中考數(shù)學復習題型突破四操作探究型問題課件

1、題型突破（四,操作探究型問題,題型解讀,操作探究型問題是指通過動手測量、作圖,象,取值、計算等實驗,猜想獲得數(shù)學,結(jié)論的研究性活動,這類活動完全模擬以動手為基礎的手腦結(jié)合的科學研究形式,需要動手操作、合情猜想和驗證,常見類型,1,操作設計問題,2,圖形剪拼問題,3,操作探究問題,4,數(shù)學建模問題,解題策略,運用觀察、操作、聯(lián)想、推理、概括等,多種方法,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,例,1,2018,菏澤,問題情境,在綜合與實踐課上,老師讓同學們以,矩形紙片的剪拼,為主題開展數(shù)學活動,如圖,Z4,1,將矩形紙片,ABCD,沿對角線,AC,剪開,得到,ABC,和,ACD,并且量得,AB,2 c

2、m,AC,4 cm,操作發(fā)現(xiàn),1,將圖,中的,ACD,以點,A,為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn),使,BAC,得到如圖,所示的,ACD,過點,C,作,AC,的平行線,與,DC,的延長線交于點,E,則四邊形,ACEC,的形狀是,圖,Z4,1,解,1,菱形,理由,由題意得,CAC,BAC,DCA,CE,AC,又,CE,AC,四邊形,ACEC,是平行四邊形,AC=AC,平行四邊形,ACEC,是菱形,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,2,創(chuàng)新小組將圖,中的,ACD,以點,A,為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn),使,B,A,D,三點在同一條直線上,得到,如圖,所示的,ACD,連接,CC,取,CC,的中點,F,連接

3、,AF,并延長至點,G,使,FG=AF,連接,CG,CG,得到四邊,形,ACGC,發(fā)現(xiàn)它是正方形,請你證明這個結(jié)論,實踐探究,3,縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎上,進行如下操作,將,ABC,沿著,BD,方向平移,使點,B,與點,A,重合,此時,A,點平移至,A,點,AC,與,BC,相交于點,H,如圖,所示,連接,CC,試求,tan,CCH,的值,圖,Z4,1,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,分層分析,1,將矩形紙片,ABCD,沿對角線,AC,剪開,得到,ABC,和,ACD,這兩個三角形全等嗎,2,ACD,是由哪個三角形繞著哪個點,如何旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)多少度得到,旋轉(zhuǎn)角,CAC,是多少度,3,如何

4、證明四邊形,ACEC,是平行四邊形,如何證明是菱形,4,將圖,中的,ACD,以點,A,為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn),使,B,A,D,三點在同一條直線上,得到如圖,所,示的,ACD,連接,CC,取,CC,的中點,F,連接,AF,并延長至點,G,使,FG=AF,連接,CG,CG,得到四邊形,ACGC,如何證明四邊形,ACGC,是菱形,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,5,在,4,的條件下,如何證明四邊形,ACGC,是正方形,6,AB,2 cm,AC,4 cm,如何求,ACB,的度數(shù),7,將,ABC,沿著,BD,方向平移,使點,B,與點,A,重合,此時,A,點平移至,A,點,AC,與,BC,相交于點

5、,H,如圖,所,示,連接,CC,如何求,BH,CH,CH,8,在,Rt,CHC,中,如何求,tan,CCH,2,證明,由題意得,CF=CF,FG=AF,四邊形,ACGC,是平行四邊形,AC=AC,平行四邊形,ACGC,是菱形,B,A,D,三點在同一條直線上,且,BAC,DAC,90,CAC,90,菱形,ACGC,是正方形,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,例,1,2018,菏澤,問題情境,在綜合與實踐課上,老師讓同學們以,矩形紙片的剪拼,為主題開展數(shù)學活動,如圖,Z4,1,將矩形紙片,ABCD,沿對角線,AC,剪開,得到,ABC,和,ACD,并且量得,AB,2 cm,AC,4 cm,操作發(fā)現(xiàn),

6、2,創(chuàng)新小組將圖,中的,ACD,以點,A,為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn),使,B,A,D,三點在同一條直線上,得到,如圖,所示的,ACD,連接,CC,取,CC,的中點,F,連接,AF,并延長至點,G,使,FG=AF,連接,CG,CG,得到四邊,形,ACGC,發(fā)現(xiàn)它是正方形,請你證明這個結(jié)論,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,例,1,2018,菏澤,問題情境,在綜合與實踐課上,老師讓同學們以,矩形紙片的剪拼,為主題開展數(shù)學活動,如圖,Z4,1,將矩形紙片,ABCD,沿對角線,AC,剪開,得到,ABC,和,ACD,并且量得,AB,2 cm,AC,4 cm,實踐探究,3,縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基

7、礎上,進行如下操作,將,ABC,沿著,BD,方向平移,使點,B,與點,A,重合,此時,A,點平移至,A,點,AC,與,BC,相交于點,H,如圖,所示,連接,CC,試求,tan,CCH,的值,3,AB,2 cm,AC,4 cm,sin,ACB,2,4,1,2,ACB,30,ACB,DBC,30,BAC,60,AHB,BHC,CHC,90,易得,BC,2,3,cm,在,Rt,BHC,中,BCH,30,BH,1,2,BC,3,cm,HC,3 cm,HC=BC-BH,4,3,cm,tan,CCH,4,3,3,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,針,對,訓,練,1,閱讀理解,如圖,Z4,2,如果四邊形,A

