點直線平面的投影.ppt

1、第四章 點、直線和平面的投影,1 點的投影1.1 點的三個投影,1.1.1 三個投影之間的位置關(guān)系,規(guī)定： 空間點用大寫字母表示，點的三個投影都用 同一個小寫字母表示，其中H投影不加撇， V投影加一撇，W投影加兩撇,Z,點的每個投影反映兩個坐標：V投影反映高標和橫標(aaX和aaZ)，H投影反映縱標和橫標(aaX和aaYH)，W投影反映高標和縱標(aaYW和aaZ,1.1.2 點的投影和坐標的關(guān)系,小結(jié):點的投影規(guī)律,1)V、H兩投影都反映X坐標，且投影連線垂直X軸； 2)V、W兩投影都反映Z坐標，且投影連線垂直Z軸； 3)H、W兩投影都反映Y坐標，水平投影到X軸的距離等于側(cè)面投影到Z軸的距離

2、,例：已知點的兩個投影，求第三投影,a,a,ax,az,根據(jù)兩點相對于投影面的距離(坐標)不同，即可確定兩點的相對位置。如圖給出了A、B兩點的三個投影，從圖中可以看出，A點的橫標小于B點的橫標，即點A距W面較近，或者說點A在點B的右方。同樣，可以判斷點A在點B上方；點A在點B前方(規(guī)定距V面遠為前，距V面近為后,1.2 兩點的相對位置和重影點,1.2.1 兩點的相對位置,例1如圖，已知點A的三投影，另一點B在點A上方8mm，左方12mm，前方10mm處，求點B的三個投影,作圖步驟,1)在a左方12mm，上方8mm處確定b,2)作bbOX，且在a前10mm處確定b,3)按投影關(guān)系求得b,例2試比

3、較如圖所示三棱錐四個頂點S、A、B、C的相對位置,解：如圖所示三棱錐的正投影圖沒給出投影軸，此時可以任一頂點(例如點A)作為參照點，來比較各頂點的相對位置,從V投影中可見，頂點B、C與頂點A同高，頂點S在頂點A上方（距離l1,頂點B在頂點A右方（距離l2），頂點S、C在頂點A右方（距離l2/2,由H投影可見，點B與點A距V面等遠，點C在點A前方（距離l3），點S在點A前方（距離l4,當空間兩點位于對投影面的同一條投影線上時，這兩點在該投影面上的投影重合，稱這兩點為對該投影面的重影點,1.2.2 重影點,點A、B在對H面的同一條投射線上，它們在H面的投影重合，稱為對H面的重影點。而點C、D則稱為

4、對V面的重影點,1.3 各種位置點的投影,X,投影面上的點：空間點的坐標值有一個為零,原點上的點 （0、0、0,投影軸上點：空間點的坐標值有兩個為零,X 軸上點 （X、0、0） Y 軸上點 （0、Y、0） Z 軸上點 （X、0、0,一般位置點,空間點的三個坐標值X、Y、Z均不為零，稱該點為一般位置點,特殊位置點,2 直線的投影 2.1 各種位置直線,一般位置直線,三個投影與各投影軸都傾斜,投影面平行線,在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應投影面的夾角。另兩個投影平行于相應的投影軸,投影面垂直線,在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。另兩個投影反映實長且垂直于相應的投影軸,2.1.1 一般

5、位置直線,直線與H、V、和W三投影面的夾角分別用、表示,ab=ABcos ab=ABcos a”b”=ABcos,一般位置直線投影特性,各投影的長度均小于直線本身的實長,直線的各投影均 不平行于各投影軸,2.1.2 投影面平行線,在其平行的那個投影面上的投影反映實長， 并反映直線與另兩投影面的真實傾角,另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸,水平線,側(cè)平線,正平線,投 影 特 性,實長,實長,實長,2.1.3 投影面垂直線,鉛垂線,正垂線,側(cè)垂線,另外兩個投影，反映線段實長，且垂直 于相應的投影軸,在其垂直的投影面上，投影有積聚性,投 影 特 性,AB、BC為水平線；AC為側(cè)垂線； SB為側(cè)平

