平面解析幾何考點(diǎn)測試47圓與方程

1、考點(diǎn)測試47圓與方程高考概覽5分或12分，中等難度高考在本考點(diǎn)中?？碱}型為選擇題、填空題、解答題，分值為考綱研讀1. 掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程2. 能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程 判斷兩圓的位置關(guān)系3. 能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題4. 初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想狂刷小題基礎(chǔ)練、基礎(chǔ)小題1.圓心在y軸上，半徑為1，且過點(diǎn)(1,2)的圓的方程為()2 2 2 2A. X+ (y 2) = 1 B . X+ (y + 2) = 12 2 2 2C. (x 1) + (y 3) = 1 D . x + (y 3) =

2、 1答案 A解析 設(shè)圓心坐標(biāo)為(0 , b),則由題意知7(0- 1 2+ (b 2$ = 1，解得b= 2,故圓的方 程為 x2 + (y 2)2 = 1.故選 A.2若點(diǎn)P(1,1)為圓C：(x 3)2+ y2= 9的弦MN勺中點(diǎn)，則弦MN所在直線的方程為()A. 2x+ y 3 = 0 B . x 2y+ 1 = 0C. x + 2y 3 = 0 D . 2x y 1 = 0答案 D解析 圓心q3,0) ,kPC= 1，則kMN= 2,所以弦MN所在直線的方程為y 1= 2(x 1), 即 2x y 1 = 0 .故選 D.3.圓 O： x2 + y2 2x= 0 與圓 Q: x2+ y

3、2 4y= 0 的位置關(guān)系是()A.相離B .相交C .外切D .內(nèi)切答案 B解析 圓O： X2+ y2 2x = 0的圓心為 Od,。)，半徑r1= 1 ;圓Q2: x2+ y2 4y= 0的圓 心為Q2(0,2)，半徑2= 2.由于1|OQ| =誦3，故兩圓相交.故選B.4.經(jīng)過三點(diǎn) A 1,0),耳3,0) , C(1,2)的圓的面積是()A. n B . 2 n C . 3 n D . 4 n答案 D所以AB為過A B, C三點(diǎn)的圓的直徑，且該圓的圓心坐標(biāo)為(1,0)，圓的半徑為2,解析 如圖，根據(jù) A, B, C三點(diǎn)的坐標(biāo)可以得出 AC= BC= 22, AB= 4,所以ACL BC

4、 所以圓 的面積為S= n R = n x2= 4 n .故選D.5. 對任意的實(shí)數(shù) k，直線y= kx-1與圓X2 + y2- 2x 2= 0的位置關(guān)系是(A相離B.相切C.相交D.以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能答案 Cy= kx 1 恒經(jīng)過點(diǎn) A：0， 1)，又 0+ ( 1) 2X0 2= 10,2 2y= kx 1 與圓 X+ y 2x 2 = 0 相交，故選 C.設(shè)圓的方程是x2+y2 + 2ax+ 2y + (a 1)2 = 0,若0a1，則原點(diǎn)與該圓的位置關(guān)系解析直線得點(diǎn)A在圓內(nèi),6.A.原點(diǎn)在圓上 B .原點(diǎn)在圓外C.原點(diǎn)在圓內(nèi) D .不確定答案 B. . 2 2 . - 2解析 將圓的

5、方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(X+ a) +(y+ 1) = 2a,因?yàn)?a0,所以原點(diǎn)在圓外.故選B.7.若圓X2+ y2= a2與圓x2+y2+ ay6= 0的公共弦長為2邊，則a的值為()B . 2 C . 1 D . 1A. 2答案解析立，可得設(shè)圓 X2 + y2 = a2 的圓心為 O 半徑 r = | a|，將 x2+ y2= a2與 x2+y2+ ay 6= 0 聯(lián) a2+ ay 6= 0，即公共弦所在的直線方程為a2 + ay 6= 0,原點(diǎn)0到直線a2+ ay6 =0的距離為6一一a a，根據(jù)勾股定理可得a2 = 3+ 寸，解得a= 2.故選B.&過點(diǎn)M1,2)的直線I與圓C(X 3)

