運(yùn)籌學(xué)課件：第七章存貯論

1、第7章 存貯論在企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營或人們的日常生活中，通常需要把一定數(shù)量的物質(zhì)，用品或食品暫時(shí)儲(chǔ)存起來，以備將來使用和消費(fèi)，這就是所謂的存貯現(xiàn)象。存貯的存在主要基于社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的不確定性。例如考慮產(chǎn)品的供給和需求系統(tǒng)，人們無法確定消費(fèi)者在今后一個(gè)時(shí)期內(nèi)對(duì)產(chǎn)品的確切需求，為了應(yīng)付未來需求的不確定性，就必須要有存貯，否則企業(yè)就會(huì)失去贏利的機(jī)會(huì)，消費(fèi)者的利益也難以得到保證。同時(shí)維持企業(yè)正常生產(chǎn)的原材料或在制品的供應(yīng)也具有不確定性。若供應(yīng)商不能按時(shí)履約或發(fā)生了某些不確定事件，就可能導(dǎo)致企業(yè)因停工待料而遭受經(jīng)濟(jì)損失。為了保證企業(yè)的生產(chǎn)持續(xù)均衡地進(jìn)行，也需要有一定數(shù)量的存貯。存貯緩和了供給和需求之間的矛盾。不

2、論是供不應(yīng)求還是供過于求，都可以通過存貯來緩和矛盾，達(dá)到供求平衡。但是存貯也不是多多益善。存貯是要支付成本的，存貯過多，不僅占用了大量資金，影響資金的周轉(zhuǎn)，而且長(zhǎng)期積壓會(huì)使存貯物資損壞變質(zhì)，造成浪費(fèi)。因此到底需要多少存貯是一個(gè)很值得探討的問題。在長(zhǎng)期的實(shí)踐中人們已經(jīng)摸索到了一些規(guī)律，積累了一些經(jīng)驗(yàn)，但把這類問題作為一門優(yōu)化經(jīng)營理論來研究還是近幾十年的事，并且逐步形成了運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，叫做存貯論（Inventory Theory）。存貯論主要研究如何用數(shù)學(xué)方法對(duì)企業(yè)的存儲(chǔ)系統(tǒng)運(yùn)營成本進(jìn)行數(shù)量分析，以確定最優(yōu)的存儲(chǔ)水平，使總的運(yùn)營費(fèi)用達(dá)到最小。71存貯論基本概念：711存貯系統(tǒng)： 企業(yè)為了生產(chǎn)必

3、須貯存一定數(shù)量的原材料或在制品，通常把這些貯存物簡(jiǎn)稱為存貯。企業(yè)生產(chǎn)時(shí)從存貯中取出一部分消耗掉，使存貯減少。隨著生產(chǎn)的進(jìn)行，存貯不斷減少，到了一定時(shí)刻必須對(duì)存貯加以補(bǔ)充，否則存貯用完了生產(chǎn)就無法進(jìn)行。因此企業(yè)的存貯系統(tǒng)由補(bǔ)充，存貯和需求三個(gè)環(huán)節(jié)緊密構(gòu)成，并且以存貯為中心環(huán)節(jié)。其一般結(jié)構(gòu)如表71所示：存貯補(bǔ)充需求 圖71以下就上述結(jié)構(gòu)圖的三個(gè)環(huán)節(jié)分別加以說明：（1）需求：存貯系統(tǒng)的需求通常是企業(yè)為了維持正常生產(chǎn)對(duì)原材料或在制品的需求，或是顧客對(duì)某種成品的需求。不論是何種需求都使企業(yè)存貯量減少，因此需求就是存貯的輸出。 建立存貯系統(tǒng)的目的是為了盡可能地滿足需求，了解需求的各種不同形式是非常重要的。

4、 間斷的或連續(xù)的需求。如商業(yè)企業(yè)的存貯系統(tǒng)中，顧客對(duì)某些時(shí)令商品的需求是間斷的。但對(duì)一般日用消費(fèi)品的需求則是連續(xù)的。 均勻的或非均勻的需求：工廠的自動(dòng)裝配線對(duì)另部件的需求是均勻的，即單位時(shí)間內(nèi)對(duì)另部件數(shù)量的需求是固定不變的；而一個(gè)城市對(duì)用電量的需求則是不均勻的，每年冬季和夏季常常是城市的用電高峰期。均勻的需求可以用線性函數(shù)來表示，而非均勻需求則可以用非線性函數(shù)表示。 確定性或隨機(jī)性的需求。若供應(yīng)商和用戶簽定了供貨合同，按合同規(guī)定每月提供一定數(shù)量的產(chǎn)品給用戶，那么這種需求是確定的；但是在一般的銷售活動(dòng)中，顧客對(duì)商品需求都是隨機(jī)的。書報(bào)廳每天售出的報(bào)紙可能是一千份，也可能是八百份。但是通過大量的統(tǒng)

