二階與三階行列式-線性代數(shù)

1、線性代數(shù),數(shù)學(xué)好玩. 陳省身,但得此中味,勿為醒者傳. 李白,武林高手的最高境界:無(wú)招,數(shù)學(xué)的好玩之處,主要在于數(shù)學(xué)中有些極具實(shí)用意義的內(nèi)容,包含了深刻的奧妙,發(fā)人深思,使人驚訝,比如以數(shù)學(xué)家Euler命名的一個(gè)公式,其中i是虛數(shù)單位,是圓周率,e是一個(gè)無(wú)理數(shù),主要內(nèi)容,第一章 行列式 第二章 矩陣 第三章 向量組的線性相關(guān)性 第四章 線性方程組 第五章 矩陣對(duì)角化 第六章 二次型,參考書(shū)目,同濟(jì)大學(xué) 線性代數(shù) 高等教育出版社 湘潭大學(xué) 線性代數(shù) 科學(xué)出版社 北京大學(xué) 高等代數(shù) 高等教育出版社（第三版,線性代數(shù)簡(jiǎn)史,線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支。我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程及線性

2、運(yùn)算的代數(shù)就叫做線性代數(shù),在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣,行列式和矩陣在十九世紀(jì)受到很大的注意,而且寫(xiě)了成千篇關(guān)于這兩個(gè)課題的文章,向量的概念,從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看不過(guò)是有序三元數(shù)組的一個(gè)集合,然而它以力或速度作為直接的物理意義,并且數(shù)學(xué)上用它能立刻寫(xiě)出物理上所說(shuō)的事情,線性代數(shù)學(xué)科和矩陣?yán)碚撌前殡S著線性系統(tǒng)方程系數(shù)研究而引入和發(fā)展的,行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來(lái)的，他在 1683 年寫(xiě)了一部叫做解伏題之法的著作，意思是 “ 解行列式問(wèn)題的方法 ” ，書(shū)里對(duì)行列式的概念和它的展開(kāi)已經(jīng)有了清楚的敘述,歐洲第一個(gè)提出行列式概念的是德國(guó)的數(shù)學(xué)家，微積分學(xué)奠基人之一萊布尼茲

3、（Leibnitz,1693年,1750 年克萊姆（ Cramer）發(fā)表了求解線性系統(tǒng)方程的重要基本公式（既人們熟悉的 克萊姆法則,1764 年 ,貝佐特 (Bezout) 把確定行列式每一項(xiàng)的符號(hào)的手續(xù)系統(tǒng)化了。對(duì)給定了含 n 個(gè)未知量的 n 個(gè)齊次線性方程 , Bezout 證明了系數(shù)行列式等于零是這方程組有非零解的條件,范德蒙( Vandermonde ) 是第一個(gè)對(duì)行列式理論進(jìn)行系統(tǒng)的闡述(即把行列式理論與線性方程組求解相分離)的人。并且給出了一條法則，用二階子式和它們的余子式來(lái)展開(kāi)行列式。就對(duì)行列式本身進(jìn)行研究這一點(diǎn)而言，他是這門(mén)理論的奠基人,拉普拉斯 (Laplace) 在 177

4、2 年的論文對(duì)積分和世界體系的探討中 , 證明了 Vandermonde 的一些規(guī)則 , 并推廣了他的展開(kāi)行列式的方法 , 用 r 行中所含的子式和它們的余子式的集合來(lái)展開(kāi)行列式，這個(gè)方法現(xiàn)在仍然以他的名字命名,德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比（ Jacobi ）也于 1841 年總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論,另一個(gè)研究行列式的是法國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家 柯西 (Cauchy),他大大發(fā)展了行列式的理論，在行列式的記號(hào)中他把元素排成方陣并首次采用了雙重足標(biāo)的新記法，與此同時(shí)發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式及改進(jìn)并證明了 Laplace 的展開(kāi)定理,高斯（Gauss）大約在 1800 年提出了高斯消元法并用它解決了天體計(jì)算和后

5、來(lái)的地球表面測(cè)量計(jì)算中的最小二乘法問(wèn)題。（這種涉及測(cè)量、求取地球形狀或當(dāng)?shù)鼐_位置的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支稱(chēng)為測(cè)地學(xué)。,雖然高斯由于這個(gè)技術(shù)成功地消去了線性方程的變量而出名，但早在幾世紀(jì)中國(guó)人的手稿中就出現(xiàn)了解釋如何運(yùn)用“高斯”消去的方法求解帶有三個(gè)未知量的三方程系統(tǒng)。在當(dāng)時(shí)的幾年里，高斯消去法一直被認(rèn)為是測(cè)地學(xué)發(fā)展的一部分，而不是數(shù)學(xué),矩陣代數(shù)的豐富發(fā)展，人們需要有合適的符號(hào)和合適的矩陣乘法定義。二者要在大約同一時(shí)間和同一地點(diǎn)相遇,1848 年英格蘭的西爾維斯特(J.J.Sylvester)首先提出了矩陣這個(gè)詞，它來(lái)源于拉丁語(yǔ)，代表一排數(shù),1855年矩陣代數(shù)得到了凱萊(Arthur Cayley)的工

