傅立葉積分變換

1、第一章傅里葉積分變換積分變換簡(jiǎn)介所謂積分變換，實(shí)際上就是通過(guò)積分運(yùn)算， 把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的一種 變換.這類(lèi)積分一般要含有參變量，具體形式可寫(xiě)為：b記為k(t,T)f(tdt、F(t)這里f (t )是要變換的函數(shù)，稱(chēng)為原像函數(shù)；F(t )是變換后的函數(shù)，稱(chēng)為像函數(shù)；k(t,T )是一個(gè)二元函數(shù)，稱(chēng)為積分變換核.數(shù)學(xué)中經(jīng)常利用某種運(yùn)算先把復(fù)雜問(wèn)題變?yōu)楸容^簡(jiǎn)單的問(wèn)題，求解后，再求其逆運(yùn)算就可得到原問(wèn)題的解.女口，初等數(shù)學(xué)中，曾經(jīng)利用取對(duì)數(shù)將數(shù)的積、商運(yùn)算化為較簡(jiǎn)單的和、 差運(yùn)算；再如，高等數(shù)學(xué)中的代數(shù)變換，解析幾何中的坐標(biāo)變換， 復(fù)變函數(shù)中的保角變換，其解決問(wèn)題的思路都屬于這種情況.基于這

2、種思想，便產(chǎn)生了積分變換.其主要體現(xiàn)在：數(shù)學(xué) 上：求解方程的重要工具；能實(shí)現(xiàn)卷積與普通乘積之間的互相轉(zhuǎn)化.工程上：是頻譜分析、信號(hào)分析、線性系統(tǒng)分析的重要工具. 1.1傅里葉級(jí)數(shù)與積分1.傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式在高等數(shù)學(xué)中有下列定理：定理1.1設(shè)fT(t )是以T(00.這個(gè)函數(shù)稱(chēng)F 嚴(yán)dt= We%t=忙2P -io這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換.根據(jù)積分表達(dá)式的定義，有亠U (卅心盤(pán)J仁e%注意到e皿=cosBt +sin豹t，上式可得f(t) =2兀1產(chǎn)i(cosisin譏國(guó)=丄嚴(yán)co嘗+嚴(yán)加KP2 +2兀 bP2 +2因此costt +sin,0 2do =P2P20, t0 -鐘形脈沖函

3、數(shù).解：根據(jù)定義，有F(B)= J f (t edt =Aeedt這里利用了以下結(jié)果:2.傅里葉變換的物理意義如果仔細(xì)分析周期函數(shù)和非周期函數(shù)的傅氏積分表達(dá)式處.1 -befT(t )= Z Cnein時(shí)，f (t ) = f F e%國(guó), n22ir W以及Cn和F (豹的表達(dá)式1 T.七cCn =-J2TfT(teFdt(n=0,1,2,),F )= f f(te dt,ILfjI 2由此引出以下術(shù)語(yǔ)：在頻譜分析中，傅氏變換F )又稱(chēng)為f(t)的頻譜函數(shù)，而它的模I F)1稱(chēng)為f (t )的振幅頻譜(亦簡(jiǎn)稱(chēng)為譜).由于是連續(xù)變化的,我們稱(chēng)之為連續(xù)頻譜 因此對(duì)一個(gè)時(shí)間函數(shù)作傅氏變換 ,就是求

4、這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜.顯然，振幅函數(shù)|Ffe )|是角頻率的偶函數(shù),即|F )| =|F()|,| F )|的輻角argF )稱(chēng)為相角頻譜,顯然-beJ f (t hin 肌dt arg F ) = arctan J f(tCos 肌dt相角頻譜argF(i)是的奇函數(shù).E, t 二,的頻譜圖.例3求單個(gè)矩形脈沖函數(shù) f (t解：F(t edt =aFa Eedt 上e iO2E . asin尬2頻譜為|F )1n竺|. 2請(qǐng)畫(huà)出其頻譜圖.更深入詳細(xì)的理論會(huì)在有關(guān)專(zhuān)業(yè)課以上術(shù)語(yǔ)初步揭示了傅氏變換在頻譜分析中的應(yīng)用, 中詳細(xì)介紹！ 1.3單位脈沖函數(shù)在物理和工程技術(shù)中，有許多物理、力學(xué)現(xiàn)象具有脈沖

