信號(hào)與系統(tǒng)課件鄭君里版第一章[共85頁]

1、第一章 信號(hào)和系統(tǒng),1.1 緒論,一、信號(hào)的概念 消息(message)：常常把來自外界的各種報(bào)道統(tǒng)稱 為消息。 信息(information)：通常把消息中有意義的內(nèi)容稱 為信息。 信號(hào)(signal)：信號(hào)是反映信息的各種物理量，是 系統(tǒng)直接進(jìn)行加工、變換以實(shí)現(xiàn)通信的對象。 信號(hào)是信息的表現(xiàn)形式，信息是信號(hào)的具體內(nèi)容。信號(hào)是信息的載體，通過信號(hào)傳遞信息,二、系統(tǒng)的概念 系統(tǒng)(system)是指若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體,自然和物理信號(hào)：語音、圖像、地震信號(hào)、生理信號(hào)等人工產(chǎn)生的信號(hào)：人類為了達(dá)到某種目的人為產(chǎn)生的信號(hào)。雷達(dá)信號(hào)、通訊信號(hào)、醫(yī)用超聲信號(hào)、機(jī)械探傷信號(hào)等,1.

2、2 信號(hào)的描述和分類,一、信號(hào)的描述 1、數(shù)學(xué)描述：使用具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式，把信號(hào)描述為一個(gè)或若干個(gè)自變量的函數(shù)或序列的形式。 2、波形描述：按照函數(shù)自變量的變化關(guān)系，把信號(hào)的波形畫出來。 “信號(hào)”與“函數(shù)”兩詞常相互通用,二、信號(hào)的分類 1. 確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào) 確定信號(hào)或規(guī)則信號(hào) ：可以用確定時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào) 隨機(jī)信號(hào):若信號(hào)不能用確切的函數(shù)描述，它在任意時(shí)刻的取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計(jì)特性,連續(xù)時(shí)間信號(hào)：在連續(xù)的時(shí)間范圍內(nèi)(-t）有定義的信號(hào)稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，簡稱連續(xù)信號(hào)。實(shí)際中也常稱為模擬信號(hào)。 離散時(shí)間信號(hào)：僅在一些離散的瞬間才有定義的信號(hào)稱為離散時(shí)間信號(hào)，簡稱離散信號(hào)。

3、實(shí)際中也常稱為數(shù)字信號(hào),2. 連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào),通常取等間隔T，離散信號(hào)可表示為f(kT)，簡寫為f(k)，這種等間隔的離散信號(hào)也常稱為序列。其中k稱為序號(hào)。 f(k)= ，0，1，2，-1.5，2，0，1，0， k=0 通常將對應(yīng)某序號(hào)m的序列值稱為第m個(gè)樣點(diǎn)的“樣值,3. 周期信號(hào)和非周期信號(hào),周期信號(hào)：是指一個(gè)每隔一定時(shí)間T，按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)。 (在較長時(shí)間內(nèi)重復(fù)變化) 連續(xù)周期信號(hào)f(t)滿足f(t) = f(t + mT)， 離散周期信號(hào)f(k)滿足f(k) = f(k + mN)， 滿足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱為該信號(hào)的周期。 非周期信號(hào)：不具有周期性的信號(hào)稱為非周

4、期信號(hào),例1.2.1 判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sint 解：兩個(gè)周期信號(hào)x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號(hào)x(t)+y(t)仍然是周期信號(hào)，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù),1） sin2t 是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t 是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) s 由于T1/T2= 3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號(hào)

5、， 其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)2,2） cos2t 和sint的周期分別為T1= s， T2= 2 s， 由于T1/T2為無理數(shù)，故f2(t)為非周期信號(hào)。 結(jié)論： 連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào)，而正弦序列不一定是周期序列。 兩連續(xù)周期信號(hào)之和不一定是周期信號(hào)，而兩周期序列之和一定是周期序列,4能量信號(hào)與功率信號(hào),信號(hào)可看作是隨時(shí)間變化的電壓或電流，信號(hào) f (t)在歐姆的電阻上的瞬時(shí)功率為| f (t)|，在時(shí)間區(qū)間所消耗的總能量和平均功率分別定義為： 能量信號(hào)：信號(hào)總能量為有限值而信號(hào)平均功率為零。 功率信號(hào)：平均功率為有限值而信號(hào)總能量為無限大,特點(diǎn)： 信號(hào) f (t)可以是一個(gè)既非功