5、計(jì)觀察，可能會(huì)發(fā)現(xiàn)每天售出報(bào)紙數(shù)量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，此時(shí)稱之為具有某種概率分布特征的隨機(jī)性需求。（2）補(bǔ)充：存貯由于需求而不斷減少，必須加以補(bǔ)充，否則最終將無法滿足需求，因此補(bǔ)充就是存貯的輸入。對(duì)一個(gè)存貯系統(tǒng)而言，補(bǔ)充有外部訂購和內(nèi)部生產(chǎn)兩種方式。 外部訂購：指向其它工廠購買。從訂購到貨物進(jìn)入“存貯”往往需要一段時(shí)間，稱這段時(shí)間為拖后時(shí)間。拖后時(shí)間可能是確定性的，也可能是隨機(jī)性的。為了保證存貯在必要的時(shí)刻得到及時(shí)補(bǔ)充，必須提前一段時(shí)間訂貨，稱這段時(shí)間為定貨提前期。若拖后時(shí)間是確定的常數(shù)，那么訂貨提前期取作拖后時(shí)間即可保證貨物按時(shí)入庫；若拖后時(shí)間是隨機(jī)性的，則訂貨提前期一般可取拖后時(shí)間的期望值。因此外

6、部訂購必須掌握拖后時(shí)間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。同時(shí)訂購多少也是外部訂購的重要內(nèi)容。為了保持最優(yōu)的存貯水平，一定存在一個(gè)最佳的訂購數(shù)量。所謂最佳是指既能滿足需求，又能使存貯系統(tǒng)運(yùn)營費(fèi)用達(dá)到最小。 內(nèi)部生產(chǎn)：指企業(yè)自行生產(chǎn)產(chǎn)品以補(bǔ)充庫存。與外部訂購的主要不同點(diǎn)在于：1) 外部訂購可以是原材料，在制品或成品的補(bǔ)充，而內(nèi)部生產(chǎn)則通常是在制品或成品的補(bǔ)充。2) 外部訂購對(duì)存貯的補(bǔ)充一般是一次到貨，而內(nèi)部生產(chǎn)對(duì)存貯的補(bǔ)充往往是連續(xù)和均勻的。3) 外部訂購要確定最佳訂購時(shí)間和最佳訂購數(shù)量，而內(nèi)部生產(chǎn)則需要確定最佳生產(chǎn)時(shí)間和最佳生產(chǎn)數(shù)量。目的都是為了使運(yùn)營總費(fèi)用達(dá)到最小。4) 由于補(bǔ)充的方式不同，因此運(yùn)營總費(fèi)用的構(gòu)成也

7、存在差異，外部訂購有一項(xiàng)訂購費(fèi)用，而內(nèi)部生產(chǎn)則有一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用。為了滿足需求，企業(yè)內(nèi)部生產(chǎn)的生產(chǎn)速度P（即單位時(shí)間的生產(chǎn)量），一般不能低于需求速度R（即單位時(shí)間的需求量），否則存貯必將出現(xiàn)短缺而影響需求。（3）存貯：企業(yè)把補(bǔ)充得到的原料，在制品或成品存入倉庫，可以保證企業(yè)持續(xù)均衡地生產(chǎn)，滿足用戶的需求，因此存貯是存貯系統(tǒng)的中心環(huán)節(jié)。企業(yè)存貯數(shù)量隨時(shí)間的推移而發(fā)生變化，隨時(shí)間變化的存儲(chǔ)數(shù)量也稱為存貯狀態(tài)。存貯狀態(tài)隨需求過程而減少，隨補(bǔ)充過程而增加。存貯論研究的目標(biāo)是確定最合理的存貯水平，使總的運(yùn)營費(fèi)用達(dá)到最小。由于存貯狀態(tài)是影響運(yùn)營費(fèi)用的主要因素，因此研究和了解存貯狀態(tài)的變化規(guī)律是非常重

8、要的。對(duì)一個(gè)存貯問題而言，通常首先要畫出存貯狀態(tài)隨時(shí)間變化的曲線，這是構(gòu)造存貯模型，確定最佳補(bǔ)充時(shí)間和補(bǔ)充數(shù)量的前提。 圖72（a）和（b）從需求角度給出了t時(shí)間內(nèi)存貯狀態(tài)從S減少到W的變化規(guī)律。但兩者的需求形式不同，（a）表示需求是間斷的，而（b）的需求則是連續(xù)和均勻的。 SSwTttw（b）（a） 圖72圖73（a）和（b）從補(bǔ)充角度給出了t時(shí)間內(nèi)存貯狀態(tài)由w增加到S的變化規(guī)律。（a）表示補(bǔ)充按一次到貨方式完成，而（b）則按一定的供應(yīng)率均勻入庫。SSwTttw（b）（a） 圖73 由于存貯系統(tǒng)的需求和補(bǔ)充過程會(huì)同時(shí)進(jìn)行，因此關(guān)于存貯狀態(tài)的變化曲線常常是上述兩類曲線的組合，對(duì)此將在7。2加以

9、討論。712 存貯系統(tǒng)運(yùn)營費(fèi)用 存貯論要解決的主要問題是：確定什么時(shí)間補(bǔ)充庫存，和每次補(bǔ)充的數(shù)量應(yīng)該是多少？我們稱多少時(shí)間補(bǔ)充一次以及每次補(bǔ)充多少的策略為存貯策略。存貯策略優(yōu)劣的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是單位時(shí)間內(nèi)的平均運(yùn)營費(fèi)用，因此有必要對(duì)運(yùn)營費(fèi)用的構(gòu)成進(jìn)行分析。對(duì)企業(yè)的存貯系統(tǒng)而言，運(yùn)營費(fèi)用包括下列各項(xiàng)費(fèi)用：（1）訂購費(fèi)用，指企業(yè)對(duì)外采購所花費(fèi)的費(fèi)用。包括采購人員的旅差費(fèi)，手續(xù)費(fèi)，檢驗(yàn)費(fèi)和電訊費(fèi)等。訂購費(fèi)用屬于一次性費(fèi)用，與訂購次數(shù)有關(guān)而與訂購數(shù)量無關(guān)。訂購費(fèi)用產(chǎn)生于原材料或在制品的補(bǔ)充。（2）生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用，是企業(yè)自行生產(chǎn)補(bǔ)足庫存所需支出的費(fèi)用。主要包括生產(chǎn)前的裝配費(fèi)用，更換模，夾具所需工時(shí)或添置某些專用