5、性質(zhì).它反映出除了連續(xù)分布的量以外，還有集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量，例如沖力、脈沖電壓、點(diǎn)電荷、質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等等.研究此類(lèi)問(wèn)題需要引入一個(gè)新的函數(shù)，把這種集中的量與連續(xù)分布的量來(lái)統(tǒng)一處理。單位脈沖函數(shù)，又稱(chēng)狄拉克(Dirac)函數(shù)，簡(jiǎn)記為6函數(shù)，便是用來(lái)描述這種集中量分布的密度 函數(shù).下面我們通過(guò)兩個(gè)具體的例子，說(shuō)明這種函數(shù)引入的必要性.1在原來(lái)電流為零的電路中，某一瞬時(shí)(設(shè)為t =0)進(jìn)入一單位電量的脈沖，現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t)，以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù)，則q(tr，fo，2 0,t =0,，即q(t + At)-q(t)=Ijm dt I由于電流強(qiáng)度是電荷函數(shù)對(duì)時(shí)間的變化率ti

6、(t) M所以，當(dāng)tO時(shí)，i(t) =0;當(dāng)t=0時(shí)，由于q(t)不連續(xù)，從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下，q(t)在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的.如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù)，得.q(0+心t)-q(O)1i(0) =hm= lim(-)=處.，)WAtSAt這表明在通常意義下的函數(shù)類(lèi)中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度.為此，引進(jìn)一稱(chēng)為狄拉克(Dirac)的函數(shù).有了這種函數(shù)，對(duì)于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量，例如點(diǎn)電荷點(diǎn)源，集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等，就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.1單位脈沖函數(shù)的定義定義1如果函數(shù)6(t)稱(chēng)滿足i) 6(t) =0,(當(dāng) t HO 時(shí))

7、ii) f 6(tdt=1，或者6(tdt=1，其中I是含有t=0的任何一個(gè)區(qū)間，則稱(chēng)5(t)為6 函數(shù).更一般的情況下，如果函數(shù)滿足i) 5(ta) =0,(當(dāng) t Ha 時(shí))ii)廣5(t-adt=1，或者 3(tadt=1，其中I是含有t = a的任何一個(gè)區(qū)間,則稱(chēng)為6(t -a)函數(shù).在現(xiàn)實(shí)生活中，這種函數(shù)并不存在 的區(qū)域內(nèi)，所討論的問(wèn)題取非常的值；,它只是如下特殊規(guī)律的數(shù)學(xué)抽象；在某定點(diǎn)非常狹小 在這個(gè)領(lǐng)域之外，函數(shù)值處處為0.如函數(shù)6(t -a) = hb，a Ct ca + h;t a +h,則脈沖函數(shù)6(t-a)的極限為hmo5h(t -a) =5(t -a),而把6(t -a

8、)的積分理解為hdt凹匚5h(t-a)dt =特殊情況下，a = 0時(shí)有1、Oct Ch;6(t) =(ho, th,于是limo 6h(t)=6(t)chh 1”工Mdt珂忸備(t)dt=.ohdt =1.1的有向線段來(lái)一般工程上都稱(chēng)6一函數(shù)為單位脈沖函數(shù)，將6 函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于 表示，這線段的長(zhǎng)度表示 6一函數(shù)的積分值，稱(chēng)為6 函數(shù)的強(qiáng)度.下面我們推出6一函數(shù)的一個(gè)重要結(jié)果，稱(chēng)為6 函數(shù)的篩選性質(zhì)：若f (t為連續(xù)函數(shù)，則有oCJ 6(t)f(tdt= f(0).更一般情況，有廣6(t-a)f(t dt= f(a)其中f (t在t =a處連續(xù).由可以求出單位脈沖函數(shù)的傅氏變換.d(t-a

