中國(guó)石油大學(xué)計(jì)算方法模擬試題

1、.1.計(jì)算方法實(shí)際計(jì)算時(shí)，由于受計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)限制而導(dǎo)致的誤差稱為 舍入誤差 。2.x*=1.1021是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，有 5 位有效數(shù)字，相對(duì)誤差限為 0.5*10-4 。3.利用二分法求方程1-x-sinx=0在0,1內(nèi)的根要二分 15 次。（e0.5*10-4）4.寫出用Newton法建立求的迭代公式 xk+1=(xk2+b)/2xk 。5.使用矩陣分解法求解線性方程組時(shí)，平方根法適用于 系數(shù)矩陣為對(duì)稱正定矩陣的方程組 ，追趕法適用于 系數(shù)矩陣為三對(duì)角陣的方程組 。6.設(shè)線性方程組Ax=b，為，則|A|2= 14.933 ,Cond(A)為 289 ，若右端向量有擾動(dòng)db=(0.0

2、1,-0.01)T，則解的相對(duì)誤差限為 2.89 。7.求解數(shù)值積分的Simpson公式的代數(shù)精度為： 3 ，若將積分區(qū)間n等分，步長(zhǎng)為h, 則復(fù)化Simpson公式的截?cái)嗾`差為h的幾階無(wú)窮小,即 O(h ？ 4 )8.應(yīng)用龍貝格求積公式求積分，其整個(gè)計(jì)算過程的特點(diǎn)是：將積分區(qū)間逐次分半，并將每一公式先后兩次的計(jì)算結(jié)果按一定線性組合構(gòu)成新的精度較高近似值。9.常微分方程初值問題的數(shù)值解法分為單步和多步，顯式和隱式，下列方法屬于哪一類？龍格-庫(kù)塔法： 單步、顯式 ，阿當(dāng)姆斯內(nèi)插公式： 多步、隱式 。10.若s(x)=，是以0,1,2為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，則b= -2 ，c= 3 。得分二、解答題

3、（24分，每題6分）1.看書上或課件定義2.-1 4 22 -3 105 2 1x1x2x3598對(duì)于方程組試構(gòu)造一收斂的高斯-賽德爾迭代格式，并說明收斂理由。5 2 1-1 4 22 -3 10x1x2x3859解：將方程組變換為：系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，則方程組存在收斂的高斯-賽德爾迭代格式。把方程組等價(jià)變形為：收斂的高斯-賽德爾迭代格式為：3.以線性擬合為例簡(jiǎn)述最小二乘原理。答：設(shè)近似函數(shù)為y=a+bx，R=。根據(jù)極值理論，要使R達(dá)到最小，必有：，由方程組可以解出a，b的值，從而得到擬和曲線的表達(dá)式。4.確定下列求積公式的常數(shù)a，使其代數(shù)精度盡量高，并判定其具有的代數(shù)精度。 解：當(dāng)f(

4、x)=1時(shí)：當(dāng)f(x)=x時(shí)：當(dāng)f(x)=x2時(shí)：，解得：a=1/12當(dāng)f(x)=x3時(shí)：當(dāng)f(x)=x4時(shí)：說明所求求積公式具有三次代數(shù)精度。得分三、證明題（16分，每題8分）1.若f(x)=(x-x0)(x-x1).(x-xn)，xi互異，證明當(dāng)k=n+1時(shí)fx0,x1,.,xk=1。證明：由差商性質(zhì)：當(dāng)k=n時(shí)=當(dāng)k=n+1時(shí)= 0 + 2.證明對(duì)于牛頓-科特斯求積公式的科特斯系數(shù)有。證明：由牛頓-科特斯求積公式： 設(shè)f(x)=1則=0。 所以：，即： 得分四、計(jì)算題（26分）1.（10分）給出sinx在0.4,0.7的數(shù)值表x0.40.50.60.7sinx0.389 420.479

5、430.564 640.644 22如果使用二次插值求sin0.63891的近似值，問如何選取結(jié)點(diǎn)，才使其近似值的誤差較小？并求該近似值，小數(shù)點(diǎn)后保留5位數(shù)字。（注意：拉格朗日插值與牛頓插值兩種方法任選，若采用牛頓插值，構(gòu)造出差商表）解：應(yīng)選三個(gè)節(jié)點(diǎn)，使截?cái)嗾`差|R2(x)|=|f(3)(x)|(x-x0)(x-x1)(x-x2)|盡量小。故最靠近0.63891的三個(gè)節(jié)點(diǎn)一定滿足要求。顯然，取0.5,0.6,0.7。（1）采用拉格朗日插值：L2(x) = = 所以：sin0.63891 L2(0.63891)=0.59627（2）采用牛頓差值：xiyi一階差商二階差商0.50.479 430.

