高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列 2.1 數(shù)列 蘇教版必修5

1、2.1數(shù)列,目標(biāo)導(dǎo)航,預(yù)習(xí)引導(dǎo),目標(biāo)導(dǎo)航,預(yù)習(xí)引導(dǎo),1.數(shù)列的概念及分類 (1)數(shù)列的有關(guān)概念 數(shù)列的定義:按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng). 數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a2,a3,an,簡(jiǎn)記為an,其中a1稱為數(shù)列an的第1項(xiàng)(或稱為首項(xiàng)),a2稱為第2項(xiàng),an稱為第n項(xiàng).an是數(shù)列的第n項(xiàng)叫做數(shù)列的通項(xiàng). (2)數(shù)列的分類:按數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是否有限,分為有窮數(shù)列和 無窮數(shù)列,項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列,項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做 無窮數(shù)列. 預(yù)習(xí)交流1 1,2,3,4,5和5,4,3,2,1是相同數(shù)列嗎? 提示:不是,數(shù)列具有順序性,目標(biāo)導(dǎo)航,預(yù)習(xí)引導(dǎo),2.數(shù)列與函

2、數(shù)的關(guān)系 在數(shù)列an中,對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n(或n1,2,k),都有一個(gè)數(shù)an與之對(duì)應(yīng),因此,數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集1,2,k)為定義域的函數(shù)an=f(n),當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí),所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.反過來,對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,)有意義,那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(1),f(2),f(3),f(n),. 預(yù)習(xí)交流2 為什么說數(shù)列是一類特殊的函數(shù)? 提示:數(shù)列 函數(shù). 即數(shù)列是一種特殊的函數(shù),數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式,目標(biāo)導(dǎo)航,預(yù)習(xí)引導(dǎo),3.數(shù)列的表示 數(shù)列可以用通項(xiàng)公式來描述,也可以通過列表或圖象來表示.一般地,如果

3、數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.數(shù)列用圖象表示,可以以序號(hào)n為橫坐標(biāo),相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo),描點(diǎn)畫圖來表示一個(gè)數(shù)列,數(shù)列的圖象是一系列孤立的點(diǎn),從數(shù)列的圖象表示可以直觀地看出數(shù)列的變化情況. 預(yù)習(xí)交流3 an與an是否為同一概念? 提示:an與an是不同的概念.an表示數(shù)列a1,a2,a3,an,而an僅表示數(shù)列an的第n項(xiàng),目標(biāo)導(dǎo)航,預(yù)習(xí)引導(dǎo),預(yù)習(xí)交流4 (1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式 ,那么這個(gè)數(shù)列的第5項(xiàng)a5=. (2)下列說法正確的是(填序號(hào)). 同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可能重復(fù)出現(xiàn); 數(shù)列的通項(xiàng)公式是定義域?yàn)檎麛?shù)集N*的函數(shù); 任何數(shù)列的通

4、項(xiàng)公式都存在; 數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的. (3)數(shù)列1,2,4,8,16,32,的一個(gè)通項(xiàng)公式an=. 提示:(1) (2)(3)2n-1,一,二,三,一、根據(jù)通項(xiàng)公式求數(shù)列的項(xiàng) 活動(dòng)與探究 例1已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3n2-28n. (1)寫出數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng); (2)-49是否是該數(shù)列的一項(xiàng)?如果是,是哪一項(xiàng)?68是否是該數(shù)列的一項(xiàng)呢? 思路分析:(1)令n=4,n=6,分別代入通項(xiàng)公式,即可求得a4,a6.(2)令an=-49和68,求得n值,若nN*,則是數(shù)列的項(xiàng),否則不是該數(shù)列的項(xiàng),一,二,三,一,二,三,一,二,三,一,二,三,名師點(diǎn)津 1.數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)a