9、) 6(t -a)F戶Fte(t歸廣6(t=時(shí)|t1可見(jiàn)，單位脈沖函數(shù)6(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對(duì)；同理，6(t-a)和e七 亦構(gòu)成了一 個(gè)傅氏變換對(duì).同時(shí)，若F )=2頑 )時(shí)，則由傅氏逆變換得1 比1 oC.f (t)=二 JF e%=2頑 e%=ety1故1和2感 也構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì)。同理， 2感( -0)和e喘t亦構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì).需要指出的是，此處的廣義積分是按(1)式計(jì)算的，不是普通意義下的積分值，我們稱(chēng)這種傅氏變換為廣義的傅氏變換.根據(jù)傅氏積分公式，函數(shù)f(t)能取傅里葉積分變換的前提條件是它首先應(yīng)絕對(duì)可積即f (t dt 0,可得兀11(石)02,t cO;t A

10、O,1這就表明 一+頑佃)的傅氏變換為ieof (t )=u(t )，因此，u(t )和1一 + Jid(O )構(gòu)成了一個(gè)傅 ieo丄廣丄e%+ 2兀1 淬int ,f d兀0為了說(shuō)明f (t ) = u(t )，就必須計(jì)算積分 1氏變換對(duì)。所以單位躍階函數(shù)u(t )的積分表達(dá)式可以寫(xiě)成皿廣警心1，(5)例2求正弦函數(shù)f (t )=sin %t的傅氏變換.*解: Fbl/noMetJe dt=丄廣旭 9dt2i =2(C -O2i=皿fe (+磯)一 6 軌)1.即F sin斷t= i兀feg +0 )6 -o0卩.同理，可得Fcos肌t= i兀 fe +0 )+6 航 9注：我們介紹6函數(shù)，

11、主要是提供一個(gè)應(yīng)用工具，而不去追求數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)性 1. 4傅里葉變換的性質(zhì)為了能更好的用傅里葉變換這一工具解決各類(lèi)實(shí)際問(wèn)題，它的一些基本性質(zhì)必須熟練掌握.為了敘述方便起見(jiàn)，假定在這些性質(zhì)中，凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定 理中的條件，在證明這些性質(zhì)時(shí)，不再重述這些條件.1 線性性質(zhì)設(shè)F,卜F2 份別是fl(t卜f2(t )的傅氏變換，即Ffj (t)卜 Fj j1,2,(3.19)其中a,a2是兩個(gè)常數(shù)，則F a, ft )+a2 f2 (t )卜 a,F1 ()七2卩2 (co ).逆變換也具有類(lèi)似的性質(zhì)，請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的性質(zhì).2位移性質(zhì) 設(shè)Ff(ty=F9 )，則對(duì)于實(shí)常數(shù)to、豹0

12、有Fft t0 y =e站F )顯而易見(jiàn)，位移公式的作用是：知道了一個(gè)函數(shù)的變換，便可由此求出其位移函數(shù)的變換!同理可得 FF(B=0p=e0f(t)推論設(shè)F f (t 9 = F 9 )，則對(duì)于實(shí)常數(shù) ，有F f (t )cos時(shí)0t = 1 F 何 +eo0 )+ F (一% 9,F (t Sin%t = 2 F + 0)+F -00 9.提示：利用歐拉公式和位移性質(zhì)容易證明.3微分性質(zhì)如果f(t )在(-8, + 8)上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)，且當(dāng)tTf (t A0,則 F f (t P F f (t p.證明：根據(jù)定義，得=f (t e：-廣 f (tiit) edt =i Ff(

13、t y.般地，如果f(nXt 在 (-8, + 8)上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)，且當(dāng)tT比時(shí)，有f Htb* o(k =0,12，n-1)則 Ff (n Z=(ioo)nFf (tp.類(lèi)似地可推得象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:t4. 積分性質(zhì) 如果當(dāng)tT +處時(shí)，g(t )= f(tdtT 0,則-2CFj：f(tdt=lFf(ty.Mi(a5. 對(duì)稱(chēng)性質(zhì) 若Ff (t p=F )，則特別地，若f(t X禺函數(shù)，則FF(t9=2；if ).思考題：若 F f (t y = F )，問(wèn) ff (t y =?6.相似性質(zhì)若F f (t卜F ),則對(duì)于非零實(shí)常數(shù)a，有Ffat特別地，若 a = -1,則Ff(

