理論力學題庫第二章

1、理論力學題庫第二章一、 填空題1. 對于一個有個質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系，質(zhì)量分別為，位置矢量分別為，則質(zhì)心C的位矢為 。2. 質(zhì)點系動量守恒的條件是 。3. 質(zhì)點系機械能守恒的條件是 。4. 質(zhì)點系動量矩守恒的條件是 。5. 質(zhì)點組 對 的微商等于作用在質(zhì)點組上外力的矢量和，此即質(zhì)點組的 定理。6. 質(zhì)心運動定理的表達式是 。7. 平面匯交力系平衡的充分必要條件是合力為零。8. 各質(zhì)點對質(zhì)心角動量對時間的微商等于 外力對質(zhì)心的力矩 之和。9. 質(zhì)點組的角動量等于 質(zhì)心角動量 與各質(zhì)點對質(zhì)心角動量之和。10. 質(zhì)點組動能的微分的數(shù)學表達式為： ，表述為質(zhì)點組動能的微分等于 內(nèi) 力和 外 力所作的 元功

2、 之和。11. 質(zhì)點組動能等于 質(zhì)心 動能與各質(zhì)點對 質(zhì)心 動能之和。12. 柯尼希定理的數(shù)學表達式為： ，表述為質(zhì)點組動能等于 質(zhì)心 動能與各質(zhì)點對 質(zhì)心 動能之和。13. 2-6.質(zhì)點組質(zhì)心動能的微分等于 內(nèi)、外 力在 質(zhì)心系 系中的元功之和。14. 包含運動電荷的系統(tǒng)，作用力與反作用力 不一定 在同一條直線上。15. 太陽、行星繞質(zhì)心作圓錐曲線的運動可看成質(zhì)量為 折合質(zhì)量 的行星受太陽(不動)的引力的運動。16. 兩粒子完全彈性碰撞，當 質(zhì)量相等 時，一個粒子就有可能把所有能量轉(zhuǎn)移給另一個粒子。17. 設(shè)木塊的質(zhì)量為m2 , 被懸掛在細繩的下端，構(gòu)成一種測定子彈速率的沖擊擺裝置。如果有一

3、質(zhì)量為m1的子彈以速率v1 沿水平方向射入木塊，子彈與木塊將一起擺至高度為h處，則此子彈射入木塊前的速率為： 。18. 位力定理（亦稱維里定理）可表述為：系統(tǒng)平均動能等于均位力積的負值 。（或 ）二、 選擇題1. 關(guān)于質(zhì)心，以下說法錯誤的是（）A. 均質(zhì)物體的質(zhì)心和其幾何中心重合；B. 處于均勻重力場中的物體，重心和質(zhì)心重合；C. 質(zhì)點組合外力為零時，質(zhì)心將靜止；D. 質(zhì)心可以在物體的外部。2. 質(zhì)點組運動的總動能的改變（）A. 與外力無關(guān)，內(nèi)力有關(guān)；B. 與外力、內(nèi)力都有關(guān)；C. 與外力、內(nèi)力都無關(guān)； D. 與外力有關(guān)，內(nèi)力無關(guān)。3. 滿足下列哪種情況，質(zhì)點組的機械能守恒（ ）A 只有保守力

4、做功；B 外力和內(nèi)力都不是保守力；C 所有內(nèi)力均為保守力；D 所有外力均為保守力。2-4. 如果某質(zhì)點系所受合外力為零，則該質(zhì)點系的【A】A 動量守恒； B 角動量守恒；C 動能守恒；D不能確定。2-5. 質(zhì)點系的內(nèi)力有如下性質(zhì)，其中錯誤的說法是：【C】A 內(nèi)力的動量之和為零；B 內(nèi)力的角動量之和為零；C 內(nèi)力的動能之和為零；D 內(nèi)力的矢量和為零。2-6. 關(guān)于內(nèi)力的說法中錯誤的有：【B】A 質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量；B 質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動能；C 質(zhì)點系的內(nèi)力在運動過程中可能作功，可能不作功；D 剛體在運動過程中內(nèi)力不作功。2-7. 以下四種說法中，哪一種是正確的？（A）作