6、線；SA、SC為一般位置直線,AB為正平線； AC為正垂線； AD為鉛垂線,2.2 求線段的實長和傾角,一般位置直線的投影，既不能反映該線段的實長，又不能反映該線段對投影面的傾角。本節(jié)介紹用直角三角形法求一般位置直線段的實長及其對投影面的傾角,為求得線段AB的實長，過A點作ACab，則得到直角三角形ABC，在該三角形中ACab，BCBbAaZ(A、B兩點的Z坐標差)，而BAC即角，斜邊即AB實長,以ab為一直角邊，以Z為另一直角邊，作出直角三角形aB1b，則在該直角三角形中，aB1邊長為線段AB的實長，baB1為線段AB的角,例已知線段AB25mm及其投影ab和a，試求該線段的V投影ab,利用

7、ab和AB25mm，確定A、B兩點的高標差bB1，從而求出b(有兩解) ，或利用Y和AB25mm，確定ab的長度，求出b,2.3.1 直線上的點,2.3 直線上的點,若點在直線上，則點的各個投影必在直線的同面投影上。如圖所示，CAB，則有cab，cab，cab,反之，如果點的各個投影均在直線的同面投影上，則點在直線上。在圖中，C點在直線AB上，而D、E兩點均不滿足上述條件，所以都不在AB直線上,2.3.2 點分割線段成定比,AC/CB=ac/cb= ac / cb,直線上的點分割線段之比等于其投影之比。即,例試在AB線段上取一點C，使ACCB12，求分點C的投影,分析：分點C的投影，必在AB線

8、段的同面投影上，且accbaccb12，可用比例作圖法作圖,作圖步驟： 1）過a(或b)任作一直線aB1（或bB1) ； 2）在aB1上取C1，使aC1C1B112； 3）連接B1、b； 4）過C1作C1cB1b，與ab交于c； 5）過c作X軸的垂線與ab交于c。則c、c即所求分點C的投影,2.3.3 直線的跡點,直線與投影面的交點，稱為直線的跡點,直線與水平投影面的交點稱為水平面跡點，用M標注,與正面投影面的交點稱為正面跡點，用N標注,與側(cè)面投影面的交點稱為側(cè)面跡點，用S標注,跡點投影特點,1)因跡點是直線上的點，所以跡點的投影必在直線的同面投影上,2)因跡點是投影面上的點，所以跡點的一個投

9、影必在投影軸上,例試求直線AB的M、N跡點,1）延長ab，使之與X軸交于點m；2）由m引X軸的垂線，與ab的延長線交于m；3）延長ab，使其與X軸交于點n；4）由n引X軸的垂線，與ab的延長線交于n,直線側(cè)面跡點S的求法,空間兩直線的相對位置分為： 平行、相交、交叉,2.4.1 平行兩直線,空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然,2.4 兩直線的相對位置,2.4.2 相交兩直線,若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。反之，若兩直線的各同面投影相交，且交點符合一個點的投影規(guī)律，則此兩直線在空間一定相交,在右圖中，雖然abck，abck，且kkOX

10、，但因AB是側(cè)平線，察看側(cè)面投影，ab和c雖然相交，但該交點與k的連線與Z軸不垂直，故此兩直線不相交,若只憑V、H兩投影來判斷，則需看簡單比(abk)與(abk)是否相等，若相等則相交，不相等則不相交,2.4.3 交叉兩直線,同面投影可能相交，但交點不符合空間一個點的投影規(guī)律,交點是兩直線上的一 對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置,若兩直線既不平行又不相交，則它們是交叉直線,兩種特殊情況,1.當兩直線有兩個投影均互相平行，且又同時平行于第三個投影面時，一般應觀察該兩直線所平行的那個投影面上的投影來判斷兩直線是否平行,2 當直線的兩個投影都相交，且其中一直線平行于第三個投影面時，一般

11、應觀察投影面平行線所平行的那個投影面上的投影，或按線上點的等比關(guān)系，來判斷兩直線是否相交,2.5 直角的投影,若直角的兩邊同時平行于某個投影面，則此直角在該投影面上的投影仍為直角。 若直角有一邊平行于某個投影面(另一邊不垂直于該投影面)，則此直角在該投影面上的投影仍為直角。上述特性，稱為直角投影定理,直角投影定理可擴大為,若兩直線互相垂直(相交或交叉)，且其中有一直線平行于某個投影面(另一直線不垂直于該投影面)，則此兩直線在該投影面上的投影互相垂直,其逆定理是：若兩直線(相交或交叉)在某個投影面上的投影互相垂直，且其中有一直線平行于該投影面，則此兩直線必互相垂直,例試求A點至水平線BC的距離(