8、BCD,滿足,AB=AD,CB=CD,B,D,90,那,么我們把這樣的四邊形叫做,完美箏形,將一張如圖,Z4,2,所示的,完美箏形,紙片,ABCD,先折疊成如圖,Z4,2,所示形狀,再展開得到圖,其中,CE,CF,為折痕,BCE,ECF,FCD,點,B,為點,B,的對應點,點,D,為點,D,的對應點,連接,EB,FD,相交于點,O,圖,Z4,2,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,簡單應用,1,在平行四邊形、矩形、菱形、正方形四種圖形中,一定為,完美箏形,的是,2,當圖,中的,BCD,120,時,AEB,3,當圖,中的四邊形,AECF,為菱形時,對應圖,中的,完美箏形,有,個,包含四邊形,ABC

9、D,拓展提升,當圖,中的,BCD,90,時,連接,AB,請?zhí)角?ABE,的度數(shù),并說明理由,圖,Z4,2,解,簡單應用,1,因為平行四邊形和菱形中不一定有直角,矩形兩條鄰邊不一定相等,所,以一定為“完美箏形”的是正方形,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,1,閱讀理解,如圖,Z4,2,如果四邊形,ABCD,滿足,AB=AD,CB=CD,B,D,90,那,么我們把這樣的四邊形叫做,完美箏形,將一張如圖,Z4,2,所示的,完美箏形,紙片,ABCD,先折疊成如圖,Z4,2,所示形狀,再展開得到圖,其中,CE,CF,為折痕,BCE,ECF,FCD,點,B,為點,B,的對應點,點,D,為點,D,的對應點,

10、連接,EB,FD,相交于點,O,簡單應用,2,當圖,中的,BCD,120,時,AEB,圖,Z4,2,2,在題圖,中,因為,BCD,120,BCE,ECF,FCD,所以,BCE,ECF,FCD,40,又因為,B,90,所以,BEC,50,所以,BEC,50,所以,AEB,180,50,50,80,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,1,閱讀理解,如圖,Z4,2,如果四邊形,ABCD,滿足,AB=AD,CB=CD,B,D,90,那,么我們把這樣的四邊形叫做,完美箏形,將一張如圖,Z4,2,所示的,完美箏形,紙片,ABCD,先折疊成如圖,Z4,2,所示形狀,再展開得到圖,其中,CE,CF,為折痕,BC

11、E,ECF,FCD,點,B,為點,B,的對應點,點,D,為點,D,的對應點,連接,EB,FD,相交于點,O,簡單應用,(3,當圖,中的四邊形,AECF,為菱形時,對應圖,中的,完美箏,形,有,個,包含四邊形,ABCD,圖,Z4,2,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,3,當題圖,中的四邊形,AECF,為菱形時,對應題圖,中的,完美箏形,有,5,個,理由如下,根據(jù)題意得,BE=BE,BC=BC,B,CBE,90,CD=CD,FD=FD,D,CDF,90,四邊形,EBCB,四邊形,FDCD,是,完美箏形,四邊形,ABCD,是,完美箏形,AB=AD,CB=CD,B,D,90,CD=CB,CDO,CBO

12、,90,ODE,OBF,90,四邊形,AECF,為菱形,AE=AF,CE=CF,AE,CF,AF,CE,DE=BF,AEB,CBE,90,AFD,CDF,90,在,OED,和,OFB,中,OED,OFB,AAS,OD=OB,OE=OF,四邊形,CDOB,四邊形,AEOF,是,完美箏形,包含四邊形,ABCD,對應圖,中的,完美箏形,有,5,個,故答案為,5,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,1,閱讀理解,如圖,Z4,2,如果四邊形,ABCD,滿足,AB=AD,CB=CD,B,D,90,那,么我們把這樣的四邊形叫做,完美箏形,將一張如圖,Z4,2,所示的,完美箏形,紙片,ABCD,先折疊成如圖,Z

13、4,2,所示形狀,再展開得到圖,其中,CE,CF,為折痕,BCE,ECF,FCD,點,B,為點,B,的對應點,點,D,為點,D,的對應點,連接,EB,FD,相交于點,O,拓展提升,當圖,中的,BCD,90,時,連接,AB,請?zhí)角?ABE,的度數(shù),并說明理由,圖,Z4,2,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,拓展提升,ABE,45,理由如下,BCD,90,四邊形,ABCD,是正方形,BAD,90,EBF,90,BAD,EBF,180,A,E,B,F,四點共圓,易證,AE=AF,ABE,ABF,1,2,EBF,45,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,2,2018,齊齊哈爾,綜合與實踐,折紙是一項有趣

14、的活動,同學們小時候都玩過折紙,可能折過小動物,小花,飛機,小船等,折紙活動也伴隨,著我們初中數(shù)學的學習,在折紙過程中,我們可以通過研究圖形的性質(zhì)和運動,確定圖形位置等,進一步發(fā)展,空間觀念,在經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程中,我們會初步建立幾何直觀,折紙往往從矩形紙片開始,今天,就,讓我們帶著數(shù)學的眼光來玩一玩折紙,看看折疊矩形的對角線之后能得到哪些數(shù)學結(jié)論,實踐操作,如圖,將矩形紙片,ABCD,沿對角線,AC,翻折,使點,B,落在,矩形,ABCD,所在平面內(nèi),BC,和,AD,相交于點,E,連接,BD,圖,Z4,3,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,解決問題,1,在圖,中,BD,和,AC,的位置