6、2+ (y 4)2= 25交于A, B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)/ ACB最小時(shí)，直線I的方程是答案X + y 3= 0解析 由題意知，當(dāng)/ ACBt小時(shí)，圓心C(3,4)到直線I的距離達(dá)到最大，此時(shí)直線I4 21與直線CM垂直，又直線CM的斜率為口 = 1，所以直線1的斜率為-1=-1因此所求的直線l的方程是y 2 = (x 1)，即x + y 3= 0.二、咼考小題9 . （2018 全國卷川）直線x + y+ 2= 0分別與x軸，y軸交于A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（x2）2+ y2= 2上，則 ABF面積的取值范圍是（）A . 2,6 B . 4,8C.德，3炯D . 2羽,3羽答案 A解析直線X+

7、 y + 2 = 0分別與x軸，y軸交于A, B兩點(diǎn)，/ A 2,0) , B(0 , 2), 則|AB = 2眾.點(diǎn)P在圓(x 2)2 + y2 = 2上，圓心為(2,0) ,圓心到直線 x + y + 2 = 0的距離d1= |2+量2| =2/2,故點(diǎn)P到直線x+y + 2 = 0的距離d2的范圍為yf2,劉2，則S1 ABP= 2| AB| d2 =2d2 2,6，故選 A .10. （2018 北京高考）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cos 0 , sin 0 ）到直線x my2 = 0的距離.當(dāng)0 , m變化時(shí),d的最大值為（）A. 1答案2-I解析2 cos 0 + sin0

8、= 1,.P點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓，又x my-2 = 0表示過點(diǎn)（2,0）且斜率不為0的直線，如圖，可得點(diǎn)（一1,0）到直線x= 2的距離即為d的最大值.故選C.11. (2018 全國卷 I. 2 2)直線y= x + 1與圓X + y + 2y 3= 0交于A, B兩點(diǎn)，則| AB =答案222 2解析根據(jù)題意，圓的方程可化為x+（y+ 1） = 4,所以圓的圓心為（0， 1），且半徑是2,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以求得圓心到直線的距離d = T迄，所以|AB=2/4 2 = 2 邁.12 . （2018 江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，A為直線l : y = 2x上的第一

9、象限內(nèi)的點(diǎn)，B（5,0），以AB為直徑的圓C與直線I交于另一點(diǎn)D.若Rb- &= 0，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)3答案解析a + 5解法一：設(shè) A：a, 2a), a0,貝U,a,a+ 5圓 C的方程為x+ (y a)2a2,由 Sly= 2x,a+ 522 fa 5 2X丁 +(y a) = + a, AB- Cb= (5 a, 2a) _：- 32 a= a 2； 15 + 2a2 4a = 0, a = 3 或 a= 1,又a0,.a= 3,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.解法二：由題意易得/ BAD= 45設(shè)直線 DB的傾斜角為 0 ,貝U tan 0 = 2 ,. tan/ ABO= tan( 0 45 )

10、= 3,a kAB= tan / ABO= 3. AB 的方程為 y = 3(x 5),由廠呻5 得xa= 3. y=2x,13.（2016 全國卷川）已知直線l : mx+ y + 3m0與圓x2+ y2= 12交于A, B兩點(diǎn),過A, B分別作l的垂線與x軸交于C, D兩點(diǎn)若|AB = 2衍，則|CD =.答案 4解析 由題意可知直線I過定點(diǎn)（3, （3），該定點(diǎn)在圓X2 + y2= 12上，不妨設(shè)點(diǎn)A 3, W），由于|AB = 2羽，r = 23,所以圓心到直線 AB的距離為= 3, 又由點(diǎn)到直線的距離公式可得d= 辟 =3,解得L厚所以直線1的斜率k一 m纓，即直線l的傾斜角為30.