5、用力與反作用力的功一定是等值異號；（B）內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的總機械能；（C）摩擦力只能作負功；（D）同一個力作功在不同的參考系中，也不一定相同。【D】2-8. 對機械能守恒和動量守恒的條件，正確的是：(A) 系統(tǒng)不受外力作用，則動量和機械能必定同時守恒.；(B) 對一系統(tǒng), 若外力作功為零, 而內(nèi)力都是保守力, 則其機械能守恒；(C) 對一系統(tǒng), 若外力作功為零, 則動量和機械能必定同時守恒；(D) 系統(tǒng)所受和外力為零，和內(nèi)力也為零，則動量和機械能必定同時守恒.?！綛】2-9一人握有兩只啞鈴, 站在一可無摩擦地轉(zhuǎn)動的水平平臺上, 開始時兩手平握啞鈴, 人、啞鈴、平臺組成的系統(tǒng)以一角速度旋轉(zhuǎn), 后

6、來此人將啞鈴下垂于身體兩側(cè), 在此過程中, 系統(tǒng)【A】(A) 角動量守恒, 機械能不守恒； (B) 角動量守恒, 機械能守恒； (C) 角動量不守恒, 機械能守恒； (D) 角動量不守恒, 機械能不守恒。 2-10. 如果某質(zhì)點系的動能變大，則該質(zhì)點系的【D】A 動量變大； B 各質(zhì)點的動量一定變大；C 質(zhì)點系的能量變大； D不能確定。2-11. 如果某質(zhì)點系的動量變大，則該質(zhì)點系的【D】A質(zhì)點系的動能一定變大；B 各質(zhì)點的動量一定變大；C 質(zhì)點系的能量一定變大；D不能確定。2-12. 如果某質(zhì)點系所受合外力變大，則該質(zhì)點系的【D】A 動量一定變大； B 角動量一定變大；C 動能一定變大；D不

7、能確定。二、簡答2.1一均勻物體假如由幾個有規(guī)則的物體并合（或剜去）而成，你覺得怎樣去求它的質(zhì)心？ .答：因均勻物體質(zhì)量密度處處相等，規(guī)則形體的幾何中心即為質(zhì)心，故先找出各規(guī)則形體的質(zhì)心把它們看作質(zhì)點組，然后求質(zhì)點組的質(zhì)心即為整個物體的質(zhì)心。對被割去的部分，先假定它存在，后以其負質(zhì)量代入質(zhì)心公式即可。2.2 一均勻物體如果有三個對稱面，并且此三對稱面交于一點，則此質(zhì)點即均勻物體的質(zhì)心， 何故？答：物體具有三個對稱面已足以確定該物體的規(guī)則性，該三平面的交點即為該物體的幾何對稱中心，又該物體是均勻的，故此點即為質(zhì)心的位置。 2.3 在質(zhì)點動力學中，能否計算每一質(zhì)點的運動情況？假如質(zhì)點組不受外力作用

8、，每一質(zhì)點是否都將靜止不動或作勻速直線運動？答：對幾個質(zhì)點組成的質(zhì)點組，理論上可以求每一質(zhì)點的運動情況，但由于每一質(zhì)點受到周圍其它各質(zhì)點的相互作用力都是相互關(guān)聯(lián)的，往往其作用力難以預(yù)先知道；再者，每一質(zhì)點可列出三個二階運動微分方程，各個質(zhì)點組有個相互關(guān)聯(lián)的三個二階微分方程組，難以解算。但對于二質(zhì)點組成的質(zhì)點組，每一質(zhì)點的運動還是可以解算的。若質(zhì)點組不受外力作用，由于每一質(zhì)點都受到組內(nèi)其它各質(zhì)點的作用力，每一質(zhì)點的合內(nèi)力不一定等于零，故不能保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)。這表明，內(nèi)力不改變質(zhì)點組整體的運動，但可改變組內(nèi)質(zhì)點間的運動。2.4 兩球相碰撞時，如果把此兩球當作質(zhì)點組看待，作用的外力為何？其