14、t H=F(-稱(chēng)為翻轉(zhuǎn)性質(zhì).卷積是積分變換中的一個(gè)重要概念，這一運(yùn)算在實(shí)際問(wèn)題如線性系統(tǒng)分析中有著重要應(yīng)用.下面著重介紹卷積概念與卷積定理.1.卷積 定義設(shè)函數(shù)ft ) f2 (t )在整個(gè)數(shù)軸上有定義，則匚 f1(T )f2(t-T d稱(chēng)為函數(shù)fjt )與f2(t )的卷積，記為f,(t k f2(t ).即f1(t)M f2(tF 匚f1“ )f2(t-Td2.卷積的性質(zhì)2.1交換律 fl(t 卜 f2(t)= f2(t)* fl(t)2.2結(jié)合律fl(tHf2(tf3(t =fl(tHftpf3(t).2.3分配律fl(t片f2(t)十 f3(t =fl(t 護(hù)f2(t )+fl(t卜f

15、3(t).2.4卷積滿足如下不等式fl(t 卜 f2(t 口 f2(t 卜 |fl(ti.思考題：?jiǎn)杅(tH6(t) = ?例 1 設(shè) fjtj0,tvO,11,t3 0；解代入定義，計(jì)算積分c2吐)=t，求 f1(t)* f2(t).e , t 0.f1(t A f2(t Jf )f2(t T d =11 ”f2(t t Mt -T 0(1 eYdt=1 -e丄(t 0 .3.卷積定理卷積在積分變換中有著十分重要的的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在卷積定理上定理7.3設(shè)fjt )f2(t)滿足傅氏積分定理中的條件，記F fjtp = F ),Ff2(tp = F2 ),則Ffi(t 卜 f2(ty = Fi

16、 卜F2 ).證明：根據(jù)定義，有Ff1(tf2(t卜 口彳建廠:點(diǎn)e咽dt= 1)f2(t7 旳嚴(yán)dt=廣廣災(zāi)eJgf2(t - T e叫叫珈=口1“ e 坷 j：f2(t 7 嚴(yán)= Fig 卜F2 ).類(lèi)似地，可以證明1F fi(t )*f2(t y = Fi 片 F2(eo )2?？梢詫⒉惶菀子?jì)算的卷積運(yùn)算化為普通乘法，這就使得卷積在線性系統(tǒng)分析中成為特別有用的方法.例 2 若 f (t )=cos0t ut ),求 Ff (t y.解：法一，用卷積定理：1F f (t y = F fcos 0t b F u(t y2兀1 1兀6 (-% )+兀6(O +0 叫一 + 頑 g I, 11

17、=一6( -0一 + 6(05+ 6( -0 H 兀6 ()+ 6(0 +0兀6(05 2iI而由卷積定理，又有= 6( 0=佃?。〧二Fe如FIBI心=FF同理可得6包% *頑（）=兀5（切+ 0）由此，最終可得法二，用位移公式：, f e如+嚴(yán)Fft 卜申 _1 1 1=-+ 兀右( 一0 ) + 兀6 + o012i(d-%) 2乜0)0力例 3 若 f (t )=ecos%t 7(t )(P 0),求 Ff(t.解：因?yàn)槔?2 求解常微分方程y (X )a2y(x )= f(X ,般七y(x )= 0,)= 0,所以由位移公式Ff(t 卜FI=1 +2 P + i (時(shí) 一0 ) P

18、+ i(時(shí) +時(shí)0)傅里葉積分變換內(nèi)容小結(jié)一、概念、術(shù)語(yǔ)傅里葉積分變換（正變換，逆變換）；原象函數(shù)，象函數(shù)；5函數(shù)（單位脈沖函數(shù)）；卷積；頻譜函數(shù)；能量譜密度 *，相關(guān)函數(shù)*二、公式、定理傅里葉積分公式；5函數(shù)性質(zhì)；傅里葉積分變換性質(zhì)（線性，微分公式，積分公式，位移公式）卷積定理；三、基本運(yùn)算用定義直接求簡(jiǎn)單函數(shù)的傅里葉變換用積分變換的性質(zhì)、卷積定理并結(jié)合變換表間接求稍復(fù)雜些函數(shù)的變換 積分變換求解微分方程 1.6傅里葉變換的應(yīng)用首先可以用傅里葉變換求解微分積分方程，運(yùn)用傅氏變換的線性性質(zhì)，微分性質(zhì)以及積分性質(zhì)，可以把線性常系數(shù)微（積）分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，通過(guò)解代數(shù)方程與求傅氏逆變換，就可以