10、設(shè)備所花費(fèi)的費(fèi)用。生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用也屬一次性費(fèi)用，與生產(chǎn)的批次有關(guān)而與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)。生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用產(chǎn)生于在制品或成品的補(bǔ)充。（3）保管費(fèi)用，與存貯狀態(tài)和存貯時(shí)間直接有關(guān)的費(fèi)用，也稱存貯費(fèi)用。包括貨物占用資金應(yīng)付利息，使用倉庫建筑的租金或折舊，貨物管理費(fèi)用，貨物保管期間物品的流失，變質(zhì)和保險(xiǎn)費(fèi)等。保管費(fèi)用與存貯量的多少，存貯時(shí)間的長(zhǎng)短有關(guān)。（4）缺貨費(fèi)用，是存貯物品供不應(yīng)求所引起的損失費(fèi)用。如失去銷售機(jī)會(huì)的損失，停工待料的損失，以及不能履行合同而交納的罰款等。在不允許缺貨的情形下，可以設(shè)定缺貨損失費(fèi)用無窮大。（5）物品成本費(fèi)用，指對(duì)外訂購或內(nèi)部生產(chǎn)時(shí)直接和物品本身有關(guān)的費(fèi)用。如對(duì)外訂購時(shí)貨物本身的價(jià)格

11、，運(yùn)費(fèi)；內(nèi)部生產(chǎn)時(shí)產(chǎn)品的材料費(fèi)，加工費(fèi)等。物品成本費(fèi)用是可變費(fèi)用，與訂購數(shù)量或生產(chǎn)數(shù)量有直接關(guān)系。 最佳的存貯策略應(yīng)確定最佳的訂購（生產(chǎn)準(zhǔn)備）次數(shù)，和最佳的訂購（生產(chǎn)）數(shù)量，使上述5種費(fèi)用在單位時(shí)間內(nèi)的平均總費(fèi)用達(dá)到最小。但是由以上分析可知，次數(shù)和數(shù)量是一對(duì)矛盾。一般情況下，訂貨（生產(chǎn)準(zhǔn)備）次數(shù)減少，必然使每次訂購（生產(chǎn)）數(shù)量增加。減少次數(shù)固然可以降低訂購（生產(chǎn)準(zhǔn)備）費(fèi)用，但是訂購（生產(chǎn)）數(shù)量的增加卻使存貯量增多，從而導(dǎo)致更多的物品保管費(fèi)用。因此最優(yōu)存貯策略應(yīng)在次數(shù)和數(shù)量之間尋求某種平衡，使存貯系統(tǒng)運(yùn)營總費(fèi)用達(dá)到最小。713 存貯策略 如前所述，所謂存貯策略是決定一個(gè)存貯系統(tǒng)何時(shí)補(bǔ)充和補(bǔ)充多少

12、數(shù)量。何時(shí)補(bǔ)充是一個(gè)“期”的問題，而補(bǔ)充多少則是一個(gè)“量”的問題。管理者可以通過控制補(bǔ)充的期和量這兩個(gè)決策變量，來調(diào)節(jié)存貯系統(tǒng)的運(yùn)行，以達(dá)到最優(yōu)的運(yùn)行效果。在實(shí)際庫存理論中，常用的存貯策略有以下幾種類型：(1) t循環(huán)策略，每隔t時(shí)間補(bǔ)充存貯量Q。這里t稱為運(yùn)營周期，Q稱為補(bǔ)充批量，它們都是重要的決策變量。本策略也稱經(jīng)濟(jì)批量策略，適用于需求確定的存貯系統(tǒng)。(2)（s，S）策略，每當(dāng)存貯量xs時(shí)不補(bǔ)充，x s時(shí)補(bǔ)充存貯，補(bǔ)充量Q=S x。其中s是判斷補(bǔ)充與否的臨界值，S是存貯上限，或稱最大存貯量。本策略適用于需求隨機(jī)的存貯系統(tǒng)，需要隨時(shí)對(duì)存貯狀態(tài)進(jìn)行監(jiān)控，一旦存貯量小于臨界點(diǎn)s就進(jìn)貨，并將存貯量

13、補(bǔ)充到存貯上限S。這里s和S都是需要決策的變量。（3）（t，s，S）混合策略，每隔t時(shí)間檢查存貯量x，當(dāng)xs時(shí)不補(bǔ)充，x s時(shí)補(bǔ)充,補(bǔ)充量Q=S x。本策略也適用于需求隨機(jī)的存貯系統(tǒng)，但無需對(duì)存貯狀態(tài)進(jìn)行連續(xù)監(jiān)控，只需每隔一個(gè)固定周期檢查一次。固定周期可取作一年，一月或一周等。 最小存貯費(fèi)用條件下的存貯策略是本章研究的重點(diǎn)。確定存貯策略時(shí)，首先要把實(shí)際問題歸納為一個(gè)數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)模型的研究得出數(shù)量結(jié)論，當(dāng)然結(jié)論的正確與否還需通過實(shí)踐的檢驗(yàn)。 存貯模型大致可以分為兩類。一類是確定性模型，即模型中的有關(guān)變量都是確定性數(shù)值；另一類是隨機(jī)性模型，模型中含有隨機(jī)變量。本章將主要討論確定性存貯模型，同時(shí)