9、動量的變化如何？ 如僅考慮任意一球，則又如何？答：把碰撞的二球看作質(zhì)點組，由于碰撞內(nèi)力遠大于外力，故可以認為外力為零，碰撞前后系統(tǒng)的動量守恒。如果只考慮任一球，碰撞過程中受到另一球的碰撞沖力的作用，動量發(fā)生改變。2.5 水面上浮著一只小船。船上一人如何向船尾走去，則船將向前移動。這是不是與質(zhì)心運動定理相矛盾？試解釋之。 .答：不矛盾。因人和船組成的系統(tǒng)在人行走前后受到的合外力為零（忽略水對船的阻力），且開船時系統(tǒng)質(zhì)心的初速度也為零，故人行走前后系統(tǒng)質(zhì)心相對地面的位置不變。當人向船尾移動時，系統(tǒng)的質(zhì)量分布改變，質(zhì)心位置后移，為抵消這種改變，船將向前移動，這是符合質(zhì)心運動定理的。2.6 為什么在碰

10、撞過程中，動量守恒而能量不一定守恒？所損失的能量到什么地方去了？又在什么情況下，能量才也守恒？2.6.答：碰撞過程中不計外力，碰撞內(nèi)力不改變系統(tǒng)的總動量，但碰撞內(nèi)力很大，使物體發(fā)生形變，內(nèi)力做功使系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為相碰物體的形變能（分子間的結(jié)合能），故動量守恒能量不一定守恒。只有完全彈性碰撞或碰撞物體是剛體時，即相撞物體的形變可以完全恢復或不發(fā)生形變時，能量也守恒，但這只是理想情況。 2.7 選用質(zhì)心坐標系，在動量定理中是否需要計入慣性力？.答：設(shè)質(zhì)心的速度，第個質(zhì)點相對質(zhì)心的速度，則，代入質(zhì)點組動量定理可得這里用到了質(zhì)心運動定理。故選用質(zhì)心坐標系，在動量定理中要計入慣性力。但質(zhì)點組相對質(zhì)心的動

11、量守恒。當外力改變時，質(zhì)心的運動也改變，但質(zhì)點組相對于質(zhì)心參考系的動量不變，即相對于質(zhì)心參考系的動量不受外力影響，這給我們解決問題帶來不少方便。值得指出：質(zhì)點組中任一質(zhì)點相對質(zhì)心參考系有 ，對質(zhì)心參考系動量并不守恒。秋千何以能越蕩越高？這時能量的增長是從哪里來的？ 答：秋千受繩的拉力和重力的作用，在運動中繩的拉力提供圓弧運動的向心力，此力不做功，只有重力做功。重力是保守力，故重力勢能與動能相互轉(zhuǎn)化。當秋千蕩到鉛直位置向上去的過程中，人站起來提高系統(tǒng)重心的位置，人克服重力做功使系統(tǒng)的勢能增加；當達到最高點向豎直位置折回過程中，人蹲下去，內(nèi)力做功降低重心位置使系統(tǒng)的動能增大，這樣循環(huán)往復，系統(tǒng)的總

12、能不斷增大，秋千就可以越蕩越高。這時能量的增長是人體內(nèi)力做功，消耗人體內(nèi)能轉(zhuǎn)換而來的。2.10 在火箭的燃料全部燃燒完后，2.7（2）節(jié)中的諸公式是否還能應(yīng)用？為什么？答：火箭里的燃料全部燒完后，火箭的質(zhì)量不再改變，然而質(zhì)量不變是變質(zhì)量物體運動問題的特例，故2.7（2）中諸公式還能適用，但諸公式都已化為恒質(zhì)量系統(tǒng)運動問題的公式。2.11 多級火箭和單級火箭比起來，有哪些優(yōu)越的地方？答：由知，要提高火箭的速度必須提高噴射速度或增大質(zhì)量比。由于燃料的效能，材料的耐溫等一系列技術(shù)問題的限制，不能過大；又由于火箭的外殼及各裝置的質(zhì)量相當大，質(zhì)量比也很難提高，故采用多級火箭，一級火箭的燃料燃完后外殼自行

