仿射變換在初等幾何中的應(yīng)用三稿

1、仿射變換在初等幾何中的應(yīng)用摘要：仿射變換，即平行投影變換，是幾何學(xué)中的一個(gè)重要變換，是從運(yùn)動(dòng)變換過(guò)渡到射 影變換的橋梁。在初等幾何中，仿射圖形經(jīng)過(guò)平面仿射變換，可以由對(duì)特殊幾何圖形的證 明，得出對(duì)一般幾何圖形的證明。而且，根據(jù)仿射變換的性質(zhì)，可以把特殊圖形的命題推 廣到一般圖形，從而達(dá)到事半功倍的效果。本文將探討應(yīng)用仿射變換中的仿射不變性質(zhì)與 仿射不變量來(lái)解決一些初等幾何問(wèn)題。關(guān)鍵詞：仿射變換；仿射不變性；仿射圖形；初等幾何問(wèn)題。2. 仿射變換基本概念及有關(guān)性質(zhì) 2.1定義 設(shè)同一平面內(nèi)有n條直線ai，a2，a3，a.，如圖2.1，人，T?，T3，人J順的點(diǎn)建立了次表示ai到a2， a2到a3

2、， a.到a.的透視仿射，經(jīng)過(guò)這一串平行射影，使 4上的點(diǎn)與a.上對(duì)應(yīng)，稱為a到an的仿射或仿射變換T=TnTn/丁2不，T稱為T(mén)，T2,T3，Tn丄按這個(gè)順序的乘積。T(A)= TnTn 2 T2 Ti (A) =Tn/T2(A) = uA“ , T(B) = B“等等d6圖2.1仿射變換的代數(shù)表示，即，其中ai1 ai2ai2 a22x=aiix +ai2 y + ai3 y =a2ix +a22 y + a23定義2.2圖形經(jīng)過(guò)任何仿射變換后都不變的性質(zhì) （量），稱為圖形的仿射性質(zhì)（仿射不變量）。（1）仿射變換保持同素性;（2）仿射變換保持結(jié)合性；（3）仿射變換保持共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)比不變;定

3、義2.3 設(shè)A，B，C為共線三點(diǎn)，這三點(diǎn)的簡(jiǎn)比（ABC 定義為下述有向線段的比：（ABC ）=竺BC其中AC，BC是有向線段AC，BC的代數(shù)長(zhǎng)，A，B叫基點(diǎn)，C叫分點(diǎn)。當(dāng)C在A , B之間時(shí)，（ABC FO；當(dāng)C不在A , B之間時(shí)，（ABC pO;當(dāng)C與A重合時(shí)，（ABC ）=0;當(dāng)C與B重合時(shí)，（ABC不存在;特別地當(dāng)C為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，（ABC）二-1。2.2仿射性質(zhì)及仿射不變量定理兩條平行直線經(jīng)仿射變換后仍變?yōu)閮蓷l平行直線。推論兩條相交直線經(jīng)仿射變換后仍變成兩相交直線。推論共點(diǎn)的直線經(jīng)仿射變換后仍變?yōu)楣颤c(diǎn)直線。定理兩條平行線段之比是仿射不變量推論一直線上兩線段之比是仿射不變量定理兩封

4、閉圖形（如三角形、平行四邊形、橢圓等）面積之比是仿射不變量。3. 仿射變換在初等幾何中的應(yīng)用根據(jù)仿射變換的性質(zhì)可知，通過(guò)特殊仿射變換可將某些一般圖形變?yōu)樘厥鈭D形，如可 將任何三角形變成正三角形，平行四邊形變?yōu)檎叫位蜷L(zhǎng)方形，梯形變?yōu)榈妊菪位蛑苯?梯形。因此，對(duì)于一個(gè)僅涉及仿射性質(zhì)的初等幾何命題， 如果能證明它在特殊圖形中成立, 則在仿射變換下，這個(gè)命題對(duì)于相應(yīng)地一般圖形也應(yīng)成立。利用仿射變換可以解決許多初等幾何問(wèn)題，下面給出它在以下幾個(gè)方面的應(yīng)用。3.1平行投影平行投影是仿射變換中最基本、最簡(jiǎn)單的一類。因此平行投影變換具有仿射變換中的一切性質(zhì)。解這類題的關(guān)鍵是選定平行投影方向,應(yīng)用平行線段之