19、得到原方程的解.另外，傅氏變換還可以用來(lái)求解一些數(shù)學(xué)物理方程.例1求解微分積分方程tax (t )+ bx(t )+ c J XW M T = f (t)L 其中一處ct +=&a,b,c均為常數(shù).解：設(shè) X )= F x(t 卩,Fg )= F f (t y,則caiX )+bX )+ xg )=F )， |03X嚴(yán))、丄丨c 1b +i a I I 0 )一處 X 0,arCtg 1LC2 h，當(dāng) 1LC時(shí)2 co,如果將（7）式中的代以P ,便得傳遞函數(shù)U 出（P）U 入(P)1+LCp2+RCp(8)現(xiàn)在介紹用復(fù)數(shù)歐姆定律來(lái)求電路的頻率特性.若電路中某元件（如電阻R、電感L、或電容C

20、)的實(shí)電壓、實(shí)電路分別為 U = u0 cos(t +碼)、* = i0 cos(t+2),這里半1、2表示了 U與i*得位相情況,而U -uoeg神)，1 -ioe也)(9)叫做復(fù)電壓與復(fù)電流，其中u =ReU上=Rel 對(duì)于電阻 R,當(dāng)u=u0 cos(t +昭),i* = u = uocost + Wj，R R對(duì)于電容C ,當(dāng)U = U0 cos(t +巧)，則i* = C dU0 cost + 半J = c時(shí)u0 singt + Wj =Cu0 cost + % +二)，dt對(duì)于電感L ,當(dāng)i*=i0cos(時(shí)t +2),則u=Ldu0co譽(yù)+2)一gi0singt+半2)= Cu0C

21、OSt Zr 冷)，將上述用余弦函數(shù)表示的實(shí)電壓、實(shí)電流均表示成指數(shù)形式的復(fù)電壓、復(fù)電流R、L、C上的復(fù)阻抗,則分別得到er諸沖r=Zr,(10)U十尹勵(lì)I(lǐng) -uoe禪譜丸叫護(hù)恂U_ 1I - iC= Zc,(11)I=皿曲譜二god) = iL=ZL,(12)(13)以上三式中復(fù)電壓 U、復(fù)電流I、與復(fù)阻抗Z的關(guān)系式就稱(chēng)為復(fù)數(shù)歐姆定律 ，其中所求的 的復(fù)阻抗與用傅式變換求得的復(fù)阻抗表示式(4.3)完全一樣由此同樣可得 RLC串聯(lián)電路的頻率特性，如(4.7)式所示.U0如果輸入實(shí)電壓口入=UoCOS叭，則復(fù)電壓U入=u0eB,從(4.7)即得輸出復(fù)電壓U出=亍0 e鈿J(1-LC 2)2 +(

22、R8)2將上式取實(shí)部，便得輸出實(shí)電壓即圖5.2.1中電容C上的電壓的穩(wěn)態(tài)量(14)UoLCU 出+ RCU 出出出=U入,(15)將上式兩邊取實(shí)部，便得輸出電壓U出所滿足的微分方程LCu 出+ RCu 出+ u 出=u 入=u0coscot，(16)而(4.14)式所示電壓的穩(wěn)態(tài)量實(shí)際上是非齊次微分方程 的那一部分解(當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)，這種解將衰減接近于(16)的一個(gè)特解，0).略去了齊次方程其次，考慮一種最簡(jiǎn)單的低通濾波器，如圖2所示，當(dāng)輸入電壓 Un = u0 COSCO t時(shí),U 出(t) = J2詩(shī) cos t -單).7(1-LC ) +(RC)這里所說(shuō)電壓的穩(wěn)態(tài)量是指當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)后電壓