12、投影和實長,1）作akbc，akbck,2）由k求得kbc，則ak、ak為距離的兩投影,3）在bc上截取A、k兩點的高標差,4）連接a、k1，則ak1為距離的實長,三、如何在平面上確定直線和點,二、熟悉各種位置平面的投影特性， 尤其是特殊位置平面的投影特性,一、掌握（以平面圖形的表示為主）在第一 角中三面投影的作圖方法,本節(jié)重點掌握,3 平面的投影,不在同一直線上的三個點,直線及線外一點,兩平行直線,兩相交直線,平面圖形,3.1 平面的表示法,3.1.1 用幾何元素表示平面,3.1.2 用平面的跡線表示平面,平面和投影面的交線，稱為平面的跡線,平面和H面的交線，稱為水平跡線，和V面的交線，稱為

13、正面跡線，和W面的交線，稱為側(cè)面跡線,兩相交跡線,兩平行跡線,3.1.3 平面跡線的求法,1）作直線AB的H面跡點M1和V面跡點N1； 2）作直線AC的H面跡點M2和V面跡點N2； 3）連接M1、M2得H，連接N1、N2得V,3.2 各種位置平面,平面對于三投影面的位置可分為三類,1)不垂直于任何一個投影面的平面，稱為一般位置平面； 2)垂直于一個投影面的平面，稱為投影面垂直面； 3)平行于一個投影面(垂直于另外兩個投影面)的平面，稱為投影面平行面。 后兩種平面又稱特殊位置平面。下面分別討論這三類平面的投影特性,3.2.1 一般位置平面,一般位置平面和三個投影面既不垂直也不平行，與三個投影面都

14、傾斜，所以，如用平面形(例如三角形)表示一般位置平面，則它的三個投影均不是實形，但具有類似形,3.2.2 投影面垂直面,只垂直于一個投影面的平面，稱為投影面垂直面,根據(jù)其所垂直的投影面不同，可以分為三種： 1)鉛垂面垂直于H面； 2)正垂面垂直于V面； 3)側(cè)垂面垂直于W面,投影面垂直面的投影特性是： 1)在其所垂直的投影面上，投影為斜直線，有積聚性；該斜直線與投影軸的夾角反映該平面對相應投影面的傾角； 2)如平面用平面形表示，則在另外兩個投影面上的投影不是實形，但有類似形,3.2.3 投影面平行面,垂直于兩個投影面的平面，平行于第三個投影面,根據(jù)其所平行的投影面不同，投影面平行面也可分為三種

15、： 1)水平面平行于H面； 2)正平面平行于V面； 3)側(cè)平面平行于W面,投影面平行面的投影特性是： 1)如平面用平面形表示，則其在所平行的投影面上的投影，反映平面形的實形； 2)在另外兩個投影面上的投影均為直線段，有積聚性，且平行于相應的投影軸,3.3 平面上的直線和點,點在平面上的條件 如果點在平面上的某一直線上，則此點必在該平面上,直線在平面上的條件 通過平面上的兩個點或通過平面上的一個點，且平行于平面上的一條直線,例1已知三棱錐SAB面上一點K的V投影k，試求其H投影k,過k作sm；求出sm(直線SM稱輔助線，用細實線繪制)；在sm上求出k。 或者過k作kmsa；由m求出m；過m作直線

16、平行于sa；在該直線上求出k,在跡線平面上，已知K點的V投影k，求該點H投影k,例2已知四邊形平面ABCD的H投影abc和ABC的V投影abc，試完成其V投影,1）連接a、c和a、c，得輔助線AC的兩投影； 2）連接b、，b交ac于e； 3）由e在ac上求出e； 4）連接b、e，在be上求出； 5）分別連接a、及c、，即為所求,3.4 平面上的特殊位置直線,3.4.1 平面上的投影面平行線,平面上的投影面平行線，有平面上的水平線、正平線和側(cè)平線三種,平面上的投影面平行線,跡線平面上的投影面平行線,求跡線平面上的投影面平行線,3.4.2 平面上的最大斜度線,平面上和某投影面傾角最大的直線，稱為該平面對某投影面的最大斜度線,在ABC平面上，過A點所作的直線中，以垂直于