15、關系為,將,AEC,剪下后展開,得到的圖形是,2,若圖,中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r,AB,BC,如圖,所示,1,中結(jié)論,和結(jié)論,是否成立,若成立,請?zhí)暨x,其中的一個結(jié)論加以證明,若不成立,請說明理由,3,小紅沿對角線折疊一張矩形紙片,發(fā)現(xiàn)所得圖形是軸對稱圖形,沿對稱軸再次折疊后,得到的仍是軸對稱,圖形,則小紅折疊的矩形紙片的長寬之比為,拓展應用,4,在圖,中,若,B,30,AB,4,3,當,ABD,恰好為直角三,角形時,BC,的長度為,圖,Z4,3,互相平行,菱形,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,2,2018,齊齊哈爾,綜合與實踐,折紙是一項有趣的活動,同學們小時候都玩過折紙,可能折過小動物,

16、小花,飛機,小船等,折紙活動也伴隨,著我們初中數(shù)學的學習,在折紙過程中,我們可以通過研究圖形的性質(zhì)和運動,確定圖形位置等,進一步發(fā)展,空間觀念,在經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程中,我們會初步建立幾何直觀,折紙往往從矩形紙片開始,今天,就,讓我們帶著數(shù)學的眼光來玩一玩折紙,看看折疊矩形的對角線之后能得到哪些數(shù)學結(jié)論,實踐操作,如圖,將矩形紙片,ABCD,沿對角線,AC,翻折,使點,B,落在,矩形,ABCD,所在平面內(nèi),BC,和,AD,相交于點,E,連接,BD,圖,Z4,3,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,解決問題,2,若圖,中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r,AB,BC,如圖,所示,1,中結(jié)論,和結(jié)論,是否

17、成立,若成立,請?zhí)暨x,其中的一個結(jié)論加以證明,若不成立,請說明理由,圖,Z4,3,2,結(jié)論仍成立,選擇結(jié)論,證明如下,四邊形,ABCD,是平行四邊形,AD,BC,DAC,ACB,將,ABC,沿,AC,翻折至,ABC,ACB,ACB,DAC,ACB,AE=CE,又,BC=BC=AD,BE=ED,CBD,ADB,AEC,BED,ACB,CAD,ADB,DAC,BD,AC,選擇結(jié)論,證明如下,如圖所示,設點,E,的對應點為,F,將,AEC,剪下后展開可得到四邊形,AECF,四邊形,ABCD,是平行四邊形,CF,AE,DAC,ACF,由折疊可得,ACE,ACF,CE=CF,AE=AF,DAC,ACE,

18、AE=CE,AE=CF=CE=AF,四邊形,AECF,是菱形,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,2,2018,齊齊哈爾,綜合與實踐,折紙是一項有趣的活動,同學們小時候都玩過折紙,可能折過小動物,小花,飛機,小船等,折紙活動也伴隨,著我們初中數(shù)學的學習,在折紙過程中,我們可以通過研究圖形的性質(zhì)和運動,確定圖形位置等,進一步發(fā)展,空間觀念,在經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程中,我們會初步建立幾何直觀,折紙往往從矩形紙片開始,今天,就,讓我們帶著數(shù)學的眼光來玩一玩折紙,看看折疊矩形的對角線之后能得到哪些數(shù)學結(jié)論,實踐操作,如圖,將矩形紙片,ABCD,沿對角線,AC,翻折,使點,B,落在,矩形,ABCD,所

19、在平面內(nèi),BC,和,AD,相交于點,E,連接,BD,3,小紅沿對角線折疊一張矩形紙片,發(fā)現(xiàn)所得圖形是軸對稱圖形,沿對稱軸再次折疊后,得到的仍是軸對稱,圖形,則小紅折疊的矩形紙片的長寬之比為,圖,Z4,3,1,1,或,3,1,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,2,2018,齊齊哈爾,綜合與實踐,折紙是一項有趣的活動,同學們小時候都玩過折紙,可能折過小動物,小花,飛機,小船等,折紙活動也伴隨,著我們初中數(shù)學的學習,在折紙過程中,我們可以通過研究圖形的性質(zhì)和運動,確定圖形位置等,進一步發(fā)展,空間觀念,在經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程中,我們會初步建立幾何直觀,折紙往往從矩形紙片開始,今天,就,讓我們帶著

20、數(shù)學的眼光來玩一玩折紙,看看折疊矩形的對角線之后能得到哪些數(shù)學結(jié)論,實踐操作,如圖,將矩形紙片,ABCD,沿對角線,AC,翻折,使點,B,落在,矩形,ABCD,所在平面內(nèi),BC,和,AD,相交于點,E,連接,BD,圖,Z4,3,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,拓展應用,4,在圖,中,若,B,30,AB,4,3,當,ABD,恰好為直角三,角形時,BC,的長度為,圖,Z4,3,4,AD=BC,BC=BC,AD=BC,AC,BD,四邊形,ACDB,是等腰梯形,B,30,ABC,CDA,30,ABD,是直角三角形,分以下幾種情況,當,BAD,90,ABBC,時,如圖,設,ADB,CBD=y,則,AB

21、D=y,30,y,30,y,90,解得,y,60,ABD=y,30,30,AB=AB,4,3,AD,3,3,4,3,4,BC,4,當,ADB,90,ABBC,時,如圖,AD=BC,BC=BC,AD=BC,AC,BD,四邊形,ACBD,是等腰梯形,ADB,90,四邊形,ACBD,是矩形,ACB,90,ACB,90,B,30,AB,4,3,BC,3,2,AB,3,2,4,3,6,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,當,BAD,90,ABBC,時,如圖,AD=BC,BC=BC,AD=BC,B,30,ABC,30,AB,4,3,BAD,90,AE,4,BE,2,AE,8,AE=EC,4,CB,12,BC