11、如圖，過點(diǎn) C作CHL BD垂足為H,所以ICH = 2羽，在Rt CHD中,/ HCD= 30,所以 ICD = CoS0= 4.14. (2017 江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，A 12,0) , B(0,6)，點(diǎn)P在圓O： x2 + y2= 50上若PA- fBc 20,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是答案5寸2, 1解析 解法一：因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O X2+ y2= 50 上,所以設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(X, 750-X2)( 5謔c x2). 因?yàn)?A 12,0) , B(0,6),所以 PA= ( 12 x, 50 x)或 PA= ( 12 x,寸50 - x) , PB= ( x, 6 (50

12、 x)或 PB- ( x, 6 +寸50 X2).因?yàn)槌?20,先取P(x,寸50F)進(jìn)行計(jì)算，所以(一12 x)( x) + ( 750 x2)(6 寸50 x2) 20,即卩 2x+ 550 x2.5當(dāng)2x+ 50,即x0,即卩 x 2時(shí)，(2x + 5) 50 x ,解得5W x 1,故 x 1.同理可得 P(x,750 X2)時(shí)，Xc 5. 又-5眾c X5 迄，所以-5進(jìn) x 1. 故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為52, 1. 解法二：設(shè)P(x, y),則 pA= ( 12 x, y), PB= ( x, 6 y)./ PA- PBc 20,( 12 x)( X)+ ( y) (6 . .

13、 2 2如圖，作圓 O X+ y= 50，直線2x y+ 5 = 0與O O交于E, F兩點(diǎn), P在圓O上且滿足2x y + 5 0,點(diǎn)P在EDF上.由x +y= 50, 得F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.?x y+ 5 = 0又D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一52, P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為-5j2, 1 三、模擬小題15. (2018 合肥質(zhì)檢)設(shè)圓2 2x + y 2x 2y 2 = 0的圓心為C,直線I過(0,3)與圓C交于A,A.B兩點(diǎn)，若 IAB = 23,3x+ 4y 12= 0 或 4x 3y + 9 = 0則直線I的方程為(B.3x+ 4y 12= 0 或 x= 0C.4x 3y + 9 = 0 或 x

14、= 0D.3x 4y + 12= 0 或 4x+ 3y + 9 = 0答案 B解析 當(dāng)直線I的斜率不存在，即直線 I的方程為x = 0時(shí)，弦長為2寸3，符合題意； 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線 l的方程為y= kx + 3,由弦長為23,半徑為2可知,圓心到該直線的距離為1,從而有舄=1，解得3k= 4，綜上，直線l的方程為x = 0或 3x + 4y 12= 0,故選 B.-湖南長沙模擬)已知O O x2+ y2= 1,16. (2018A：0 , 2), B(a,2),從點(diǎn) A觀察點(diǎn) B,要使視線不被OO擋住，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A.(8,B.OO2) U (2 ,+o)羋U羋+C.O

15、O紐3 U塑+O3 U 3 十D.答案解析點(diǎn)B在直線y = 2上，過點(diǎn)A(0 , 2)作圓的切線，設(shè)切線的斜率為k，由點(diǎn)斜式得切線方程為y= kx 2,即解得k = J3，二切線方程為| 2|kx y 2 = 0，由圓心到切線的距離等于半徑，得-7 = 1,yjk +1 y=3x 2,和直線y = 2的交點(diǎn)坐標(biāo)為一斗3, 2,2，要使視線不被O 0擋住,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是一O, 半U(xiǎn)壇+.故選33B.17.(2018 廣東茂名模擬. . 2 2 . ,)若圓x + y 4x 4y 10= 0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線ax+ by= 0的距離為2型，則直線I的斜率的取值范圍是()A. 2 護(hù)，1