5、n與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系,只要用序號(hào)代替公式中的n,便可以求出相應(yīng)的各項(xiàng),實(shí)際上相當(dāng)于已知函數(shù)的定義域和解析式,求函數(shù)值. 2.數(shù)列的通項(xiàng)公式是項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n的等量關(guān)系式.從函數(shù)的思想看,就是函數(shù)值an與自變量n的等量關(guān)系式.利用通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)的問題,從函數(shù)的觀點(diǎn)看就是已知函數(shù)解析式求函數(shù)值的問題.因此,用函數(shù)的思想解決數(shù)列問題可使問題變得更簡(jiǎn)單,一,二,三,思路分析:從前幾項(xiàng)中觀察出一個(gè)項(xiàng)與序號(hào)之間的規(guī)律,用一個(gè)式子表達(dá)出來即可,一,二,三,一,二,三,一,二,三,2.寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,一,二,三,一,二,三,名師點(diǎn)津 1.用觀察歸納法寫出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,體現(xiàn)了由特殊

6、到一般的思維規(guī)律,具體可參考以下幾個(gè)思路: (1)先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu),如都化成分?jǐn)?shù)、根式等. (2)分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分,探索變化部分的規(guī)律與對(duì)應(yīng)序號(hào)間的關(guān)系式. (3)對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對(duì)值,再乘以(-1)k處理符號(hào). (4)對(duì)于周期性出現(xiàn)的數(shù)列,可考慮拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列和的形式,或者利用周期函數(shù),如三角函數(shù)等,一,二,三,2.熟記一些基本數(shù)列的通項(xiàng)公式,如: (1)數(shù)列-1,1,-1,1,的通項(xiàng)公式是an=(-1)n; (2)數(shù)列1,2,3,4,的通項(xiàng)公式是an=n; (3)數(shù)列1,3,5,7,的通項(xiàng)公式是an=2n-1; (4)數(shù)列2,4,6,8,的通項(xiàng)公式是

7、an=2n; (5)數(shù)列1,2,4,8,的通項(xiàng)公式是an=2n-1; (6)數(shù)列1,4,9,16,的通項(xiàng)公式是an=n2,一,二,三,思路分析:觀察得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,判斷an與an+1之間的關(guān)系,用作差法,一,二,三,遷移與應(yīng)用 1.數(shù)列-2n2+29n+3中最大項(xiàng)的值是. 答案:108 解析:由于an=-2n2+29n+3,一,二,三,一,二,三,名師點(diǎn)津 數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間構(gòu)成特殊的函數(shù)關(guān)系,數(shù)列的通項(xiàng)公式就是函數(shù)的解析式,因此用函數(shù)的思想方法去解決數(shù)列問題,同時(shí)要注意函數(shù)的定義域. 數(shù)列中求數(shù)列最大(小)項(xiàng)的問題是常見題目,就是用函數(shù)的思想求函數(shù)的最值問題,可利用函數(shù)求最值的方法求數(shù)列

8、中的最大(小)項(xiàng)問題,如圖象法等,可使問題簡(jiǎn)單化. 數(shù)列中求數(shù)列的單調(diào)性問題也是常見題目,就是用函數(shù)的思想求函數(shù)的單調(diào)性問題,可利用函數(shù)單調(diào)性的定義求數(shù)列的單調(diào)性,就使問題函數(shù)化了. 總之,在函數(shù)中研究的函數(shù)性質(zhì)在數(shù)列中都有可能利用到,利用函數(shù)的思想解決數(shù)列的有關(guān)問題可達(dá)到事半功倍的效果,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,2.已知數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系如下表: 則a+b=. 答案:15 解析:由表可知,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí),an=n,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí),an=2n.則a=5,b=10,所以a+b=15,2,3,4,5,1,6,3.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,x,34,中,x的值是. 答案:21 解析:觀察數(shù)列中的前有限項(xiàng),可發(fā)現(xiàn)規(guī)律: 1+1=2,1+2=3,2+3=5,8+13=x=21,13+21=34,x=21,2,3,4,5,1,6,4.數(shù)列2,22,222,2 222,的一個(gè)