22、,12,當,ABD,90,時,如圖,AD=BC,BC=BC,AD=BC,AC,BD,四邊形,ACDB,是等腰梯形,ABD,90,四邊形,ACDB,是矩形,BAC,BAC,90,B,30,AB,4,3,BC=AB,3,2,8,BC,的長為,4,或,6,或,8,或,12,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,3,2018,德州,再讀教材,寬與長的比是,5,1,2,約為,0,618,的矩形叫做黃金矩形,黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感,世界各國許多著,名的建筑為取得最佳的視覺效果,都采用了黃金矩形的設計,下面,我們用寬為,2,的矩形紙片折疊黃金矩,形,提示,MN,2,第一步,在矩形紙片一端,利用圖,Z4

23、,4,的方法折出一個正方形,然后把紙片展平,第二步,如圖,把這個正方形折成兩個相等的矩形,再把紙片展平,第三步,折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線,AB,并把,AB,折到圖,中所示的,AD,處,第四步,展平紙片,按照所得的點,D,折出,DE,使,DE,ND,則圖,中就會出現(xiàn)黃金矩形,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,問題解決,1,圖,中,AB,保留根號,2,如圖,判斷四邊形,BADQ,的形狀,并說明理由,3,請寫出圖,中所有的黃金矩形,并選擇其中一個說明理由,實際操作,4,結(jié)合圖,請在矩形,BCDE,中添加一條線段,設計一個新的黃,金矩形,用字母表示出來,并寫出它的長和寬,圖,Z4,4,5,類型,1,折疊剪

24、拼操作探究型問題,3,2018,德州,再讀教材,寬與長的比是,5,1,2,約為,0,618,的矩形叫做黃金矩形,黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感,世界各國許多著,名的建筑為取得最佳的視覺效果,都采用了黃金矩形的設計,下面,我們用寬為,2,的矩形紙片折疊黃金矩,形,提示,MN,2,第一步,在矩形紙片一端,利用圖,Z4,4,的方法折出一個正方形,然后把紙片展平,第二步,如圖,把這個正方形折成兩個相等的矩形,再把紙片展平,第三步,折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線,AB,并把,AB,折到圖,中所示的,AD,處,第四步,展平紙片,按照所得的點,D,折出,DE,使,DE,ND,則圖,中就會出現(xiàn)黃金矩形,類型,1,折疊

25、剪拼操作探究型問題,問題解決,2,如圖,判斷四邊形,BADQ,的形狀,并說明理由,圖,Z4,4,2,四邊形,BADQ,是菱形,理由如下,四邊形,ACBF,是矩形,BQ,AD,BQA,QAD,由折疊得,BAQ,QAD,AB=AD,BQA,BAQ,BQ=AB,BQ=AD,又,BQ,AD,四邊形,BADQ,是平行四邊形,AB=AD,四邊形,BADQ,是菱形,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,3,2018,德州,再讀教材,寬與長的比是,5,1,2,約為,0,618,的矩形叫做黃金矩形,黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感,世界各國許多著,名的建筑為取得最佳的視覺效果,都采用了黃金矩形的設計,下面,我們用寬

26、為,2,的矩形紙片折疊黃金矩,形,提示,MN,2,第一步,在矩形紙片一端,利用圖,Z4,4,的方法折出一個正方形,然后把紙片展平,第二步,如圖,把這個正方形折成兩個相等的矩形,再把紙片展平,第三步,折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線,AB,并把,AB,折到圖,中所示的,AD,處,第四步,展平紙片,按照所得的點,D,折出,DE,使,DE,ND,則圖,中就會出現(xiàn)黃金矩形,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,問題解決,3,請寫出圖,中所有的黃金矩形,并選擇其中一個說明理由,圖,Z4,4,3,圖,中的黃金矩形有矩形,BCDE,矩形,MNDE,以黃金矩形,BCDE,為例,理由如下,AD,5,AN=AC,1,CD=AD-

27、AC,5,1,又,BC,2,5,1,2,故矩形,BCDE,是黃金矩形,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,3,2018,德州,再讀教材,寬與長的比是,5,1,2,約為,0,618,的矩形叫做黃金矩形,黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感,世界各國許多著,名的建筑為取得最佳的視覺效果,都采用了黃金矩形的設計,下面,我們用寬為,2,的矩形紙片折疊黃金矩,形,提示,MN,2,第一步,在矩形紙片一端,利用圖,Z4,4,的方法折出一個正方形,然后把紙片展平,第二步,如圖,把這個正方形折成兩個相等的矩形,再把紙片展平,第三步,折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線,AB,并把,AB,折到圖,中所示的,AD,處,第四步,展平紙片,

28、按照所得的點,D,折出,DE,使,DE,ND,則圖,中就會出現(xiàn)黃金矩形,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,實際操作,4,結(jié)合圖,請在矩形,BCDE,中添加一條線段,設計一個新的黃,金矩形,用字母表示出來,并寫出它的長和寬,圖,Z4,4,4,如圖,在矩形,BCDE,上添加線段,GH,使四邊形,GCDH,為正,方形,此時四邊形,BGHE,為所要作的黃金矩形,長,GH,5,1,寬,BG,3,5,3,5,5,1,5,1,2,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,4,2017,南京,折紙的思考,操作體驗,用一張矩形紙片折等邊三角形,第一步,對折矩形紙片,ABCD,ABBC,圖,使,AB,與,DC,重合,得到

29、折痕,EF,把紙片展平,圖,第二步,如圖,再一次折疊紙片,使點,C,落在,EF,上的,P,處,并使折痕經(jīng)過點,B,得到折痕,BG,折出,PB,PC,得到,PBC,1,說明,PBC,是等邊三角形,圖,Z4,5,解,1,由折疊,PB=PC,BP=BC,PB=PC=BC,PBC,是等邊三角形,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,數(shù)學思考,2,如圖,小明畫出了圖,的矩形,ABCD,和等邊三角形,PBC,他發(fā)現(xiàn),在矩形,ABCD,中把,PBC,經(jīng)過圖形變換,可以得到圖,中的更大的等邊三角形,請描述圖形變換的過程,3,已知矩形一邊長為,3 cm,另一邊長為,a,cm,對于每一個確定的,a,的值,在矩形中都能