13、脫落減小火箭的質(zhì)量使下一級火箭開始工作后便于提高火箭的速度。若各級火箭的噴射速度都為，質(zhì)量比分別為，各級火箭的工作使整體速度增加，則火箭的最后速度因每一個都大于1，故可達到相當大的值。但火箭級數(shù)越多，整個重量越大，制造技術(shù)上會帶來困難，再者級越高，質(zhì)量比越減小，級數(shù)很多時，質(zhì)量比逐漸減小趨近于1，速度增加很少。故火箭級數(shù)不能過多，一般三至四級火箭最為有效。三、 計算題1. 重為的人，手里拿著一個重為的物體。此人用與地平線成角的速度向前跳去，當他達到最高點時，將物體以相對速度水平向后拋出。問由于物體的拋出，人跳的距離增加了多少？2. 一光滑球與另一靜止的光滑球發(fā)生斜碰。如兩者均為完全彈性體，且兩

14、球的質(zhì)量相等，則兩球碰撞后的速度互相垂直，試證明之。3. 質(zhì)量為的質(zhì)點，沿傾角為的光滑直角劈滑下，劈的本身質(zhì)量為，又可在光滑水平面自由滑動。試求質(zhì)點水平方向的加速度及劈的加速度。4. 求均勻扇形薄片的質(zhì)心，此扇形的半徑為，所對的圓心角為2，并證半圓片的質(zhì)心離圓心的距離為。5. 如自半徑為的球上，用一與球心相距為的平面，切出一球形帽，求此球形冒的質(zhì)心。6. 半徑為，質(zhì)量為的薄圓片，繞垂直于圓片并通過圓心的豎直軸以勻角速轉(zhuǎn)動，求繞此軸的動量矩。7.一門大炮停在鐵軌上，炮彈質(zhì)量為m，炮身及炮車質(zhì)量和等于M，炮車可以自由地在鐵軌上反沖，如炮身與在地面成一角度，炮彈對炮身的相對速度為V，試求炮彈離炮身時

15、對地面的速度及炮車反沖的速度U。解：由于在水平方向（x方向）無外力作用，火藥爆炸力為內(nèi)力，故水平方向動量守恒 即又由相對運動關(guān)系知（2）代入（1）得所以如設(shè)與水平面夾角為，則討論：由（4）式知炮車反沖時，由（5）式知8.重G的物體A帶動單位長度的質(zhì)量為q的軟鏈，以速度向上拋出，如圖示。假定軟鏈有足夠的長度，求重物所能達到的最大高度。解：取OZ軸鉛直向上，O點位于地面。將在空中運動的鏈條的物體A視為主體。則并入主體的質(zhì)量元（原先靜止于地面）的絕對速度 于是密歇爾斯基方程為因，代入（1）式得用乘上式兩端得已知初始條件為時， 所以積分上式得 當時，上升高度正好就是最大值 即8.在橢圓機構(gòu)中，規(guī)尺AB

16、質(zhì)量為2m1，曲柄OC質(zhì)量為m1,滑塊A和B質(zhì)量均為m2曲柄以勻角速度繞軸O轉(zhuǎn)動。試求機構(gòu)質(zhì)心的運動方程及系統(tǒng)動量。設(shè)各物體為均質(zhì)，OC=AC=BC=l。解法1:運動方程（C點）的運動為平面運動 運動方程為：消去t得：動量總動量值的合成:解法2:首先建立整個系統(tǒng)的質(zhì)心位置將質(zhì)心位置求導后,代入動量式總動量值的合成:10.某質(zhì)量為m的質(zhì)點，其運動方程用矢量式可表達為 ，式中：為質(zhì)點的矢徑，分別為的單位矢。試求：（1） 質(zhì)點的動能、動量及對坐標原點O的動量矩。（2） 質(zhì)點對點A（a,b,c）的動量矩。（3） 作用在質(zhì)點上的力及力的功率。解：（1）動能 動量 動量矩（1） 動量矩（2） 力 功率11