14、對(duì)需求為隨機(jī)變量的模型也作較詳細(xì)的介紹。72 確定性存貯模型 在討論確定性模型前，首先對(duì)一些常用符號(hào)的含義作必要的說明。 C：?jiǎn)挝粫r(shí)間平均運(yùn)營費(fèi)用（或稱單位時(shí)間平均總費(fèi)用）， R：?jiǎn)挝粫r(shí)間物品需求量（或稱需求速度）， P：?jiǎn)挝粫r(shí)間物品生產(chǎn)量（或稱生產(chǎn)速度）， K：物品單價(jià)（外部訂購）或單位物品成本費(fèi)用（內(nèi)部生產(chǎn)）， Q：訂貨量（外部訂購）或生產(chǎn)量（內(nèi)部生產(chǎn)），C1：?jiǎn)挝晃锲穯挝粫r(shí)間保管費(fèi)用（簡(jiǎn)稱單位保管費(fèi)用）， C2：?jiǎn)挝晃锲穯挝粫r(shí)間缺貨損失（簡(jiǎn)稱單位缺貨損失）， C3：訂購費(fèi)用（外部訂購）或生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用（內(nèi)部生產(chǎn)）， 以上定貨量（生產(chǎn)量）Q和訂購費(fèi)用（生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用）C3，都是對(duì)應(yīng)于一次訂購（

15、一次生產(chǎn)）而言的。72，1 模型1，不允許缺貨，且一次到貨。 建立模型前，需要作一些假設(shè)： 缺貨損失無窮大（即不允許缺貨）， 當(dāng)存貯量降至零時(shí)，可以瞬間得到補(bǔ)充（即一次到貨）， 需求是連續(xù)和均勻的，需求速度R是固定的常數(shù)， 每次訂貨量（生產(chǎn)量）Q不變，訂購費(fèi)用（生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用）C3不變。由于是一次到貨，所以模型1比較適用于外部訂購的情形。確定本模型的決策變量是訂購量Q和運(yùn)營周期（或稱訂購周期）t。在已知拖后時(shí)間的條件下還可以確定訂貨提前期。在內(nèi)部生產(chǎn)的場(chǎng)合，若供給也是一次到貨，那么相應(yīng)的存貯策略同樣成立。 為了進(jìn)行最優(yōu)決策，首先必須確定決策變量和運(yùn)營費(fèi)用之間的關(guān)系，即列出以決策變量Q和t為自變量

16、的運(yùn)營費(fèi)用函數(shù)。并利用求函數(shù)極值的方法求出最優(yōu)的訂購數(shù)量Q0和最佳的訂購周期t0，使單位時(shí)間的平均運(yùn)營費(fèi)用達(dá)到最小。 模型1存貯狀態(tài)的變化情況可用圖74表示：Q0tTt0斜率= -R 圖74 由圖74可知，在需求速度R已知的情況下，訂購量Q必須和運(yùn)營周期t內(nèi)的需求量相等，因此有關(guān)系式Q=Rt。 由于不允許缺貨，因此建立本模型時(shí)可以不考慮缺貨費(fèi)用。根據(jù)712 關(guān)于運(yùn)營費(fèi)用的分析可知，模型1的運(yùn)營費(fèi)用包括了保管費(fèi)用，訂購費(fèi)用和物品成本費(fèi)用三項(xiàng)。若考慮一個(gè)運(yùn)營周期t，那么在一個(gè)運(yùn)營周期t內(nèi)： 運(yùn)營費(fèi)用=保管費(fèi)用+訂購費(fèi)用+物品成本費(fèi)用 運(yùn)營周期t的時(shí)間單位可以取年，季，月或天等。若將上述等式兩端都除

17、以運(yùn)營周期t，則各項(xiàng)費(fèi)用成為單位時(shí)間的平均費(fèi)用。即在單位時(shí)間內(nèi)：平均運(yùn)營費(fèi)用C=平均保管費(fèi)用+平均訂購費(fèi)用+平均物品成本費(fèi)用易知：平均保管費(fèi)用=平均存貯量單位保管費(fèi)用， 平均訂購費(fèi)用， 平均物品成本費(fèi)用。由此可以推得模型1的單位時(shí)間平均運(yùn)營費(fèi)用函數(shù)： （71）上述函數(shù)為決策變量t的函數(shù)，其中 R,K,C1,C3都是已知常數(shù)。當(dāng)t取何值時(shí)，可使平均運(yùn)營費(fèi)用達(dá)到最??？利用微積分求極值的方法即可解出。令 ，可以推得 （72）即每隔t0訂購一次可使平均運(yùn)營費(fèi)用達(dá)到最小。同時(shí)可得最佳訂購數(shù)量 。 （73）（73）式稱為最優(yōu)經(jīng)濟(jì)批量公式。由（72）（73）可知，最佳訂購周期t0和最優(yōu)訂購數(shù)量Q0與單價(jià)K無

