巧用定義求橢圓中四類最值問(wèn)題

1、巧用定義求橢圓中四類最值問(wèn)題圓錐曲線的定義既是推導(dǎo)圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的依據(jù)，又是用來(lái)解決一些問(wèn)題的重要方法，一般情況下，當(dāng)問(wèn)題涉及焦點(diǎn)或準(zhǔn)線，且用其它方法不易求解時(shí)，可考慮運(yùn)用定義求解，下面以橢圓為例歸納四類最值問(wèn)題。一、的最值若A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)（異于焦點(diǎn)），P是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是C的一個(gè)焦點(diǎn)，e是C的離心率，求的最小值。例1. 已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)是橢圓C的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值。分析：注意到式中的數(shù)值“”恰為，則可由橢圓的第二定義知等于橢圓上的點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離。這種方法在本期橢圓中減少運(yùn)算量的主要方法一文中已經(jīng)介紹過(guò)，這里不再重復(fù)，答案為。二、的最值若A為橢圓

2、C內(nèi)一定點(diǎn)（異于焦點(diǎn)），P為C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是C的一個(gè)焦點(diǎn)，求的最值。例2. 已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，求的最大值與最小值。解：如圖1，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，可知其坐標(biāo)為（3，0）圖1由橢圓的第一定義得：可知，當(dāng)P為的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，最大，最大值為，當(dāng)P為的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，最小，最小值為。故的最大值為，最小值為。三、的最值若A為橢圓C外一定點(diǎn)，為C的一條準(zhǔn)線，P為C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P到的距離為d，求的最小值。例3. 已知橢圓外一點(diǎn)A（5，6），為橢圓的左準(zhǔn)線，P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到的距離為d，求的最小值。解：如圖2，設(shè)F為橢圓的左焦點(diǎn)，可知其坐標(biāo)為圖2根據(jù)橢圓的第二定義有：，即可知當(dāng)P、F、A三點(diǎn)共線且P在線段AF上時(shí)，最小，最小值。故的最小值為10。四、橢圓上定長(zhǎng)動(dòng)弦中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的最值例4. 定長(zhǎng)為的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在橢圓上移動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離。解：設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)，如圖3，作于A”，BB”于B”，MM”于M”圖3則當(dāng)且僅當(dāng)AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)等號(hào)成立。故M到橢圓右準(zhǔn)線的最