6、作培育。Cayley研究了線性變換的組成并提出了矩陣乘法的定義，使得復(fù)合變換ST的系數(shù)矩陣變?yōu)榫仃嘢和矩陣T的乘積。他還進(jìn)一步研究了那些包括矩陣逆在內(nèi)的代數(shù)問(wèn)題,數(shù)學(xué)家試圖研究向量代數(shù)，但在任意維數(shù)中并沒(méi)有兩個(gè)向量乘積的自然定義,第一個(gè)涉及一個(gè)不可交換向量積（即 v w 不等于 w v ）的向量代數(shù)是由格拉斯曼(Hermann Grassmann) 在1844年他的線性擴(kuò)張論一 書(shū)中提出的。 他的觀點(diǎn)還被引入一個(gè)列矩陣和一個(gè)行矩陣的乘積中，結(jié)果就是現(xiàn)在稱(chēng)之為秩數(shù)為 1 的矩陣，或簡(jiǎn)單矩陣,19 世紀(jì)末美國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家吉布斯( Willard Gibbs )發(fā)表了關(guān)于向量分析基礎(chǔ) 的著名論述,其

7、后英國(guó)物理學(xué)家狄拉克 ( P. A. M. Dirac 1902-1984)提出了行向量和列向量的乘積為標(biāo)量,矩陣的發(fā)展是與線性變換密切相連的,現(xiàn)代向量空間的定義是由皮亞諾( Peano )于 1888 年提出的,到 19 世紀(jì)它還僅占線性變換理論形成中有限的空間,我們習(xí)慣的列矩陣和向量都是在 20 世紀(jì)由物理學(xué)家給出的,二次世界大戰(zhàn)后隨著現(xiàn)代數(shù)字計(jì)算機(jī)的發(fā)展，矩陣又有了新的含義，特別是在矩陣的數(shù)值分析等方面。 由于計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，許多實(shí)際問(wèn)題可以通過(guò)離散化的數(shù)值計(jì)算得到定量的解決。于是作為處理離散問(wèn)題的線性代數(shù)，成為從事科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)的科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),阿貝爾(Abel

8、) 與伽羅瓦(Galois,挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾(1802.8.51829.4.6)，以證明五次元方程的根式解的不可能性而聞名,法國(guó)數(shù)學(xué)家厄米特（Hermite 18221901）在談到阿貝爾的貢獻(xiàn)時(shí)曾說(shuō)過(guò)：“阿貝爾留下的工作，可以使以后的數(shù)學(xué)家足夠忙碌150年,在和阿貝爾同時(shí)期的一個(gè)法國(guó)少年讀到了他的著作，于是在不到20歲的時(shí)候在代數(shù)方程論推陳出新創(chuàng)立了一門(mén)新的數(shù)學(xué)理論伽羅瓦理論，這個(gè)發(fā)現(xiàn)者伽羅瓦還建立了群論的基礎(chǔ)理論,法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦(1811.10.25-1832.5.31)，與阿貝爾并稱(chēng)為現(xiàn)代群論的創(chuàng)始人,伽羅瓦理論是當(dāng)代代數(shù)與數(shù)論的基本支柱之一。它直接推論的結(jié)果十分豐富,3. 他解決了古

9、代三大作圖問(wèn)題中的兩個(gè)：“不能任意三等分角”，“倍立方不可能,2. 它漂亮地證明高斯的論斷：若尺規(guī)作圖能作出正p邊形，p為質(zhì)數(shù)且此同時(shí),1. 它系統(tǒng)化地闡釋了為何五次以上之方程式?jīng)]有公式解，而四次以下有公式解,第一章 行列式,第一節(jié) 二階與三階行列式,用消元法解二元線性方程組,一、二階行列式的引入,其中,是未知量，其它字母是已知量,方程組的解為,由方程組的四個(gè)系數(shù)確定,由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱(chēng)行、豎排 稱(chēng)列）的數(shù)表,定義,即,主對(duì)角線,副對(duì)角線,對(duì)角線法則,二階行列式的計(jì)算,其中元素 aij 的第一個(gè)下標(biāo) i 為行指標(biāo)，第二個(gè)下標(biāo) j 為列指標(biāo)。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列,若記,對(duì)于二元線性方程組,系數(shù)行列式,則二元線性方程組的解為,注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式,例1,解,二、三階行列式,定義,記,6）式稱(chēng)為數(shù)表（5）所確定的三階行列式,1)沙路法,三階行列式的計(jì)算,2)對(duì)角線法則,注意 紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三 元素的乘積冠以負(fù)號(hào),說(shuō)明1 對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式,如果三元線性方程組,的系數(shù)行列式,利用三階行列式求解三元線性方程組,若記,或,記,即,得,得,則三元線性方程組的解為,是將D的第i列換成右端項(xiàng)得到,例,解,按對(duì)角