18、關(guān)，這是因?yàn)樵诠剑?1）中平均成本費(fèi)用RK為常數(shù)，因此在存貯模型的討論中常常把該項(xiàng)略去。公式（71）可改寫成 （74）公式（74）可用圖75表示。平均運(yùn)營費(fèi)用曲線在最佳訂購周期t0處達(dá)到最小值C0。當(dāng)t t0時(shí)，平均保管費(fèi)用大于平均訂購費(fèi)用；當(dāng)t = t0時(shí)，平均保管費(fèi)用等于平均訂購費(fèi)用，且使平均存貯費(fèi)用達(dá)到最小。C(t)C0t0t 圖75將t0代入（74），可得。即最低平均運(yùn)營費(fèi)用 （75）在平均運(yùn)營費(fèi)用函數(shù)（71）的討論中，我們把各項(xiàng)費(fèi)用鎖定在一個(gè)運(yùn)營周期t內(nèi)，由此推出以決策變量t為自變量的平均運(yùn)營費(fèi)用函數(shù)。如果我們改換一種思路，把各項(xiàng)費(fèi)用直接限定在一個(gè)單位時(shí)間（比如一年或一月等）內(nèi)，那

19、么在單位時(shí)間內(nèi)：.平均保管費(fèi)用=平均存貯量單位保管費(fèi)用， 平均訂購費(fèi)用=單位時(shí)間訂購次數(shù)訂購費(fèi)用，平均物品成本費(fèi)用=單位時(shí)間需求量單價(jià)。由此可以推得單位時(shí)間平均運(yùn)營費(fèi)用函數(shù)： （76） 這是以決策變量Q為自變量的函數(shù)，同樣以R,K,C1,C3為已知常數(shù)。令 ，可以推得最佳訂購批量 同時(shí)可得最佳訂購周期，結(jié)果與由公式（71）得出的相同。例1：某儀表廠今年擬生產(chǎn)某種儀表30000個(gè)。該儀表中有個(gè)元件需向儀表元件廠訂購。每次訂購費(fèi)用50元，該元件購價(jià)為每只0.5元，全年保管費(fèi)用為購價(jià)的20%。（1） 試求儀表廠今年對(duì)該元件的最佳存貯策略及費(fèi)用，（2） 如明年擬將這種儀表產(chǎn)量提高一倍，則所需元件的訂購

20、批量應(yīng)比今年增加多少？訂購次數(shù)又為多少？解：（1）確定以一年為時(shí)間單位，且知 R=30000只/年；C3=50元/次；K=0.5元/只；C1=0.2K=0.1元/只,年。 由此可得最佳經(jīng)濟(jì)批量 最佳訂購周期 今年最低運(yùn)營費(fèi)用 。（2） 明年儀表產(chǎn)量提高一倍，則R=60000只/年，其它已知條件不變，可得 因此所需元件訂購批量比今年增加7746 - 5477=2269（只） 全年訂購次數(shù) 。 比較n = 7和n = 8時(shí)的全年運(yùn)營費(fèi)用：n =7時(shí)，訂購周期t=1/7，年運(yùn)營費(fèi)用n =8時(shí)，訂購周期t=1/8，年運(yùn)營費(fèi)用， 比較兩者的年運(yùn)營費(fèi)用，取n = 8，即全年訂購8次，每次訂購批量60000

21、/8=7500只。72，2 模型2，不允許缺貨，且分批到貨。 模型1有一個(gè)假定條件是一次到貨，即每次進(jìn)貨時(shí)能瞬時(shí)全部入庫。但實(shí)際的存貯系統(tǒng)常常存在這樣一種情形，即所需貨物分批到貨，并按一定的速度入庫。因此模型2的假設(shè)條件與模型1相比，只需改寫第二條，即： 當(dāng)庫存降至零時(shí)，以一定的供給率P得到補(bǔ)充（或稱分批到貨）。 其它假設(shè)條件與模型1相同。模型2比較適合通過內(nèi)部生產(chǎn)補(bǔ)充存貯的情況，當(dāng)企業(yè)以內(nèi)部生產(chǎn)作為補(bǔ)充手段時(shí)，通常是按一定的生產(chǎn)速度P來補(bǔ)充庫存的，因此以下的討論將以內(nèi)部生產(chǎn)為主。在外部訂購的場(chǎng)合，若供給也是連續(xù)均勻進(jìn)行的，那么相應(yīng)的存貯策略同樣適用。 由于不允許缺貨，所以模型2的供給率（或生

22、產(chǎn)速度）P一定大于需求速度R，否則必將出現(xiàn)供不應(yīng)求而造成重大損失。若仍以t為運(yùn)營周期，以T為進(jìn)貨周期（或稱入庫期），那么生產(chǎn)批量Q=T P，且T P=t R。由于P R，所以T t.?？紤]一個(gè)運(yùn)營周期t，從庫存為零開始進(jìn)貨為起點(diǎn)，存貯量以P R的速度連續(xù)均勻地增加，至入庫期T結(jié)束為止，存貯量達(dá)到最大值S0=（P R）T ，此時(shí)進(jìn)貨過程結(jié)束，但需求過程則仍將持續(xù)下去，因此存貯量開始以需求速度R連續(xù)均勻地減少，直至庫存為零，完成一個(gè)運(yùn)營周期。模型2的存貯狀態(tài)的變化規(guī)律如圖76所示。Q0tTT斜率= -Rt斜率=P - R 圖76 仍以一個(gè)運(yùn)營周期t內(nèi)各項(xiàng)費(fèi)用為研究對(duì)象（略去物品成本費(fèi)用），易知在單