30、畫出最大的等邊三角形,請畫出不同情形的示意圖,并寫出對應的,a,的取值范圍,問題解決,4,用一張正方形鐵片剪一個直角邊長分別為,4 cm,和,1 cm,的直,角三角形鐵片,所需正方形鐵片的邊長的最小值為,cm,圖,Z4,5,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,數(shù)學思考,2,如圖,小明畫出了圖,的矩形,ABCD,和等邊三角形,PBC,他發(fā)現(xiàn),在矩形,ABCD,中把,PBC,經(jīng)過圖形變換,可以得到圖,中的更大的等邊三角形,請描述圖形變換的過程,圖,Z4,5,2,本題答案不唯一,例如,如圖,以點,B,為中心,在矩形,ABCD,中把,PBC,沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)適,當?shù)慕嵌?得到,P,1,BC,1,再以點,

31、B,為位似中心,將,P,1,BC,1,放大,使,C,1,的對,應點,C,2,落在,CD,上,得到,P,2,BC,2,類型,1,折疊剪拼操作探究型問題,數(shù)學思考,3,已知矩形一邊長為,3 cm,另一邊長為,a,cm,對于每一個確定的,a,的值,在矩形中都能畫出最大的等邊三角形,請畫出不同情形的示意圖,并寫出對應的,a,的取值范圍,圖,Z4,5,3,當?shù)冗吶切蔚倪呴L為,3 cm,高為,a,cm,時,則,a,3,3,2,當?shù)冗吶?角形的邊長為,a,cm,高為,3 cm,時,則,a,2,3,然后分,0,a,3,3,2,3,3,2,a,2,3,a,2,3,畫出示意圖如圖,類型,1,折疊剪拼操作探究型問

32、題,問題解決,4,用一張正方形鐵片剪一個直角邊長分別為,4 cm,和,1 cm,的直角三角形鐵片,所需正方形鐵片的邊長的最小,值為,cm,4,16,5,提示,當,4 cm,長的直角邊與正方形的邊重合時,邊長為,4 cm,正方形的面積為,16 cm,2,當直角三角形的一個頂點與正方形的頂點重合,另外兩個頂點在邊上時,如圖,四邊形,ABCD,是正方形,BC=CD,C,D,90,BFE,90,BFC,EFD,90,BFC,CBF,90,EFD,CBF,BCF,FDE,BC,DF=BF,EF,設,BC=a,由,BF,4,得,CF,16,2,則,DF=a,16,2,可知,a,a,16,2,4,1,解得,

33、a,16,5,負值舍去,因為,16,5,4,所以邊長的最小值為,16,5,cm,例,2,從三角形,不是等腰三角形,一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分,割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段,叫做這個三角形的完美分割線,1,如圖,Z4,6,在,ABC,中,CD,為角平分線,A,40,B,60,求證,CD,為,ABC,的完美分割線,2,在,ABC,中,A,48,CD,是,ABC,的完美分割線,且,ACD,為等腰三角形,求,ACB,的度數(shù),3,如圖,ABC,中,AC,2,BC,2,CD,是,ABC,的完美分割線

34、,且,ACD,是以,CD,為底邊的等腰三角形,求完,美分割線,CD,的長,解,1,證明,A,40,B,60,ACB,80,ABC,不是等腰三角形,CD,平分,ACB,ACD,BCD,1,2,ACB,40,ACD,A,40,ACD,為等腰三角形,DCB,A,40,CBD,ABC,BCD,BAC,CD,是,ABC,的完美分割線,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,圖,Z4,6,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,分層分析,1,什么叫完美分割線,2,根據(jù)完美分割線的定義如何證明,ABC,不是等腰三角形,ACD,是等腰三角形,BDC,BCA,3,要求,ACB,的度數(shù),分三種情形討論即可,當,AD=CD

35、,時,當,AD=AC,時,當,AC=CD,時,4,設,BD=x,利用,BCD,BAC,得,如何列出方程求解,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,例,2,從三角形,不是等腰三角形,一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分,割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段,叫做這個三角形的完美分割線,2,在,ABC,中,A,48,CD,是,ABC,的完美分割線,且,ACD,為等腰三角形,求,ACB,的度數(shù),2,當,AD=CD,時,如圖,ACD,A,48,BDC,BCA,BCD,A,48,ACB,ACD,BCD,96,當,AD

36、=AC,時,如圖,ACD,ADC,180,48,2,66,BDC,BCA,BCD,A,48,ACB,ACD,BCD,114,當,AC=CD,時,如圖,ADC,A,48,BDC,BCA,BCD,A,48,ADC,BCD,矛盾,舍去,ACB,96,或,114,例,2,從三角形,不是等腰三角形,一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分,割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段,叫做這個三角形的完美分割線,3,如圖,ABC,中,AC,2,BC,2,CD,是,ABC,的完美分割線,且,ACD,是以,CD,為底邊的等腰三角形

37、,求完,美分割線,CD,的長,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,圖,Z4,6,3,由已知,AC=AD,2,BCD,BAC,設,BD=x,2,2,x,x,2,x,0,x,3,1,BCD,BAC,3,1,2,CD,3,1,2,2,6,2,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,針,對,訓,練,1,2018,揚州,問題呈現(xiàn),如圖,Z4,7,在邊長為,1,的正方形網(wǎng)格中,連接格點,D,N,和,E,C,DN,和,EC,相交于點,P,求,tan,CPN,的值,方法歸納,求一個銳角的三角函數(shù)值,我們往往需要找出,或構(gòu)造出,一個直角三角形,觀察發(fā)現(xiàn)問題中,CPN,不在直角,三角形中,我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方