17、、質(zhì)點在xoy平面內(nèi)運動，其勢能為： 試求使該質(zhì)點處于平衡狀態(tài)的點的坐標。 解：欲使質(zhì)點平衡須使質(zhì)點勢能對任一函數(shù)的一階偏微分為零即由求解上面方程組得平衡坐標為x=1,y=212.一人在水平臺上走動，此臺可通過其中心的鉛直軸而旋轉(zhuǎn)，人走的軌跡是以平臺中心為圓心，r為半徑的圓周，假定人重為p，平臺重也為p，其半徑也為r，試求當人在平臺上走完一周時平臺轉(zhuǎn)過的角度。解：以作平臺為質(zhì)點系，受力為重力，方向均向下，與轉(zhuǎn)軸平行，力矩為零。假設(shè)平臺與轉(zhuǎn)軸接觸面光滑無摩擦，故質(zhì)點系動量矩守恒。在質(zhì)點系起始時， 在某時刻人相對于平臺的速度為u，平臺的角速度為，則人的絕對速度為 人的動量矩為： 方向沿轉(zhuǎn)軸方向。平

18、臺動量矩為： 方向也沿轉(zhuǎn)軸方向。由動量矩守恒定律得： 又 即 積分得：故13、一均質(zhì)木板放在光滑的水平面上，板的一端站著一個人。在某一時刻，人以不變的速度u向x軸正向運動。設(shè)板的質(zhì)量為m1，人的質(zhì)量為m2。試求t秒鐘后，人的絕對速度v與位移以及板的絕對速度v1與位移。解：以人和板為研究對象。系統(tǒng)受力：人的重力P，板的重力W，光滑的水平面對板的正壓力FN。以上受力均在豎直方向，所以水平方向受力為零，則動量守恒。 在初始時刻t=0，人和板都靜止，動量pax=0，任意時刻t，設(shè)板的絕對速度v1沿x軸正向，則由點的合成運動可知，人的絕對速度為v=v1+u。 由動量守恒定律得：m1v1+m2(v1+u)

19、=0解此方程得 負號表示板的運動方向與x軸正向相反。由此得人的絕對速度為 正號表示人的運動方向與x軸正向相同因u與v都是常量，故人和板的位移分別為設(shè)矢量在笛卡兒坐標系中的投影為，證明并求使的函數(shù)解：（1） （2）（3）由可知勢函數(shù)必存在，由故 積分（1）式得代（4）入（2）得 積分得代（5）入（4）得代（6）入（3）得 積分得代（7）入（6）得m1m2v1v2r14.質(zhì)量為及的兩自由質(zhì)點互相以引力吸引，引力與其質(zhì)量成正比，與距離的平方成反比，比例常數(shù)為，開始時兩質(zhì)點皆處于靜止狀態(tài)，其間距離為a，試求兩質(zhì)點間的距離為時兩質(zhì)點的速度。 解法1：用機械能守恒定律求解令質(zhì)量為自由質(zhì)點的速度為，質(zhì)量為的

20、自由質(zhì)點速度為，則因兩質(zhì)點互相吸引，故方向相反，取方向為正方向如圖示由于兩質(zhì)點無外力作用，故動量守恒有兩質(zhì)點間的相互吸引力為萬有引力是保守力由保守力性質(zhì)得勢能為式中是兩質(zhì)點間的距離。由機械能守恒定律即解（1）（2）式得 解法2：用動能定理求解令質(zhì)量為自由質(zhì)點的速度為，質(zhì)量為的自由質(zhì)點速度為，則因兩質(zhì)點互相吸引，故方向相反，取方向為正方向如圖示由得積分上式得由于兩質(zhì)點無外力作用，故動量守恒有解（1）（2）式得 解法3：用兩體問題方法求解由于兩質(zhì)點無外力作用可視為兩體問題由兩體問題運動方程得又代入（1）式有積分得由于兩質(zhì)點無外力作用，質(zhì)心作慣性運動，原來質(zhì)心靜止，故由得又根據(jù)速度合成方法知解（2）