23、位時(shí)間內(nèi)：平均運(yùn)營費(fèi)用C = 平均保管費(fèi)用 + 平均生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用 即， 其中為運(yùn)營周期t內(nèi)的平均存貯量。由TP = tR，可以推得： （77） 此即模型2的單位時(shí)間平均運(yùn)營費(fèi)用函數(shù)。 令 可以推得最佳運(yùn)營周期 （78） 最佳生產(chǎn)批量 （79） 將t0代入（77）可得最低運(yùn)營費(fèi)用（710） 與模型1的最優(yōu)存貯策略公式（72）（73）相比，模型2的（78）（79）式多了一個(gè)因子，當(dāng)供給率很快，即P+時(shí)，此時(shí)模型2拓變成模型1，兩組公式完全相同。因此模型1是模型2當(dāng) P+時(shí)的特例。例2，設(shè)某工廠生產(chǎn)某種零件，每年需求量為18000個(gè)。該廠每月可生產(chǎn)3000個(gè)，每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為500元，每個(gè)零件每月

24、的保管費(fèi)用為0.15元。求每次生產(chǎn)的最佳批量Q0，和最低費(fèi)用C0。解：將單位時(shí)間統(tǒng)一為月。已知 R=18000個(gè)/年=1500個(gè)/月，P=3000個(gè)/月，C3=500元/次，C1=0.15元/個(gè).月。由公式. （78）最佳生產(chǎn)批量最低費(fèi)用例3，某廠為了滿足生產(chǎn)需要，定期向外單位訂購一種零件。該零件平均日需求量為100個(gè)，每天零件保管費(fèi)用為0.02元，訂購一次費(fèi)用為100元。（1）假如不允許缺貨，（2）假如供貨單位不能即時(shí)供應(yīng)，而是按一定的速度均勻供給，設(shè)每天供給量P=200個(gè)，試分別求經(jīng)濟(jì)批量Q0，最佳訂購周期t0。解（1）單位時(shí)間統(tǒng)一為天。 已知R=100個(gè)/天，C1=0.02元/個(gè).天，C

25、3=100元/次。 （2）已知 P=200個(gè) 72，3 模型3，允許缺貨，且一次到貨 前兩個(gè)模型都假設(shè)需求必須及時(shí)得到滿足，換句話說，缺貨費(fèi)用為無限大，因此不允許缺貨。但是在某些情況下，缺一點(diǎn)貨也不一定是壞事。因?yàn)槿必浛梢允蛊髽I(yè)少支付訂購費(fèi)用，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用，或保管費(fèi)用。若缺貨對(duì)客戶的需求影響不大，除了支付少量缺貨賠償費(fèi)之外，無其它損失，那么允許缺貨是可取的。一般情況下，若為了達(dá)到不允許缺貨而增加的費(fèi)用大于因缺貨而造成的損失費(fèi)用，那么就應(yīng)該允許缺貨。當(dāng)訂購貨物到達(dá)后，短缺部分可以得到補(bǔ)足。 模型3與模型1相比，只需把第1條假設(shè)改為： 允許缺貨，單位缺貨費(fèi)用為C2，即可，其它假設(shè)條件不變。仍以t為

26、運(yùn)營周期，運(yùn)營周期t可分為有貨期t1和無貨期t2兩個(gè)階段。在運(yùn)營周期初始時(shí)刻，即所訂購貨物到達(dá)時(shí)，首先必須補(bǔ)足前一階段無貨期所短缺的貨物，然后才能入庫，因此真正入庫部分S并不是訂購批量Q的全部，即S R，但由于必須補(bǔ)足缺貨，因此該階段的存貯仍保持為零。該階段生產(chǎn)的貨物除了補(bǔ)缺以外，還滿足了需求。生產(chǎn)量為P(t2 - t1)=Rt1 + R(t2 - t1)=Rt2； t2 t3：已補(bǔ)足缺貨，存貯量開始以P R的速度增加。t3達(dá)到最大存貯量。 最大存貯量S0=(P R)(t3 t2) =R(t t3)； t3 t：t3停止生產(chǎn)，存貯量以需求速度R減少，至t存貯恢復(fù)為零，又開始進(jìn)入缺貨期。 由上述

27、分析，可建立單位時(shí)間平均運(yùn)營費(fèi)用函數(shù)： 平均運(yùn)營費(fèi)用C= 平均保管費(fèi)用+平均生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用+平均缺貨費(fèi)用 因?yàn)樽畲蟠尜A量S0=(P R)(t3 t2) =R(t t3)，最大缺貨量B0=Rt1=(P R)(t2 t1)，所以 。代入平均存貯費(fèi)用函數(shù)，得 （717） 分別對(duì)時(shí)間參數(shù)t，t2求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)為零，可得： （718）由（718）第2式，得 ，代入（718）第2式，得 所以，最佳運(yùn)營周期 （719）最優(yōu)經(jīng)濟(jì)批量 （720）且，并由此可得：最大缺貨量 （721） 又因?yàn)?，所以最大存貯量（722） 最低費(fèi)用 （723） 由公式（719）（720）可知，若生產(chǎn)速度P+，則模型4拓變成模型2