38、法解決此類問題,比如連接格點,M,N,可得,MN,EC,則,DNM,CPN,連接,DM,那么,CPN,就變換到,Rt,DMN,中,圖,Z4,7,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,問題解決,1,直接寫出圖,中,tan,CPN,的值為,2,如圖,在邊長為,1,的正方形網(wǎng)格中,AN,與,CM,相交于點,P,求,cos,CPN,的值,思維拓展,3,如圖,AB,BC,AB,4,BC,點,M,在,AB,上,且,AM=BC,延長,CB,到,N,使,BN,2,BC,連接,AN,交,CM,的延長線于,點,P,用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求,CPN,的度數(shù),圖,Z4,7,解,1,由勾股定理得,DM,2,2,MN,2,DN

39、,10,2,2,2,2,2,10,2,DM,2,MN,2,DN,2,DMN,是直角三角形,MN,EC,CPN,DNM,tan,DNM,2,2,2,2,tan,CPN,2,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,1,2018,揚州,問題呈現(xiàn),如圖,Z4,7,在邊長為,1,的正方形網(wǎng)格中,連接格點,D,N,和,E,C,DN,和,EC,相交于點,P,求,tan,CPN,的值,方法歸納,求一個銳角的三角函數(shù)值,我們往往需要找出,或構(gòu)造出,一個直角三角形,觀察發(fā)現(xiàn)問題中,CPN,不在直角,三角形中,我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題,比如連接格點,M,N,可得,MN,EC,則,DNM,CPN,連接,

40、DM,那么,CPN,就變換到,Rt,DMN,中,圖,Z4,7,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,問題解決,2,如圖,在邊長為,1,的正方形網(wǎng)格中,AN,與,CM,相交于點,P,求,cos,CPN,的值,圖,Z4,7,2,如圖,取格點,D,連接,CD,DM,CD,AN,CPN,DCM,易得,DCM,是等腰直角三角形,DCM,45,cos,CPN,cos,DCM,2,2,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,1,2018,揚州,問題呈現(xiàn),如圖,Z4,7,在邊長為,1,的正方形網(wǎng)格中,連接格點,D,N,和,E,C,DN,和,EC,相交于點,P,求,tan,CPN,的值,方法歸納,求一個銳角的三角函數(shù)

41、值,我們往往需要找出,或構(gòu)造出,一個直角三角形,觀察發(fā)現(xiàn)問題中,CPN,不在直角,三角形中,我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題,比如連接格點,M,N,可得,MN,EC,則,DNM,CPN,連接,DM,那么,CPN,就變換到,Rt,DMN,中,圖,Z4,7,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,思維拓展,3,如圖,AB,BC,AB,4,BC,點,M,在,AB,上,且,AM=BC,延長,CB,到,N,使,BN,2,BC,連接,AN,交,CM,的延長線于,點,P,用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求,CPN,的度數(shù),圖,Z4,7,3,構(gòu)造如下圖所示網(wǎng)格,取格點,Q,連接,AQ,QN,易得,PC,QN,CPN,

42、ANQ,AQ=QN,AQN,90,ANQ,QAN,45,CPN,45,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,2,2017,隨州,如圖,Z4,8,分別是可活動的菱形和平行四邊形學具,已知平行四邊形較短的邊與菱形的邊長,相等,1,在一次數(shù)學活動中,某小組學生將菱形的一邊與平行四邊形較短邊重合,擺拼成如圖,Z4,9,所示的圖形,AF,經(jīng)過點,C,連接,DE,交,AF,于點,M,觀察,發(fā)現(xiàn),點,M,是,DE,的中點,下面是兩位學生有代表性的證明思路,思路,1,不需作輔助線,直接證三角形全等,思路,2,不證三角形全等,連接,BD,交,AF,于點,H,請參考上面的思路,證明點,M,是,DE,的中點,只需用一

43、種方法證明,圖,Z4,8,圖,Z4,9,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,解,1,思路,1,證明,四邊形,ABEF,和四邊形,ABCD,分別為平行四邊形和菱形,EF=AB,EF,AB,DC,AB,DC=AB,EF,DC,EF=DC,CDM,FEM,又,DMC,EMF,DMC,EMF,AAS,DM=EM,點,M,是,DE,的中點,思路,2,證明,四邊形,ABCD,是菱形,DH=HB,四邊形,ABEF,是平行四邊形,HM,BE,DM=EM,點,M,是,DE,的中點,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,2,如圖,在,1,的條件下,當,ABE,135,時,延長,AD,EF,交于點,N,求,的值,3,

44、在,2,的條件下,若,k,k,為大于,2,的常數(shù),直接用含,k,的代數(shù)式表示,AM,MF,的值,圖,Z4,9,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,2,2017,隨州,如圖,Z4,8,分別是可活動的菱形和平行四邊形學具,已知平行四邊形較短的邊與菱形的邊長,相等,2,如圖,在,1,的條件下,當,ABE,135,時,延長,AD,EF,交于點,N,求,的值,圖,Z4,8,圖,Z4,9,2,如圖,過點,M,作,MG,NE,交,AN,于點,G,點,M,是,DE,的中點,在,DNE,中,NE,2,MG,又,ABE,135,NAF,NFA,45,EN,AN,MG,AN,在,Rt,AMG,中,AM,2,MG,2