16、 B . 2-護(hù),2+2】C誓，擊 D . 0 ,+答案 B解析 圓x+ y 4x 4y 10= 0可化為(x 2) + (y 2) = 18,則圓心坐標(biāo)為(2,2), 半徑為3寸2.由圓X2 + y2 4X 4y 10 = 0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線I :ax + by = 0的距離為：羽可得，圓心到直線 I : ax + by= 0的距離d0 2迄 = 2,即la+0bOl，貝已2+ b2 + 4abw0 ，若a= 0，則b= 0,不符合題意，故a0且0，則可化為1 + +0,a aab4b14由于直線I的斜率k=a,所以1+- + -0可化為1+匚2-W0,解得kC 2 J3, 2+ba

17、akK萌，故選B.18. (2018 天津河西一模)若A為圓C: X2+ y2= 1上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓C2： (x 3)2+ (y+ 4) 2= 4上的動(dòng)點(diǎn)，則線段 AB長度的最大值是 .答案 8. 2 2 . - . , 2 2解析 圓 C： X+ y = 1 的圓心為 C(0,0)，半徑 ri= 1,圓 C2: (x 3) + (y + 4) = 4 的 圓心為C0(3 , 4)，半徑2= 2, |CC| = 5又A為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓C上的動(dòng)點(diǎn), 線段AB長度的最大值是|CQ| +1+2= 5+ 1 + 2 = &19. (2018 湖北八市聯(lián)考)已知a R 直線丨仁X+ 2y= a+

18、2和直線I2： 2x y = 2a 1 分別與圓E：(x a)2+ (y1)2= 9相交于點(diǎn)A,C和點(diǎn)B,D,則四邊形ABC啲面積是 .答案 18解析 依題意，圓E的圓心坐標(biāo)為 曰a, 1)，發(fā)現(xiàn)EC |1,E |2，即直線|1,|2都過圓心,故| AC = |BD = 6又 k1 k2= 1,1 卩 |1丄|2 故所求面積為 gx62= 18.20. (2018 衡陽二模)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知圓O： x2+ y2= 9，圓Q: x2+ (y 6) 2= 16,在圓Q2內(nèi)存在一定點(diǎn) M過點(diǎn)M的直線I被圓Q,圓Q截得的弦分別為 AB CD且誥=4,則定點(diǎn)M的坐標(biāo)為解析當(dāng)直線Xo,I

19、的斜率不存在時(shí)，設(shè) I : X = X0, 3 X00,2k2 + 4故 X1 + x2=r即MO,yM),yM 2,10；當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)I ：y= kx + b則 ABB =b9 2/ b 6 21 + k3218ICD = 2氣/162 ,從而有=-，解得b=或b= 18.直線I過定點(diǎn)(0 ,V 戶16 忖由題設(shè)知 一 = 8，解得k= 1(舍去)，k= 1. 因此I的方程為y= x 1. 由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3 , 2)，所以AB的垂直平分線方程為y 2 = (x 3), 即 y= x+ 5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(X0, y。)，則 0= X0 + 5, 2 ：(y+

20、16,1 + kb)，且點(diǎn)M在圓O內(nèi)，故b= 卩M), y.1精做大題*能力練侯一、高考大題21. (2018 全國卷n )設(shè)拋物線C: y = 4x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k(k0)的直線I 與C交于A, B兩點(diǎn)，AB = &(1)求I的方程; 求過點(diǎn)A, B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.解(1)由題意得F(1 , 0), I 的方程為 y = k(x 1)(k0).設(shè) A(x1,屮),B(x2, y2).2 2 2 2得 kx (2k + 4)x + k = 0.(X葉1尸解得r =3，yo= 2或yo= 6.2”、4k + 4所以 AB = AF + BF = (X1 + 1) +(X2