28、；若單位缺貨費(fèi)用C2+，則模型4拓變成模型3；當(dāng)然若P+和C2+同時(shí)成立，則模型4成為最簡(jiǎn)單的模型1。由此可見，模型4是確定型存貯模型中最具普遍意義的一種模型。 例5，本章例3中，若供貨單位不能即時(shí)供應(yīng)，每天供應(yīng)量P=200個(gè)；同時(shí)假定允許缺貨，每個(gè)零件每天的缺貨損失是0.08元。求最優(yōu)訂購量Q0，訂購間隔時(shí)間t0，最優(yōu)缺貨量B0，單位時(shí)間總費(fèi)用C0。解：R=100個(gè)/天，P=200個(gè)/天，C1=0.02元/個(gè).天，C2=0.08元/個(gè).天，C3=100元/天， 72，5 價(jià)格有折扣的存貯模型 在上述四種模型中，都假設(shè)單位物品的成本費(fèi)用K是固定不變的，所以單位時(shí)間的平均物品成本費(fèi)用KR為確定的

29、常數(shù)，與確定最優(yōu)存貯策略t0，Q0無關(guān)，在討論中常常把該項(xiàng)費(fèi)用略去。但是在日常的經(jīng)濟(jì)生活中，物品的單價(jià)K往往與購買數(shù)量Q有關(guān)，即K=K(Q)，稱之為批量折扣。 批量折扣是供應(yīng)商采取的一種鼓勵(lì)用戶多訂貨的一種營銷策略。供應(yīng)商根據(jù)用戶訂貨量的多少規(guī)定不同的購價(jià)，訂貨量越多，購價(jià)越低。通常批量折扣函數(shù)K(Q)為定貨量的分段函數(shù)，其一般形式為：其中由于物品成本費(fèi)用K是定貨量Q的函數(shù)，因此在制訂確定性存貯模型的存貯策略時(shí)，必須考慮單位時(shí)間物品成本費(fèi)用K(Q)R。以下僅就不允許缺貨，且一次到貨的情形加以討論，其方法也適用于模型24。1 不允許缺貨，一次到貨，且批量只有一種折扣的情況設(shè)批量折扣函數(shù) 其中。則

30、單位時(shí)間內(nèi)：平均運(yùn)營費(fèi)用C=平均保管費(fèi)用+平均訂購費(fèi)用+平均物品成本費(fèi)用。如（76）式，上述各項(xiàng)費(fèi)用可用決策變量Q的函數(shù)表示：于是 （723） 上述函數(shù)為一個(gè)分段函數(shù)。 若令 ，易知和僅相差一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，它們具有相同的曲線圖形，位于的上方，且在同一點(diǎn)取得最小值。 根據(jù)與的關(guān)系，可由圖解法（如圖79）求出經(jīng)濟(jì)批量： （724）C1(Q)C2(Q)Q1 Q*Q1 Q* (a)C0C1(Q)C2(Q)C0Q* Q1 Q*Q1且C2(Q1)C1(Q*) (b)C0C1(Q)C2(Q)Q* Q1 Q* C1(Q*) (c) 圖79上述確定經(jīng)濟(jì)批量Q0的方法可總結(jié)為：（1） 如果，如圖79（a），則確定 ；

31、（2） 如果，則 若 ，如圖79（b），取 ， 若 ，如圖79（c），取 例6，某廠每年需要某種產(chǎn)品500個(gè)單位，每次訂購費(fèi)用100元，單位產(chǎn)品年保管費(fèi)用10元，不允許缺貨，產(chǎn)品單價(jià)K隨采購數(shù)量的不同而變化： 求經(jīng)濟(jì)批量。解：已知 R=500單位/年，C3=100元/次，C1=10元/單位.年 因?yàn)?150100，有必要比較 即，所以=150（單位）。不難發(fā)現(xiàn)，處理這類問題的關(guān)鍵是比較折扣點(diǎn)數(shù)量與，若折扣點(diǎn)數(shù)量 ，經(jīng)濟(jì)批量馬上可以求出，即=。否則就要比較相應(yīng)的平均存貯函數(shù)，取最小值對(duì)應(yīng)的批量值為經(jīng)濟(jì)批量Q0。 2， 不允許缺貨，一次到貨，且批量有多個(gè)折扣的情況。 設(shè)批量折扣函數(shù)為 其中。 則參

32、照批量只有一種折扣的情形，首先不考慮價(jià)格折扣，計(jì)算出曲線族共同的最小值點(diǎn)， 若，則經(jīng)濟(jì)批量= ，否則 若 ，則計(jì)算，然后取相應(yīng)這些存貯費(fèi)用中最小的那個(gè)為經(jīng)濟(jì)批量。見圖710C1(Q)C2(Q)Cm-1(Q)Cm(Q)Q1 Q2 Qm-1Q*Q1 Qi-1 Q* Qi QmC1(Q)Ci-1(Q)Ci(Q)Cm(Q)C0 圖710例7，一家快餐店每日需用食油16公斤，每訂購一次貨的訂購費(fèi)用為16元，每公斤油每天的保管費(fèi)為0.02元，食油的價(jià)格為每公斤5元，當(dāng)訂貨量超過200公斤(含200公斤)而不足500公斤時(shí)，每公斤的價(jià)格為4.8元，而訂貨量超過500公斤時(shí)，每公斤價(jià)格為4.7元。試確定最優(yōu)定

