概率統(tǒng)計(jì)作業(yè)-第二章(參考解答

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章作業(yè)（期中測(cè)試題）一、有三個(gè)盒子，第一個(gè)盒子裝有1個(gè)白球、4個(gè)黑球；第二個(gè)盒子裝有2個(gè)白球、3個(gè)黑球; 第三個(gè)盒子裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球?，F(xiàn)任取一個(gè)盒子，從中任取 3個(gè)球。以X表示所取到 的白球數(shù)。求：（1）X的分布列；（2）求X的分布函數(shù)；（3）取到的白球數(shù)不少于2個(gè)的概 率？ （ 12分）解：設(shè)A=取到的盒子為第i個(gè)盒子,i =1,2,3 ；Bj =從盒中取到的白球數(shù)為j個(gè)j =0,123 ；（1）依題意X的可能取值為0，1, 2,3,且有:P(X =0)= P(Bo)= P( AB0UA2B0UA3B0) = P(ABo)+ P(A2Bo) + P(A3Bo)=P

2、(A1) P(B0|A) + Pg P(B0|A2)+ P(A3)P(B0|A3) =p (A) P(B0|A) + p(A2)p(B0|A2)+ p(A3)p(B0|A3) =1 冥 c|+L.c|+1m=2；3 c3 3 c3 330 6P(X =1)= P(B) = P(ABUA2B1UA3B1)= P(AB1 ) + P (ABJ + P (ABJ=p(A)P(B11 A) + P(A2)P(B | A2) + P(A3)p(B1 | A3) =P(A1)P(B11 A) + P(A2) P(B | A2)十 P(A3) P(B1 | A=1: cC +1: C；C；十_15 _ 1=

3、3 C53 3 C53 3 c3 302P(X =2) =P(B2) = P(A1BA2bAJA3B2 P(A1B2) + P(A2B2)+ P(A3B2)=P(A)p(B2 | A) + p(A2)p(B2 | A2) + p(A3)p(B2 | A =P(A1)p(B2 | A) + pgp(B2 | A2)+ p(A3)p(B2 | A丄0+1咒李丄李顯仝33 c33 c33010P(X =3) = P(B3)= P(AB3 U A2B3 U A3B3) = P( A1B3) + P(A2B3)+ P(A3B3)二 P(A1)p(B3 | A) + p(A2)p(B3 | A2)+ p(

4、A3)p(B3 | A =P(A1)p(B3 | A) + p(A2)p(B3 | A2)+ p(A3)p(B3 | A31：0+1咒0 + 1咒3=1333 Cs300X c 01/60 x v12/31 xc229/302 3F(x)=2) =1 - P(X c2) =1-F(2-0) =1-2/3=1/3。01/4、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)1/31/2i 1X c00x v11xc3，求：(1) X 的分布列；(2) P(Xc3)；36(3) P(X 3) ； (4) P( 2X6) ?( 12 分)解：(1) X的分布列為：014(2)P(X 3) =F(3-0) =1/3另解

5、:P(X v3) = P(X =0) +P(X =1)=1/4+1/12 =1/3 ;P(X 3) = F(3) =1/2另解:P(X 3) =P(X =0) + P(X =1) + P(X =3) =1/4+1/12 +1/6 =1/ 2 ;P(2 X 6) =P(X v6) -P(X v2) =F(6-0) -F(2 -0) =1/2-1/3=1/6另解:P(2 X 6) =P(X =3) =1/6。I Acosx二、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)二f 01x1蘭兀/ 2 ，求：(1)系數(shù)A ；(2) X的分布(12 分)函數(shù)F(x) ； (3) X落在區(qū)間(0,兀/4)內(nèi)的概率?1解：

6、(1)由 1 二 JAcosxdx，知 2A = 1，即 A =-2x(2) F(x)= P(X x) = JMdt.X(a)若 X _兀 / 2， F(X)= 0dt-oC1 X1(b) 若一兀 / 2；i/2，F(xiàn)(X)= costdt =1 ；2 42所以X的分布函數(shù)為:F(x)01 -(si nx+1)1X 兀 /2一兀/ 2x兀 /2事件X 1/2出現(xiàn)的次數(shù)，求P（Y =2） ？（ 12分）(3) P(0 cX v；i/4) =F(;i/4)-F(0)1 兀1=-(sin二 +1)- 一 (sin0 +1)2 421 窕 4另解：P（0X64）=舁 cosxdx=。X v00 1(12

7、 分)I 0四、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x） Jax2i 1密度函數(shù)f（x） ; （3） X落在區(qū)間（030.7）內(nèi)的概率?解:（由分布函數(shù)的連續(xù)型知：凹戶x）=F（1），可得A；I 2 Ax 0 V x V1另解：因?yàn)閒（x）=F（x）斗，由密度函數(shù)的正則性知:0 其他乂11仁 Jf (x)dx =2A，lxdx =2A號(hào)=A(2) X 的密度函數(shù) f(x) =F(x) =J2x 0 吒 X吒1 ；0 其他(3)P(0.3 CX C0.7) =F(0.7)-F(0.3) =0.72 -0.32 =0.40.7另解：P(0.3cX c0.7) =(3 2xdx=0.412x 0 X

8、1五、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f（x）科0其它，以Y表示對(duì)X的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中1/2 12xdx =-4解：設(shè) A=X1/2， P=p (A) = P(X1/2) = J0 依題知丫 - b（3, P）;所以有C 139P(Y =2)=Cl p2(1- p)1=3咒一2- X =42464六、某單位招聘員工，共有10000人報(bào)考，假設(shè)考試成績(jī)（百分制）服從正態(tài)分布，且已知 90分以上的有359人，60分以下的有1151人，現(xiàn)按考試成績(jī)從高分到低分依次錄用 2500人， 某人考了 75分，問該人能否被錄用？（ 12分）解：設(shè)考試成績(jī)?yōu)閄，依題意有XN（A,b2）,由 P(X90) =359/1

9、0000 =0.0359 知 1 -0.0359，即0.9641 ；I b丿I b丿P(X 75） =16）=1（0-3） =1-0.6179 =0.3821 2500/10000 =0.25；所以此人不能被錄取。七、已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X-2-1013P1/51/61/51/1511/30求：（1） Y =x2的分布列；（2） ZX|的分布列？ （ 12分）解：易知X-2-1013P1/51/61/51/1511/30Y=X241019Z X|21013所以丫 -X2的分布列為:丫 =x20149P1/57/301/511/30Z =|X |的分布列為:Z仆丨0123P1/57/301/511/30乜 2 _11八、已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f（x） = 2X -ZXP，求：（1）Y=eX的密度函數(shù)；（2）i 0其它Y=X2的密度函數(shù)？ （ 16分）解：（1）易知y=ex為嚴(yán)格遞增函數(shù)，丫的非零取值范圍為嚴(yán)（e*,e） , y = ex的反函數(shù)為x = h（y）=lny,且h（y）=，所以Y =eX的密度函數(shù)為:yfY（y-fXh（y）0,h（y）lc y ce其它I 3Il n(y)2, eye 2y。i 0,其它（2） Y=X2的分布函數(shù)為:2FY(y)= P(Yy)= P(X 0, FY(y) = P