6、率信號(hào)，又非能量信號(hào)，如單位斜坡信號(hào)。但一個(gè)信號(hào)不可能同時(shí)既是功率信號(hào)，又是能量信號(hào)。 周期信號(hào)都是功率信號(hào)；非周期信號(hào)可能是能量信號(hào) t, f (t)=0, 也可能是功率信號(hào) t, f (t)0,5一維信號(hào)與多維信號(hào) 信號(hào)可以表示為一個(gè)或多個(gè)變量的函數(shù)，稱為一維或多維函數(shù)。 本課程只研究一維信號(hào)，且自變量多為時(shí)間。 6因果信號(hào) 若當(dāng) t 0 時(shí) f (t) 0的信號(hào),稱為因果信號(hào)。 而若t 0 ，t 0， f(t) =0的信號(hào)稱為反因果信號(hào)。 注意非因果信號(hào)指的是在時(shí)間零點(diǎn)之前有非零值,1.2 信號(hào)的基本運(yùn)算,一、信號(hào)的、運(yùn)算 兩信號(hào)f1() 和f2 ()的相 、指同一時(shí)刻兩信號(hào)之值對應(yīng)相加

7、減乘。如,二、信號(hào)的時(shí)間變換運(yùn)算,1. 平移 將f (t) f (t + t0) ， f (k) f (t + k0)稱為對信號(hào)f ()的平移或移位。若t0 (或k0) 0，則將f ()右移；否則左移,f (t-t0)將 f (t) 延遲 時(shí)間 t0 ；即將 f (t) 的波形向右移動(dòng) t0,f (t+t0)將 f (t) 超前 時(shí)間 t0 ；即將 f (t) 的波形向左移動(dòng) t0,2. 反轉(zhuǎn) 將f (t) f ( t) ， f (k) f ( k) 稱為對信號(hào)f ()的反轉(zhuǎn)或反折。從圖形上看是將f ()以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)180o。如,3. 尺度變換（橫坐標(biāo)展縮,將f (t) f (a t) ，

8、 稱為對信號(hào)f (t)的尺度變換。若a 1 ，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮；若0 1 則 f (at)將 f (t)的波形沿時(shí)間軸壓縮至原來的1/a,壓縮,2）0a 1 則 f (at)將 f (t)的波形沿時(shí)間軸擴(kuò)展至原來的1/a,擴(kuò)展,對于離散信號(hào)，由于f (a k) 僅在為a k 為整數(shù)時(shí)才有意義， 進(jìn)行尺度變換時(shí)可能會(huì)使部分信號(hào)丟失。因此一般不作波形的尺度變換,例1.3.1已知信號(hào)f(t)的波形如圖所示，試畫出f(2-t)的波形 解：平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合，注意：是對t 的變換,法一：先平移f (t) f (t +2) 再反轉(zhuǎn)f (t +2) f ( t +2) 法二：先反轉(zhuǎn)f (t) f ( t)

9、再平移f ( t) f ( t +2,例1.3.2 （1）已知信號(hào)f(t)的波形如圖所示，試畫出f(-2t-4)的波形 解：平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合，三種運(yùn)算的次序可任意。但一定要注意始終對時(shí)間t 進(jìn)行,法一：也可以先平移、再壓縮、最后反轉(zhuǎn),法二：也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn),2）若已知f ( 4 2t) ，畫出f (t) 。 解,三、信號(hào)的微分和積分 1、微分：信號(hào)f(t)的微分運(yùn)算指f(t)對t取導(dǎo)數(shù)，即 2、積分：信號(hào)f(t)的積分運(yùn)算指f(t)在（-，t）區(qū)間內(nèi)的定積分，表達(dá)式為,結(jié)論： （1）信號(hào)經(jīng)過微分運(yùn)算后突出顯示了它的變化部分，起到了銳化的作用； （2）信號(hào)經(jīng)過積分運(yùn)算后，