5、比是仿射不變量。例1 P是 MBC內(nèi)任一點(diǎn)，連結(jié) AP、BP、CP并延長(zhǎng)分別交對(duì)邊于D、E、F。求證：PD+E+fF=1. AD BE CFC證明：如圖1，分別沿AB和AC方向作平行投影。P 7 P，、P 7 P由仿射變換保簡(jiǎn)單比不變得，PD PD DPAD BD DC，所以竺=墨PFAD BCBPBE BC CF BCPP +P C +BP二1 . AD BE CF BC BC BC3.2三角形仿射等價(jià)性因?yàn)槿我蝗切慰梢越?jīng)過(guò)平行投影變成正三角形。因此，如果我們要證明一個(gè)有關(guān)三 角形的命題，只要這個(gè)命題的條件和結(jié)論都是圖形的仿射性質(zhì)，那么只要證明命題對(duì)正三 角形成立，便可斷言命題對(duì)任意三角形

6、也成立。而正三角形是最特殊的三角形，它有很多 特殊的性質(zhì)可以利用，證明起來(lái)要容易得多。例2在MBC的中線AD上任取一點(diǎn)P，連接BP、CP，并延長(zhǎng)BP交AC于E，延長(zhǎng)CP 交AB于F，求證：EF / BC .E 、3.3C圖2證明：如圖2,作仿射變換T,使得從BC對(duì)應(yīng)正MBC-,由仿射性質(zhì)可知，點(diǎn)D、P、F相應(yīng)地對(duì)應(yīng)D P，、E F 且AD 為正的中線。 在正 MBC沖AD乜是BC邊上的高，且B，、P、F到BC的距離相等，則EFM BC ,由于平行性是仿射不變性，因此，在 MBC中EF /證明有關(guān)平行四邊形仿射性質(zhì)的實(shí)例任一平行四邊形均可以經(jīng)過(guò)特殊平行投影變成正方形,E，與C P、F，關(guān)于AD對(duì)

7、稱,BC.因此，若想證明一個(gè)有關(guān)平行四邊形的命題，只要這個(gè)命題的條件和結(jié)論都是圖形的仿射性質(zhì)，那么只要證明相應(yīng)命題 對(duì)正方形成立即可。例3已知在平行四邊形 ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在AD 上, AF =丄DF , EF交AC2于G，求證：AG二1 AC5PEB證明：如圖3,作仿射變換f，使得，平行四邊形ABCD對(duì)應(yīng)正方形ABcD，則由仿 射性質(zhì)可知，點(diǎn)E、F、G分別對(duì)應(yīng)E、F、G ，且E是AD的中點(diǎn)，AL=JdL.2在正方形ABCD沖，取CD 的中點(diǎn)P，過(guò)B 、D 、P作EF的平行線，分別交 AC于點(diǎn)H M，、N，。由平面幾何知識(shí)易證，AG，=1AC-，5由于簡(jiǎn)比是仿射不變量，所以在平行

8、四邊形 ABCD中，AG=AC53.4證明有關(guān)梯形仿射性質(zhì)的實(shí)例任一梯形均可以經(jīng)過(guò)平行投影變成等腰梯形，若想證明一個(gè)有關(guān)梯形的命題，只要這 個(gè)命題的條件和結(jié)論都是圖形的仿射性質(zhì)，那么只要證明相應(yīng)命題對(duì)等腰梯形成立即可。例4在梯形 ABCD中，AD / BC ,N分別為AD、BC的中點(diǎn)，對(duì)角線AC與BD交于E點(diǎn)，腰AB與CD交于F點(diǎn)，求證:CN、E、F四點(diǎn)共線。C證明：如圖4,作仿射變換g ,使梯形ABCD對(duì)應(yīng)等腰梯形ABCD，則由仿射性質(zhì)可知，點(diǎn)M、N、E、F依次對(duì)應(yīng)M 、N 、E、F，其中M 、N 分別為AD與BC的中點(diǎn)。在等腰梯形ABCD中，由對(duì)稱性可知，MN 是對(duì)稱軸，E為對(duì)稱直線AC與BD的交點(diǎn)，F(xiàn)為對(duì)稱直線AB與CD 的交點(diǎn)，因此，E、F必在直線MN 上，即E、F 、M 、N四點(diǎn)共線。由于結(jié)合性是仿射不變量，所以在梯形ABCD中M、N、E、F四點(diǎn)共線。4.小結(jié)以上內(nèi)容是對(duì)仿射變換在初等幾何應(yīng)用的簡(jiǎn)單總結(jié)，當(dāng)然有些題有其他做法，但是應(yīng)用仿射變換解決起來(lái)更簡(jiǎn)捷，方便。從例題可以總結(jié)得出應(yīng)用仿射變換中的仿射不變性質(zhì)與仿射不變量解題的步驟可概括如下： 判斷求解的問(wèn)題是否能利用仿射不變性質(zhì)，仿射不變量求解，一般涉及到點(diǎn)共直線，直線共點(diǎn)，線段比，面積比等一類問(wèn)題皆可應(yīng)用仿射變換解題