21、（3）（4）式得 為負值表明與方向相反15.如圖示，一長為的均質(zhì)鏈條在水平面上自然堆成一堆，線密度為，某人持鏈條一端以勻速將其提高，試證：當他的手離開水平面的高度為時（），鏈條對手的作用力大小為解法1：用質(zhì)心運動定理求解取鏈條整體為研究對象，在t時刻，整體所受的外力有重力，拉力和水平面對靜止的那部分鏈條的支持力。由質(zhì)心運動定理可得 式中為質(zhì)心的加速度。上式在x軸上的投影式為由于鏈條的質(zhì)心坐標為則有代入投影式得所以解法2：用動量定理求解取鏈條整體為研究對象，在t時刻，整體所受的外力有重力，拉力和水平面對靜止的那部分鏈條的支持力鏈條整體的總動量在豎直方向分量為整體所受的外力有重力，拉力和水平面對靜

22、止的那部分鏈條的支持力上式在x軸上的投影式為由動量定理得解法3：用變質(zhì)量問題方法求解如圖示，取已上升部分為主體，其質(zhì)量為，速度為，不斷增加部分為變體，其速度，主體和變體所受合外力為由密歇爾斯基方程得 即故16.圓環(huán)質(zhì)量為M，放在光滑水平面上，有一質(zhì)量為m的小蟲在圓環(huán)上爬行，如圖示，求證：小蟲在圓環(huán)上相對地爬行一周時，圓環(huán)的自轉(zhuǎn)角度不超過180。設(shè)初始時系統(tǒng)靜止。解：以小蟲+圓環(huán)為質(zhì)點系，圓環(huán)圓心為參考點，質(zhì)點系受力為重力，方向均向下，與轉(zhuǎn)軸平行，力矩為零。故質(zhì)點系動量矩守恒。在質(zhì)點系起始時， 在某時刻小蟲相對于圓環(huán)的速度為u，圓環(huán)的角速度為，則小蟲的絕對速度為 小蟲的動量矩為： 方向沿轉(zhuǎn)軸方向

23、。圓環(huán)動量矩為： 方向也沿轉(zhuǎn)軸方向。由動量矩守恒定律得： 有又 即 積分得：假設(shè)小蟲和圓環(huán)質(zhì)量相等 故=-240假設(shè)M=2m，則 一般 故另正解：以小蟲+圓環(huán)為質(zhì)點系，圓環(huán)圓心為參考點，質(zhì)點系受力為重力，方向均向下，與轉(zhuǎn)軸平行，力矩為零。故質(zhì)點系動量矩守恒。在質(zhì)點系起始時， 在某時刻小蟲相對于圓環(huán)的速度為u，圓環(huán)的角速度為，則小蟲的絕對速度為 小蟲的動量矩為： 方向沿轉(zhuǎn)軸方向。圓環(huán)動量矩為： 方向也沿轉(zhuǎn)軸方向。由動量矩守恒定律得： 有又 即 積分得：假設(shè)小蟲和圓環(huán)質(zhì)量相等 M=m 故假設(shè)M=2m故一般 故17.一光滑球A與另一靜止的光滑球B發(fā)生斜碰，如兩球均為完全彈性體，且兩球質(zhì)量相等，則兩球

24、碰撞后的速度互相垂直，試證明之。證明：設(shè)兩球質(zhì)量為，光滑球A碰前速度矢量為，光滑球B碰前速度矢量為0，A和B碰撞后的速度的速度矢量為由于兩球碰撞過程中動量守恒有又兩球為完全彈性體動能守恒有（1） 式代入（2）式有整理上式得，由于所以欲使兩矢量的乘積為零，只有兩矢量互相垂直即 結(jié)論得證18.有三個完全彈性的小球,質(zhì)量分別為m1、m2、及m3，靜止于一直線上，今于第一球上加上的速度，其方向沿此直線，設(shè)m1、m3及為已知，求第二球的速度為何值，才能使第三球于碰撞后所得的速度最大。解：設(shè)第一、第二球碰撞后第一球的速度為，第二球的速度為則由速度公式得 而 故又設(shè)第三、第二球碰撞后第三球的速度為 已知 則