45、,2,2,2,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,2,2017,隨州,如圖,Z4,8,分別是可活動的菱形和平行四邊形學具,已知平行四邊形較短的邊與菱形的邊長,相等,3,在,2,的條件下,若,k,k,為大于,2,的常數(shù),直接用含,k,的代數(shù)式表示,AM,MF,的值,圖,Z4,8,圖,Z4,9,3,2,2,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,3,2017,鎮(zhèn)江,回顧,如圖,Z4,10,ABC,中,B,30,AB,3,BC,4,則,ABC,的面積等于,探究,圖,Z4,11,是同學們熟悉的一副三角尺,一個含,30,的角,較短的直角邊長為,a,另一個含有,45,的角,直角邊長,為,b,小明用兩副這樣的三

46、角尺拼成一個平行四邊形,ABCD,如圖,用了兩種不同的方法計算它的面積,從而推出,sin75,6,2,4,小麗用,兩副這樣的三角尺拼成一個矩形,EFGH,如圖,也推出,sin75,6,2,4,請你寫出小明或小麗推出,sin75,6,2,4,的具體說理過程,圖,Z4,10,圖,Z4,11,3,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,應用,在四邊形,ABCD,中,AD,BC,D,75,BC,6,CD,5,AD,10,如圖,Z4,12,1,點,E,在,AD,上,設,t=BE+CE,求,t,2,的最小值,2,點,F,在,AB,上,將,BCF,沿,CF,翻折,點,B,落在,AD,上的點,G,處,點,G,是,

47、AD,的中點嗎,說明理由,圖,Z4,12,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,3,2017,鎮(zhèn)江,探究,圖,Z4,11,是同學們熟悉的一副三角尺,一個含,30,的角,較短的直角邊長為,a,另一個含有,45,的角,直角邊長,為,b,小明用兩副這樣的三角尺拼成一個平行四邊形,ABCD,如圖,用了兩種不同的方法計算它的面積,從而推出,sin75,6,2,4,小麗用,兩副這樣的三角尺拼成一個矩形,EFGH,如圖,也推出,sin75,6,2,4,請你寫出小明或小麗推出,sin75,6,2,4,的具體說理過程,圖,Z4,11,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,探究,以題中圖,推導如下,設圖形內(nèi)部四邊形的

48、頂點為,P,Q,M,N,由拼圖知,四邊形,PQMN,是矩形,過,A,作,AK,BC,K,為垂足,如圖,在,Rt,ABP,中,APB,90,ABP,30,AP=a,AB,2,a,BP,3,a,在,Rt,BCQ,中,BQC,90,CBQ,45,BQ=CQ=b,BC,2,b,在,Rt,ABK,中,AKB,90,ABK,75,AB,2,a,AK,sin75,AB,2,a,sin75,S,平行四邊形,ABCD,BC,AK,2,2,ab,sin75,又,S,平行四邊形,ABCD,2,S,ABP,2,S,BCQ,S,矩形,PQMN,3,a,2,b,2,3,a-b,b-a,3,1,ab,2,2,ab,sin7

49、5,3,1,ab,sin75,3+1,2,2,6,2,4,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,以題中圖,推導如下,設圖形內(nèi)部四邊形的頂點為,P,Q,M,N,由拼圖知,四邊形,PQMN,是平行四邊形,過,N,作,NK,PQ,K,為垂足,如圖,在,Rt,PNE,中,PEN,90,PNE,30,PE=a,PN,2,a,NE,3,a,在,Rt,PFQ,中,PFQ,90,FQP,45,PF=QF=b,PQ,2,b,在,Rt,PNK,中,PKN,90,NPK,75,PN,2,a,NK,sin75,PN,2,a,sin75,S,平行四邊形,PQMN,PQ,NK,2,2,ab,sin75,S,矩形,EFGH,

50、2,S,PNE,2,S,PFQ,S,平行四邊形,PQMN,3,a,2,b,2,2,2,ab,sin75,又,矩形,EFGH,的面積,FG,EF,3,a+b,a+b,3,a,2,b,2,3,1,ab,3,a,2,b,2,2,2,ab,sin75,3,a,2,b,2,3,1,ab,sin75,3+1,2,2,6,2,4,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,應用,在四邊形,ABCD,中,AD,BC,D,75,BC,6,CD,5,AD,10,如圖,Z4,12,1,點,E,在,AD,上,設,t=BE+CE,求,t,2,的最小值,圖,Z4,12,應用,1,作點,C,關于,AD,的對稱點,M,連接,CM,交

51、,AD,于點,H,連接,BM,交,AD,于點,E,則,CM,AD,如圖,此時,t=BE+EC,最小,最小值等于,BM,的長,在,Rt,CDH,中,CHD,90,D,75,CD,5,CH=CD,sin75,5,6,2,4,在,Rt,BCM,中,BCM,90,MC,2,HC,5,6,2,2,BC,6,BM,2,BC,2,MC,2,6,2,5,6,2,2,2,86,25,3,即,t,2,的最小值等于,86,25,3,類型,2,分割與拼接操作探究型問題,應用,在四邊形,ABCD,中,AD,BC,D,75,BC,6,CD,5,AD,10,如圖,Z4,12,2,點,F,在,AB,上,將,BCF,沿,CF,

52、翻折,點,B,落在,AD,上的點,G,處,點,G,是,AD,的中點嗎,說明理由,圖,Z4,12,應用,2,點,G,不是,AD,的中點,理由如下,假設,G,是,AD,的中點,則,GD,5,設,DH=x,則,GH,5,x,由翻折知,GC=BC,6,在,Rt,GHC,中,HC,2,GC,2,GH,2,36,5,x,2,在,Rt,DHC,中,HC,2,DC,2,DH,2,25,x,2,36,5,x,2,25,x,2,解得,x,7,5,在,Rt,DHC,中,HC,2,DC,2,DH,2,25,7,5,2,576,25,HC,24,5,在,Rt,DHC,中,sin,CDH,24,25,這與已知,sin,C