33、貨量。解：已知 R=16公斤/天，C3=16元/次，C1=0.02元/公斤.天，Q1=200公斤，Q2=500公斤，K1=5元/公斤，K2=4.8元/公斤，K3=4.7元/公斤， 價(jià)格折扣函數(shù) 因?yàn)镼* Q1，因此需比較， 的大?。?由于=80.08元最小，因此取=200公斤。73 隨機(jī)性存貯模型 在72所介紹的存貯模型中，假設(shè)需求都是連續(xù)和均勻的，需求速度R是一個(gè)固定的常數(shù)，因而稱之為確定性存貯模型。對(duì)于確定性存貯模型可采用t循環(huán)策略，即每隔t0時(shí)間補(bǔ)充一次，存貯量為Q0，這樣可使平均存貯費(fèi)用達(dá)到最小。但是在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)的需求是不能事先確定的，它們是隨機(jī)變量，可以用某一個(gè)概率分布來描述

34、。例如冬季取暖用煤的存貯問題，在秋季需要決定煤的訂購量，但是冬季用煤的需求顯然是不確定的，它受到氣候變化的影響。但是我們可以根據(jù)以往的氣侯和用煤量數(shù)據(jù)以及當(dāng)年的氣象預(yù)測(cè)，估計(jì)出用煤量的概率分布，進(jìn)而建立合理的存貯模型。隨機(jī)性存貯模型在實(shí)際生活中是很多的，如食品廠準(zhǔn)備在中秋節(jié)生產(chǎn)多少月餅，才能使總盈利達(dá)到最大等。從本節(jié)開始我們討論需求為隨機(jī)變量，但其概率分布為已知的單時(shí)期隨機(jī)性存貯模型，并將從需求是離散隨機(jī)和連續(xù)隨機(jī)兩種情形加以討論。由于需求r是隨機(jī)變量，因此與存貯系統(tǒng)運(yùn)營費(fèi)用有關(guān)的各項(xiàng)費(fèi)用將用隨機(jī)變量r的函數(shù)來表示。在確定性存貯模型中，評(píng)價(jià)存貯策略優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)是取最優(yōu)經(jīng)濟(jì)批量Q0和最佳運(yùn)營周期t

35、0，使平均運(yùn)營費(fèi)用達(dá)到最小。但是在單時(shí)期隨機(jī)性存貯模型中，運(yùn)營周期已經(jīng)確定，因此評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)將是取最優(yōu)訂購量（或生產(chǎn)量）Q*，使單時(shí)期的期望損失費(fèi)用達(dá)到最小，或使期望獲利達(dá)到最大。在單時(shí)期存貯模型中，訂購費(fèi)用（或生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用）為固定常數(shù)C3，因此在確定最優(yōu)訂購量Q*（或生產(chǎn)量）時(shí)可將其略去。731 模型5，單時(shí)期，需求是離散隨機(jī)的當(dāng)需求是離散型隨機(jī)變量時(shí)，如何建立合理的單時(shí)期存貯模型？以下通過一個(gè)著名的報(bào)童問題引入相應(yīng)的結(jié)論。 報(bào)童問題的背景是這樣的：報(bào)童每天售報(bào)數(shù)量是一個(gè)隨機(jī)變量。報(bào)童每售出一份報(bào)紙可以賺C2元，如果報(bào)紙未能售出，則每份賠C1元。每天售出報(bào)紙的數(shù)量r的概率P( r )根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)

36、是已知的。問報(bào)童每天應(yīng)準(zhǔn)備多少份報(bào)紙為最佳？ 可以設(shè)想，報(bào)童的目標(biāo)是選擇最佳的每天訂購量，使因供大于求而受到的期望滯銷損失，和因供不應(yīng)求而造成的期望缺貨損失的兩者之和達(dá)到最小。 設(shè)報(bào)童每天訂購報(bào)紙的數(shù)量為，則每天 期望損失費(fèi)用 = 期望滯銷損失 + 期望缺貨損失 當(dāng)供大于求時(shí)，需求量不超過訂購量，即 0 r ，可推得 期望滯銷損失 =； 同樣，若供不應(yīng)求時(shí)，需求量超過訂購量，即 r P，即單位缺貨損失大于單位售價(jià)時(shí)，單時(shí)期期望運(yùn)營費(fèi)用可推得 （734）模型5和模型6都解決單時(shí)期的最優(yōu)訂貨量問題。如果上一時(shí)期未能出售的貨物數(shù)量為I ，則可作為本時(shí)期的存貯量。利用（731）（733）或（734）求

37、出，若 I ，本時(shí)期不需定貨 I，則定貨量= - I。此存貯策略可稱為定期訂貨，訂貨量不定的存貯策略，常用以解決隨機(jī)性存貯模型。 例10，某批發(fā)站供應(yīng)一種季節(jié)性很強(qiáng)的產(chǎn)品，該產(chǎn)品在銷售季節(jié)（一個(gè)時(shí)期）中的需求量r服從指數(shù)分布： 批發(fā)站在時(shí)期開始時(shí)一次進(jìn)貨，進(jìn)貨價(jià)是每件10元，市場(chǎng)上的售價(jià)是35元，賣剩產(chǎn)品的保管費(fèi)是每件1元。批發(fā)站必須保證客戶定貨要求，當(dāng)批發(fā)站進(jìn)貨不足時(shí)，沒有別 的進(jìn)貨榘道只有從市場(chǎng)上以零售價(jià)進(jìn)貨。求批發(fā)站的最優(yōu)進(jìn)貨量。 解：這是單時(shí)期，無訂貨費(fèi)，需求連續(xù)隨機(jī)的存貯模型，已知 K=10元/件，P=35元/件，C1=1元/件 因?yàn)?所以 ，即 推得=11856（件）。比期望需求E(r) =10000多訂購1856件。 習(xí)題七：1， 某企業(yè)每天需用某種能源100