6、60.564 640.85210.70.644 220.7958-0.2815N2(x) = 0.479 43 + 0.8521(x-0.5) - 0.2815(x-0.5)(x-0.6)所以sin0.63891 N2(0.63891) = 0.479 43 + 0.8521*(0.63891-0.5) - 0.2815*(0.63891-0.5)*( 0.63891-0.6)=0.479 43 + 0.8521*0.13891 - 0.2815*0.13891*0.03891=0.479 43 + 0.11837 - 0.00152=0.596282.（8分）設(shè)max|f(x)|=,x2,8

7、，用復(fù)化梯形公式計(jì)算的近似值時(shí)，為使截?cái)嗾`差的絕對(duì)值不超過，至少應(yīng)將2,8分為多少等份？解：用復(fù)化梯形公式，截?cái)嗾`差：Rn(f) = 因?yàn)閙ax|f(x)|=所以| Rn(f) |=671所以至少分為671等份。3.（8分）用歐拉預(yù)報(bào)-校正法求初值問題在x=0.3，0.6處的數(shù)值解，步長(zhǎng)h=0.3，小數(shù)點(diǎn)后保留5位數(shù)字。解：由預(yù)報(bào)-校正公式有： h=0.3,n=0,1,2,.利用上述公式，及y(0)=0得：y(0.3)y1=0.3138y(0.6) y2=0.69026一.填空k1已知=3.1415926若其近似值的絕對(duì)誤差限為0.510-5, 則該近似值是什么？ 2、對(duì)于充分接近90度的x,

8、 為不損失有效數(shù)字，應(yīng)對(duì)公式1- sin(x) 做何變化？ 3、對(duì)于不動(dòng)點(diǎn)迭代Xk+1=(X k) , 若在不動(dòng)點(diǎn)x*滿足(x*)0，則該迭代格式是幾階收斂的 4、牛頓迭代法的特點(diǎn)是什么 ？ 對(duì)于單根，它是幾階收斂的？ 5、關(guān)于線形方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù) a、 反映絕對(duì)誤差放大倍數(shù)b、 反映相對(duì)誤差放大倍數(shù)c、 條件數(shù)越大，方程組越呈“良”態(tài)6、寫出兩種非線形方程的解法 7、追趕法適合解系數(shù)矩陣為 的方程組8、設(shè)xi (i=0，1,2,3，4)為互異結(jié)點(diǎn) ，li(x)為對(duì)應(yīng)的插值基函數(shù)則：= = 9、什么是三次樣條插值函數(shù)？，寫出三個(gè)要點(diǎn)10、A= 1 a ,當(dāng)a=，A可做T分解， 1 2其中

9、的元素滿足11、向量X=（x1,x2,x3）T , 則 | x1+2x2|+| x1+x3| 是不是一種向量范數(shù)？ 二解答：1、 當(dāng)A有擾動(dòng)A和b有擾動(dòng)b時(shí)，如何用矩陣A的條件數(shù)去估計(jì)方程組的相對(duì)誤差|x| / |x|?2寫出gauss列主元的算法描述三、解方程組已知方程組 Ax=b , 其中A= 1 2 b= 1 0.3 1 2(1) 寫出解此方程組的Jacobi迭代公式，討論用Jacobi迭代解此方程組的收斂性(2) 寫出解此方程組的Gauss-Seidel迭代公式，討論用Gauss-Seidel迭代解此方程組的收斂性四求形如 y=ae bx ( a, b 為常數(shù)，且a0 ) 的經(jīng)驗(yàn)公式，

10、使它能和下表數(shù)據(jù)相擬合：xi1.001.251.501.752.00yi5.105.796.537.458.46已知對(duì)數(shù)表x5.105.796.537.458.46lnx1.631.761.882.012.12五、已知函數(shù)表：x1246y0311231、 構(gòu)造差商表，寫出Newton插值多項(xiàng)式2、 寫出Laglanre插值多項(xiàng)式3、 寫出該插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)六、 設(shè) f (x) =g(x)h(x) 證明 ： f x0 , x1 = g(x0) hx0 , x1 + g x0 ,x1 h(x1)七、用最小二乘法解矛盾方程組 2x + 3y = 6x + y = 22x + y = 42補(bǔ)充Newton迭代的大范圍收斂性定理，并完成所給問題（8分）（1）Newton迭代收斂性定理如下：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上二階導(dǎo)數(shù)存在，且對(duì)于xa,b滿足：則Newton迭代法收斂于f(x)=0在a,b上的唯一根。（2）說明該定理每個(gè)條件的作用（3）圖示Newton迭代法的幾何意義（4）推導(dǎo)用Newton迭代法求正數(shù)a的平方根的迭代格式2補(bǔ)充Newton迭代的大范圍收斂性定理，并完成所給問題（8分）（1）Newton迭代收斂性定理如下：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上二階導(dǎo)數(shù)存在，且對(duì)于xa,b滿足：f(a)f(b)0（2分）則Newton