23、的近似值.,由,可得此外，從上述RLC串聯(lián)電路的頻率特性還可列出描述電路的微分方程(1-LC2+iRCo)U 出=U 入,2-L -LC U 出+ RCiU 出+U 出=U 入，所以輸出復(fù)電壓U出滿足復(fù)形式的微分方程1 + iRS1 1電感L上的阻抗為L(zhǎng)，電容C上的阻抗為 .當(dāng)頻率05較低時(shí)，g 小，而 大，因3C1此低頻率部分的信號(hào)較易通過(guò)L，不易通過(guò)C，當(dāng)頻率較高時(shí)，S 大，亠小，因此8高頻率部分的信號(hào)不易通過(guò)L，這樣通過(guò)負(fù)載電阻 R的主要是低頻信號(hào).這種特性也可從電路的頻率特性看出，以U入、U出分別表示輸入復(fù)電壓與輸出復(fù)電壓，而圖5.4.1并臂上的 復(fù)阻抗與串臂上的復(fù)阻抗分別為Zrc =

24、 ,ZrL =r +，+ i RC R又電路的總復(fù)阻抗為2r _R + r -RLC +i(rRC +L妙Z _ ZrL Z RC(17)根據(jù)復(fù)數(shù)歐姆定律，U入=ZI、U出=ZrcI ,因此圖541中電路的頻率特性為ZrcI -ZI1r 2 T 門(mén)1 + 一 LC 052 + 險(xiǎn) I rC + RV R丿了 2 JL2+(2 I rC + 丿 I R丿護(hù)=arctg(rC +丄j0,1 十丄-LCJg I R丿 j R 1+匚一 LC2 ji，1+丄一LCJcO.RI R由于U入=Uo岀，從上式可得輸出復(fù)電壓出r22!1 + _ _lc2K R+ oXrC J I勺2(18)而輸出實(shí)電壓的穩(wěn)態(tài)

25、量為u出(t) = ReU 出(19)Uof1 + 匚-Lg2 IR 丿心2COS t -半),從上式看出：當(dāng)很大時(shí)，U的振幅比輸入電壓的振幅U0小得多，而當(dāng)很小時(shí)，U 的出出u0振幅接近于 ，這也說(shuō)明了突2中所示的電路是一種低通濾波器.另外，從(17)式，有1+匚RI1計(jì)LC宀(rC詐JU廠U入，由此即可得到輸出電壓u出所滿足的微分方程rC + LuJ +1+ 口1R丿出1 R丿u出=U 入=u0 cos頭.LCu 出 ” +(20)在近代通訊中，下面介紹傅氏變換在無(wú)線電通訊中的某些應(yīng)用方式是借助于高頻電磁波在空間中進(jìn)行傳播，如短波無(wú)線電話就是這樣續(xù)信號(hào)或脈沖的調(diào)制和調(diào)解，而在數(shù)學(xué)理論上則要

26、使用復(fù)式分析的方法一種傳遞信號(hào)的重要，其中還要用到連.在 2例4中所述的調(diào)幅信號(hào)f(t)COSOSot就是對(duì)連續(xù)信號(hào) f(t)用較高頻率 磯的余弦波COSot進(jìn)行調(diào)制,而脈沖調(diào)制是用需要傳輸?shù)南⑿盘?hào)去調(diào)制一串矩形脈沖的某些參量(如幅值、相位等)隨消息信號(hào)的強(qiáng)弱而變化，以下，我們只討論脈沖調(diào)幅.為此，我們來(lái)敘述和證明時(shí)間抽樣定理 ：設(shè)f(t)是一個(gè)連續(xù)信號(hào)，其頻率不超過(guò) B赫茲，即其頻譜F()在B時(shí)為0,1f (t)可以由在時(shí)間上離散的、相互間隔為2BI】(n = 0, 1，2,樸1)完全確定，并且有l(wèi)2B丿f(t)= 2 f (丄卜inSBt-rnV2B )(21)為了導(dǎo)出(21)式，先對(duì)f(t)作傅式變換，有J f (t)eFdt,卜I 27! B,0, A 2兀 B，(22)對(duì)FW)在1 處穴f(t)=HLcF(oo)/gB上進(jìn)行以(23)T=4；iB為周期的開(kāi)拓，這樣就可將F (豹)在時(shí)，信號(hào)幅度衰減到 以下-又f0(t)的頻譜函數(shù)為 4B亠(29)F0)=2Bjo,B,其頻譜圖如圖3所示的矩形.又sin( 2；rBt m) fn(t)=2価-sin 2；! B ftn2BV 2B丿=f0300到3400赫茲之間，即其頻譜分布在一個(gè)