21、+ 1)k9999因此所求圓的方程為 (x 3) + (y 2) = 16 或(x 11) + (y + 6) = 144.2. (2017 全國卷川)已知拋物線C y2= 2x，過點(diǎn)(2 , 0)的直線I交C于A, B兩點(diǎn), 圓M是以線段AB為直徑的圓.證明：坐標(biāo)原點(diǎn) 0在圓M上;設(shè)圓M過點(diǎn)P(4 , - 2)，求直線I與圓M的方程.解(1)證明：設(shè) A(X1 , y1) , B(X2, y2) , I : x= my+ 2,卜=my+ 2,2由 2可得y 2my 4 = 0,貝U些旳2 = 4.jy = 2x-2 2 2 又X1=歩X2= ，故你=嚀=4.因此0A的斜率與0B的斜率之積為2

22、 &于=-1,所以沁0B故坐標(biāo)原點(diǎn)0在圓M上.由(1)可得y1 + y2= 2 m,X1 + X2= m(y1 + y2) + 4 = 2ni + 4, 故圓心M的坐標(biāo)為(m23. (2016 江蘇高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 XOy中，已知以M為圓心的圓M: x+ y + 2, m),圓M的半徑r=p(m+ 2 m.由于圓M過點(diǎn)P(4, 2)，因此AP- BP= 0,故(X 1- 4)(x 2- 4) + (y i+ 2)(y 2+ 2) = 0,即 X1X2 4(x 1 + X2) + yiy2 + 2(y 1 + y2) + 20= 0.由(1)可知 y1y2= 4, X1X2 = 4,

23、所以 2m m 1 = 0,解得 m= 1 或 m= 1.當(dāng)m= 1時(shí)，直線I的方程為X y 2 = 0,圓心M的坐標(biāo)為(3 , 1)，圓M的半徑為屮0. _ 2 2圓 M的方程為(X 3) + (y 1) = 10.當(dāng)m= 1時(shí)，直線I的方程為2x + y 4 = 0,圓心M的坐標(biāo)為, g)圓M的半徑為圓M的方程為 4)+ +1= 116.12x 14y + 60= 0 及其上一點(diǎn) A(2 , 4). 設(shè)圓N與x軸相切，與圓 M外切，且圓心 N在直線x= 6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;設(shè)平行于0A的直線I與圓M相交于B, C兩點(diǎn)，且BC= OA求直線I的方程;設(shè)點(diǎn)T(t , 0)滿足：存在圓M上的

24、兩點(diǎn)P和Q使得tA+ TP= TQ求實(shí)數(shù)t的取值范圍.圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X 6)2+ (y 7)2= 25,所以圓心 M(6, 7)，半徑為5.(1)由圓心N在直線x= 6上，可設(shè)N(6 , yo).因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切，所以O(shè)yo7,于是圓N的半徑為y。,從而 7 y0= 5 + y,解得 y0= 1 .因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 6)2 + (y 1)2= 1.4 0(2)因?yàn)橹本€I / 0A所以直線I的斜率為40 = 2.2 0設(shè)直線I的方程為y = 2x+ m,則圓心M到直線I的距離|2 X 6 7 + m| d =|m + 5|即 2x y + m= 0,所以(X2 6)

25、+ (y 2 7) = 25.警+ 5,因?yàn)?BC= OA=P22 + 42 = 2& , 而 mC= d2+ fBCj ,所以25 =解得m= 5或m= 15.故直線I的方程為2x y+ 5 = 0或2x y 15= 0.(3)設(shè) P(X1, y1) , Q(X2 , y2).因?yàn)?A(2 , 4) , T(t , 0) , TA+ Tp= TQ2= X1+ 2 t 所以y2= y1+ 4.因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上,2 2將代入，得(X1 t 4) + (y 1 3) = 25.于是點(diǎn)P(X1, y 1 )既在圓M上，又在圓X (t + 4) + (y 3) = 25 上，2 2 2 2從而圓(X 6) + (y 7) = 25 與圓x (t + 4) + (y 3) = 25 有公共點(diǎn),所以 5 5W 7 (t + 4 廠 62 +( 3 7 $ W 5+ 5,解得2 2曲W t 0).因?yàn)閳AC經(jīng)過A B兩點(diǎn)，所以乎十 147 b2=響十