10、使得信號(hào)突出變化部分變得平滑了，起到了模糊的作用；利用積分可以削弱信號(hào)中噪聲的影響,1.4 階躍信號(hào)和沖激信號(hào) 一、典型的連續(xù)時(shí)間信號(hào),信號(hào)將隨時(shí)間而增長,信號(hào)將隨時(shí)間而衰減,信號(hào)不隨時(shí)間而變化，為直流信號(hào),對時(shí)間的微、積分仍是指數(shù),對時(shí)間的微、積分仍是同頻率正弦,正弦信號(hào)是周期信號(hào)，其周期T與角頻率w 和頻率f滿足下列關(guān)系式,2）正弦信號(hào),實(shí)部、虛部都為正（余）弦信號(hào)，指數(shù)因子實(shí)部表征實(shí)部與虛部的正、余弦信號(hào)的振幅隨時(shí)間變化的情況，表示信號(hào)隨角頻率變化的情況,3)復(fù)指數(shù)信號(hào),Sa(t)具有以下性質(zhì),4)抽樣信號(hào),高斯函數(shù),鐘形信號(hào)在隨機(jī)信號(hào)分析中占有重要地位,二、單位階躍函數(shù) 1、定義,u(

11、t)= 0 ， （t0,采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍函數(shù),2、階躍函數(shù)的性質(zhì)： （1）可以方便地表示某些信號(hào) eg: f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2,2）用階躍函數(shù)表示信號(hào)的作用區(qū)間,3）積分,三、單位沖激函數(shù) 單位沖激函數(shù)是個(gè)奇異函數(shù)，它是對強(qiáng)度極大，作用時(shí)間極短一種物理量的理想化模型。 1、定義,面積為1,2、沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系,加權(quán)特性,抽樣特性,3、性質(zhì),單位沖激函數(shù)為偶函數(shù),2、(t) 的尺度變換,這里 a 和 t0為常數(shù)，且a0,3、 沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(t) （也稱沖激偶,1）定義： 稱單位二次沖激函數(shù)或沖激偶,2）沖激偶的性質(zhì),沖激偶的抽樣特性,沖

12、激偶的加權(quán)特性,沖激偶(t)是 t 的奇函數(shù),四、序列(k)和 u(k) （1）單位(樣值)序列(k)的定義,取樣性質(zhì),2）單位階躍序列u(k)的定義,3）u(k)與(k)的關(guān)系 (k) = u(k) u(k 1) u(k) = (k)+ (k 1),u,u,五、信號(hào)的分解 信號(hào)從不同角度分解： 直流分量與交流分量 偶分量與奇分量 脈沖分量 實(shí)部分量與虛部分量 正交函數(shù)分量 利用分形理論描述信號(hào),1、直流分量與交流分量,其中fD為直流分量即信號(hào)的平均值,直流分量fD與交流分量fA(t,2、偶分量與奇分量,1）一種分解為矩形窄脈沖分量,3、脈沖分量,2）另一分解為階躍信號(hào)分量之疊加,4.實(shí)部分量

13、與虛部分量,對于瞬時(shí)值為復(fù)數(shù)的信號(hào)f(t)可分解為實(shí)、虛部兩個(gè)部分之和,其實(shí)部為,其復(fù)數(shù)信號(hào)的模為,其虛部為,5、正交函數(shù)分量,用正交函數(shù)集來表示一個(gè)信號(hào)，組成信號(hào)的各分量就是相互正交的,1.5 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類,一、系統(tǒng)的定義 若干相互作用、相互聯(lián)系的事物按一定規(guī)律組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng)。 二、系統(tǒng)的分類及性質(zhì) 1. 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng) 輸入和輸出均為連續(xù)時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)稱為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。 輸入和輸出均為離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)稱為離散時(shí)間系統(tǒng)。 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是用微分方程來描述，而離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是用差分方程來描述,2. 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng) 若系統(tǒng)在任一時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻

14、的激勵(lì)有關(guān)，而且與它過去的歷史狀況有關(guān)，則稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)或記憶系統(tǒng)。 含有記憶元件(電容、電感等)的系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。否則稱即時(shí)系統(tǒng)或無記憶系統(tǒng)。 3. 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 能同時(shí)滿足齊次性與疊加性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。滿足疊加性是線性系統(tǒng)的必要條件。 不能同時(shí)滿足齊次性與疊加性的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng),4. 時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng) 滿足時(shí)不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)。 時(shí)不變性質(zhì): 若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時(shí)間，其激勵(lì)引起的響應(yīng)也延遲多少時(shí)間， 即若T0，f(t) = yf(t)， T0，f(t - td) = yf(t - td,5、 因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng) 激勵(lì)引起的響應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)在激勵(lì)之前的系統(tǒng)，稱為

15、因果系統(tǒng) 即對因果系統(tǒng)，當(dāng)t t0 ，f(t) = 0時(shí)，有t t0 ，yf(t) = 0。 如：下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)：yf(t) = 3f(t 1) 而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)： (1) yf(t) = 2f(t + 1)， 因?yàn)?，令t=1時(shí)，有yf(1) = 2f(2) (2) yf(t) = f(2t)，因?yàn)?，若f(t) = 0， t t0 ，有yf(t) = f(2t)=0, t 0.5 t0 。 也就是說，如果響應(yīng)r(t)并不依賴于將來的激勵(lì)如e(t+1)，那么系統(tǒng)就是因果的,6. 穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng) 一個(gè)系統(tǒng)，若對有界的激勵(lì)f(.)所產(chǎn)生的響應(yīng)yf(.)也是有界時(shí)，則稱該系統(tǒng)為有界輸

16、入有界輸出穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。 即若f(.)，其yf(.) 則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的,三、線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTI,Linear Time-Invariant) （1）LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性 微分特性： 若f (t) yf(t) ， 則f (t) y f (t) 積分特性： 若f (t) yf(t) ， 則,2）線性性質(zhì)的判別 a) 線性性質(zhì)包括兩方面：齊次性和可加性。 T af () = a T f ()則稱該系統(tǒng)是齊次的。 T f1()+ f2() = T f1()+T f2() 則稱該系統(tǒng)是可加的。 若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)是線性的，即Ta f1() + bf2() = a

17、T f1() + bT f2(,b)判別條件: 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵(lì) f () 有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)有關(guān)。初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵(lì)”。 完全響應(yīng)可寫為: y () = T f () , x(0) 零狀態(tài)響應(yīng)為: yf() = T f () , 0 零輸入響應(yīng)為: yx() = T 0，x(0,判別條件: 當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個(gè)條件時(shí)該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)： 可分解性： y () = yf() + yx() = T f () , 0+ T 0，x(0) 零狀態(tài)線性： Ta f () , 0 = a T f () , 0 Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1 () , 0 + T

18、 f2 () , 0 或Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0,零輸入線性： T0,ax(0)= aT 0,x(0) T0,x1(0) + x2(0) = T0,x1(0) + T0,x2(0) 或T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0,例1.5.1判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） 解： （1） yf(t) = 2 f (t) +1， yx(t

19、) = 3 x(0) + 1 顯然， y (t) yf(t) yx(t) 不滿足可分解性，故為非線性,2） yf(t) = | f (t)|， yx(t) = 2 x(0) y (t) = yf(t) + yx(t) 滿足可分解性； 由于Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yf(t) 不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng),3,滿足可分解性,滿足零狀態(tài)線性,滿足零狀態(tài)線性,所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng),例1.5.2判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？ （1） yf (k) = f (k) f (k 1) （2） yf (t) = t f (t) （3） yf (t) = f ( t) 解： (

20、1)令g (k) = f(k kd) T0， g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 ) 而yf (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 顯然T0，f(k kd) = yf (k kd) 故該系統(tǒng)是時(shí)不變的,2) 令g (t) = f(t td) T0， g (t) = t g (t) = t f (t td) 而y f (t td)= (t td) f (t td) 顯然T0，f(t td) y f (t td) 故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。 (3) 令g (t) = f(t td) , T0，g (t) = g ( t) = f( t td