25、由速度公式得欲使第三球的速度最大，須有即 所以有時第三球的速度最大。19.一條柔軟、無彈性、質(zhì)量均勻的繩子，豎直的自高處墜落至地板上，如繩子的長度為，每單位長度的質(zhì)量等于，求當繩子剩在空中的長度為時，繩子的速度及它對地板的壓力。設(shè)開始時繩子的速度為零，它的下端離地面的高度為。解法1：用自由落體公式和動量定理求解 當繩子的上端離地面的高度為時，由自由落體公式知繩子的速度為地板對繩子的作用力有兩部分，其一為與已經(jīng)落地的繩子的重力大小相等，方向相反，設(shè)為， 其二是即將落地的繩子對地板的沖力，設(shè)為設(shè)在時間內(nèi)落地的繩子的質(zhì)量為，該質(zhì)量元的動量為，該質(zhì)量元一經(jīng)落地動量即變?yōu)榱?。動量的變化為由動量定理?（

26、此處忽略重力） 所以總的壓力為解法2：用變質(zhì)量物體的運動方程求解當繩子的上端離地面的高度為時，由自由落體公式知繩子的速度為取已落地部分為主體，其質(zhì)量為速度為不斷落地部分為變體，（）其速度為 主體和變體受力為方向向上由密歇爾斯基方程得即所以20.長L的均勻細鏈條伸直平放水平光滑桌面上，方向與桌面邊緣垂直（圖2.7.2）。開始時鏈條靜止，一半從桌上下垂，求鏈條末端滑到桌子邊緣時鏈條的速度v。 解：如圖選取坐標系，以下垂段為研究對象。方法一：用變質(zhì)量物體的運動方程求解 以長為x的 一段和x的一段分別作m和dm，m=x，速度為，dm=dx, dx段合并于x段的速度 （x段的速度）,作用于它們的合外力為

27、重力 和桌面上的一段對它的拉力T。由密歇爾斯基方程得 u=v， （1） 設(shè)線質(zhì)量密度，取桌面上為主體，其質(zhì)量，速度為，不斷減少部分為變體，速度 （x段的速度），作用于它們的合外力為桌面上的一段對它的拉力T，由密歇爾斯基方程得 （2） 將（2）代入（1），并注意m=x， ，可得 ，積分： ，求出 方法二：用機械能守恒定律求解 以下垂的一段為研究對象，以桌面為零勢能位置，則由機械能守恒： 其中： ； ， 由此得 21.雨滴開始自由落下時的質(zhì)量為M，單位時間內(nèi)凝結(jié)在它上面的水汽質(zhì)量為，略去空氣阻力，試求雨滴在t時間后所下落的距離。解：以豎直向下為正方向，取自由落下的雨滴為主體，其質(zhì)量為m=M+t，速

28、度為v，增加的水汽為變體，質(zhì)量為dm=dt, 速度為u=0,作用于其的合外力為雨滴的重力由密歇爾斯基方程得積分（1）式得因t=0時v=0,故c=0所以積分（3）式得因t=0時s=0,故所以這就是雨滴在t時間后所下落的距離討論：由上式知說明雨滴在t時間后所下落的距離小于自由落體在同等時間內(nèi)下落的距離。雨滴下落時其質(zhì)量的增加率與雨滴的表面積成正比，試求雨滴下落速度與時間的關(guān)系解：以豎直向下為正方向，設(shè)起始時刻（t=0）雨滴半徑為a，某時刻雨滴半徑為r，取自由落下的雨滴為主體，其質(zhì)量為，速度為v不斷增加的水汽為變體，質(zhì)量為 速度為u=0,作用于其的合外力為雨滴的重力（1） 式對時間求導數(shù)得（3）=（2）得積分（4）式得雨滴半徑變化規(guī)律是所以主體質(zhì)量為合外力為由密歇爾斯基方程得積分得說明雨滴在t時間后所達到的速度小于自由落體在同等時間內(nèi)達到的速度22.質(zhì)量為m 的質(zhì)點M , 如圖10 -2 所示, 在Oxy平面內(nèi)