53、DE,sin75,6,2,4,相矛盾,所以假設,G,是,AD,的中點不成立,即,G,不是,AD,的中點,類型,3,平移旋轉(zhuǎn)操作探究型問題,例,3,數(shù)學活動課上,某學習小組對有一內(nèi)角為,120,的平行四邊形,ABCD,BAD,120,進行探究,將一塊含,60,角的直角三角板如圖,Z4,13,放置在平行四邊形,ABCD,所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),且,60,角的頂點始終與點,C,重合,較短,的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段,AB,AD,于點,E,F,不包括線段的端點,1,初步嘗試,如圖,若,AD=AB,求證,BCE,ACF,AE+AF=AC,2,類比發(fā)現(xiàn),如圖,若,AD,2,AB,過點,C,作,CH,AD

54、,于點,H,求證,AE,2,FH,3,深入探究,如圖,若,AD,3,AB,探究得,3,的值為常數(shù),t,則,t,圖,Z4,13,類型,3,平移旋轉(zhuǎn)操作探究型問題,分層分析,1,將一塊含,60,角的直角三角板如圖,Z4,13,放置在平行四邊形,ABCD,所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),且,60,角的頂點始終,與點,C,重合,在這里所起的作用是什么,2,如何證明,ABC,ACD,都是等邊三角形,你能進一步證明,BCE,ACF,嗎,3,如何證明,BCE,ACF,得到,BE=AF,4,如圖,為了證明,ACE,HCF,你能找到什么條件,成立嗎,為什么,5,如圖,中,作,CN,AD,于,N,CM,BA,于,M,CM,與,A

55、D,交于點,H,如何證明,CFN,CEM,得,6,由,AB,CM=AD,CN,AD,3,AB,推出,CM,3,CN,所以設,CN=a,FN=b,則,CM,3,a,EM,3,b,如何求出,AC,圖,Z4,13,類型,3,平移旋轉(zhuǎn)操作探究型問題,例,3,數(shù)學活動課上,某學習小組對有一內(nèi)角為,120,的平行四邊形,ABCD,BAD,120,進行探究,將一塊含,60,角的直角三角板如圖,Z4,13,放置在平行四邊形,ABCD,所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),且,60,角的頂點始終與點,C,重合,較短,的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段,AB,AD,于點,E,F,不包括線段的端點,1,初步嘗試,如圖,若,AD=AB,

56、求證,BCE,ACF,AE+AF=AC,圖,Z4,13,解,1,證明,四邊形,ABCD,是平行四邊形,BAD,120,D,B,60,AD=AB,ABC,ACD,都是等邊三角形,B,CAD,60,ACB,60,BC=AC,ECF,60,BCE,ACE,ACF,ACE,60,BCE,ACF,在,BCE,和,ACF,中,BCE,ACF,BCE,ACF,BE=AF,AE+AF=AE+BE=AB=AC,類型,3,平移旋轉(zhuǎn)操作探究型問題,例,3,數(shù)學活動課上,某學習小組對有一內(nèi)角為,120,的平行四邊形,ABCD,BAD,120,進行探究,將一塊含,60,角的直角三角板如圖,Z4,13,放置在平行四邊形,

57、ABCD,所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),且,60,角的頂點始終與點,C,重合,較短,的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段,AB,AD,于點,E,F,不包括線段的端點,2,類比發(fā)現(xiàn),如圖,若,AD,2,AB,過點,C,作,CH,AD,于點,H,求證,AE,2,FH,圖,Z4,13,2,證明,設,DH=x,由題意得,CD,2,x,CH,3,x,AD,2,AB,4,x,AH=AD-DH,3,x,CH,AD,AC,2,2,2,3,x,AC,2,CD,2,AD,2,ACD,90,BAC,ACD,90,CAD,30,ACH,60,ECF,60,HCF,ACE,ACE,HCF,2,AE,2,FH,類型,3,平移旋轉(zhuǎn)操作探

58、究型問題,例,3,數(shù)學活動課上,某學習小組對有一內(nèi)角為,120,的平行四邊形,ABCD,BAD,120,進行探究,將一塊含,60,角的直角三角板如圖,Z4,13,放置在平行四邊形,ABCD,所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),且,60,角的頂點始終與點,C,重合,較短,的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段,AB,AD,于點,E,F,不包括線段的端點,3,深入探究,如圖,若,AD,3,AB,探究得,3,的值為常數(shù),t,則,t,圖,Z4,13,類型,3,平移旋轉(zhuǎn)操作探究型問題,3,如圖,作,CN,AD,于,N,CM,BA,于,M,CM,與,AD,交于點,H,ECF,EAF,180,AEC,AFC,180,AFC,CF

59、N,180,CFN,AEC,M,CNF,90,CFN,CEM,AB,CM=AD,CN,AD,3,AB,CM,3,CN,1,3,設,CN=a,FN=b,則,CM,3,a,EM,3,b,MAH,60,M,90,AHM,CHN,30,HC,2,a,HM=a,HN,3,a,AM,3,3,a,AH,2,3,3,a,AC,2,2,2,21,3,a,AE,3,AF,EM-AM,3,AH+HN-FN,EM-AM,3,AH,3,HN,3,FN,3,AH,3,HN-AM,14,3,3,a,3,14,3,3,2,21,3,7,故答案為,7,類型,3,平移旋轉(zhuǎn)操作探究型問題,針,對,訓,練,1,2018,廣東,已知,Rt,OAB,OAB,90,AB