21、) 而y f (t td) = f ( t td)，顯然 T0，f(t td) y f (t td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。 直觀判斷方法：若f ()前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng),例1.5.3 某LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為x(0)。已知，當(dāng)x(0) =1，輸入因果信號(hào)f1(t)時(shí)，全響應(yīng)y1(t) = + cos(t)，t0；當(dāng)x(0-) =2，輸入信號(hào)f2(t)=3f1(t)時(shí)，全響應(yīng)y2(t) = 2 +3 cos(t)，t0；求輸入f3(t) = +2f1(t-1)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 解：設(shè)當(dāng)x(0) =1，輸入因果信號(hào)f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

22、分別為y1x(t)、y1f(t)。 當(dāng)x(0-) =2，輸入信號(hào)f2(t)=3f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y2x(t)、y2f(t,由題中條件，有 y1(t) =y1x(t) + y1f(t) = + cos(t)，t0 （1） y2(t)= y2x(t) + y2f(t) = 2 +3 cos(t)，t0 （2） 根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性 y2x(t) = 2y1x(t)， y2f(t) =3y1f(t,代入式（2）得 y2(t) = 2y1x(t) +3 y1f(t) = 2 +3 cos(t)，t0 （3） 式(3) 2式(1)，得 y1f(t) = 4 + cos(t)

23、，t0 由于y1f(t) 是因果系統(tǒng)對因果輸入信號(hào)f1(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，故當(dāng)t0，y1f(t)=0； 因此y1f(t)可改寫成 y1f(t) = 4 + cos(t)u(t) (4,根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分特性 = 3(t) + 4 sin(t)u(t) 根據(jù)LTI系統(tǒng)的時(shí)不變特性 f1(t1) y1f(t 1) = 4 + cos(t1)u(t1) 由線性性質(zhì)，得：當(dāng)輸入f3(t) = +2f1(t1)時(shí)， y3f(t) = + 2y1(t1) = 3(t) + 4 sin(t)u(t)+ 24 + cos(t1)u(t1,1.6 系統(tǒng)的描述 描述連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，描述離散動(dòng)態(tài)

24、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。 一、連續(xù)系統(tǒng) 1. 解析描述建立數(shù)學(xué)模型 補(bǔ)充： KVL可描述為：對于任一網(wǎng)絡(luò)中的任一回路，在任一時(shí)刻，沿該回路的所有電壓降的代數(shù)和恒等于零。u =0,對于線性時(shí)不變電容元件來說，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，可以得到以下關(guān)系式 對于線性時(shí)不變電感元件來說，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，可以得到,圖示RLC電路，以uS(t)作激勵(lì)，以uC(t)作為響應(yīng)，由 KVL和 VAR列方程，并整理得二階常系數(shù)線性微分方程,2. 系統(tǒng)的框圖描述 上述方程從數(shù)學(xué)角度來說代表了某些運(yùn)算關(guān)系：相乘、微分、相加運(yùn)算。 將這些基本運(yùn)算用一些理想部件符號(hào)表示出來并相互聯(lián)接表征上

25、述方程的運(yùn)算關(guān)系，這樣畫出的圖稱為模擬框圖，簡稱框圖。 積分器,加法器： 數(shù)乘器,例1.6.1：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，畫框圖。 解：將方程寫為y”(t) = f(t) ay(t) by(t,例1.6.2：已知y”(t) + 3y(t)+ 2y(t) = 4f(t) + f(t)，畫框圖。 解：該方程含f(t)的導(dǎo)數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫出框圖。設(shè)輔助函數(shù)x(t)滿足x”(t) + 3x(t)+ 2x(t) = f(t) 可推導(dǎo)出y(t) = 4x(t) + x(t)，它滿足原方程,例1.6.3：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。 解：設(shè)輔助變量x(t)如圖 x”(t) = f(t) 2x(t) 3x(t) ,即x”(t) + 2x(t) + 3x(t) = f(t) y(t) = 4x(t)+ 3x(t) 根據(jù)前面，逆過程，得 y”(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f(t)+ 3f(t,二、離散系統(tǒng) 1. 解析描述建立差分方程 例：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為元/元，求第k個(gè)月初存折上的款數(shù)。 設(shè)第k個(gè)月初的款數(shù)為y(k),這個(gè)月初的存款為f(k),上個(gè)