBMNAADCBOBOAPCABAO圓幕定理OBCPACBAOCBAAEDOPBCEBAO ECD相交于點P PA PB推論：如果弦

6、與直徑垂直相交,(2)直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在O O中，.直徑 AB CDPC PD那么弦的一半是它分(3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割 線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長 的比例中項。即：在O O中， PA是切線，PB是割線(1)相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的 條線段的乘積相等。即：在O O中，弦AB切線垂直于過切點的半徑(如上圖) 1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。 以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知 道其中兩個條件就能推出最后一個。CE2 AE BE十、切線長定理切線長定理：

7、從圓外一點引圓的兩條切線， 它們的切線長相 等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即： PA、PB是的兩條切線 PA PBPO平分 BPAD 兩PA2 PC PB同理，六邊形的有關(guān)計算在 Rt OAB中進行,AB :OB: OA 1:3:2.OS(2)360ABO2O1即:B圓柱側(cè)面展開圖A底面圓周長BCC(2)hO1B102圓錐側(cè)面展開圖(2)O(1)Rrc1R(2)3OAABD2CBODBAr2(3 )正六邊形OE:AE:OAO1O2垂直平分AB行：OD : BD :OB 1PC PB PD PEl:扇形弧長十三、圓的公切線 兩圓公切線長的計算公式如圖：QO2垂直平分ABS表R:扇形多對

8、應的圓的半徑S底2、圓柱(1)圓錐的體積：Vr2h圓柱的體積：V十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓 的的公共弦。O1、O O2相交于A、B兩點2n :圓心角S：扇形面積1、扇形：(1)r2是半徑之和。十四、圓內(nèi)正多邊形的計算(1 )正三角形在O O中厶ABC是正三角形，有關(guān)計算在 Rt BOD中進n R2(2 )外公切線長：CO2是半徑之差；內(nèi)公切線長：CO2扇形面積公式： SS表Sft2S底=2 rh2 r2C-人八B(2 )正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計算在Rt OAE中進行恵:(1)公切線長：Rt OQ2C 中，AB2 CO12 O1O2_CO22卜五、扇

9、形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式母線長C1D1(4)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條 線段長的積相等(如上圖)。即：在O O中，T PB、PE是割線弧長公式： |_R180十六、圓中常見的輔助線1) .作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等2) .作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距” 間的關(guān)系進行證明.3) .作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進行計算4) .作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角.5) .作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的圓周角一一直角.6) .遇到切線，作過切點的弦，構(gòu)造弦切角.7) .遇到切線，作過切點的

10、半徑，構(gòu)造直角.求：EM的長.例4如圖23-13 , AB是O O的直徑，PB切O 0于點B, AB BC于E D,交O 0于 F、G,且BE、BD恰好是關(guān)于x的方程（其中m為實數(shù)）的兩根.（1）求證：BE= BD8）欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：（1）若知道直線和圓有公共點時，常連結(jié)PA交O O于點C, PF分別交- fix 4 (tn2 + 4m +13) = D公共點和圓心證明直線垂直；（2）不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑.9）.遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點.10）.遇到三角形的內(nèi)心，常作：（1）內(nèi)心到三邊的垂線；（2）連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂占八、11）.遇相交兩圓，常作：（1）公共弦；（2）連心線.12）.遇兩圓相切，常過切點作兩圓的公切線.13）.求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一 條直角邊.十七、圓中較特殊的輔助線1）.過圓外一點或圓上一點作圓的切線.2）.將割線、相交弦補充完整.3）.作輔助圓.例1如圖23-11 , CA為OO的切線，切點為 A,點B在OO上，如果/ CAB= 55，那 么/A