桿件結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算.ppt

1、6.5 能量法基礎(chǔ),1、變形是指結(jié)構(gòu)原有形狀的變化。 2、位移是指某點(diǎn)位置或某截面位置和方位的移動。位移包括線位移和角位移兩種。 1）線位移是指結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)沿直線方向相對于原位置移動的距離，結(jié)構(gòu)上兩點(diǎn)之間沿兩點(diǎn)連線方向相對位置的改變量，稱為相對線位移； 2）角位移是指桿件某截面相對于原位置轉(zhuǎn)動的角度，結(jié)構(gòu)上兩個(gè)截面相對轉(zhuǎn)動的角度稱為相對角位移。,變形和位移,6.5.1 作用在彈性桿件上的力所作的功,外力的作用下將產(chǎn)生變形，在這一過程中，外力將在桿件相應(yīng)的位移上作功。 外力作功分為常力作功和變力作功兩種形式。,1、常力功 當(dāng)桿件位移發(fā)生之前，力已經(jīng)存在，且位移產(chǎn)生過程中，作用力不發(fā)生變化，則此時(shí)力

2、所作的功為常力功。 等于該力的大小與其作用點(diǎn)沿力方向相應(yīng)位移的乘積。 2、變力功 當(dāng)彈性桿件在力的作用下所產(chǎn)生的位移，隨力和變形的增加而增加時(shí)，力所作的功為變力功。,6.5.2 桿件的彈性應(yīng)變能,彈性體在外力的作用下將產(chǎn)生彈性變形，此時(shí)，外力所作的功將轉(zhuǎn)變?yōu)閮Υ嬗趶椥泽w內(nèi)的能量。而當(dāng)外力逐漸減小時(shí)，彈性體的變形可逐漸恢復(fù)，儲存在體內(nèi)的能量被釋放而作功。 這種因彈性體變形而儲存的能量稱為彈性應(yīng)變能。 儲存于彈性體內(nèi)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力所作的功。,若軸力,沿軸線為變量，,的微段桿內(nèi)所儲存的應(yīng)變能,梁彎曲時(shí)的應(yīng)變能,則可先計(jì)算長為,6.5.3 互等定理,1、功的互等定理,能量守恒原理，可推導(dǎo)得出

3、線性彈性體的互等定理，常用的是功的互等定理和位移互等定理。,力系,在力系,引起的位移上所作的功，等于力系,在力系,引起的位移上所作的功。,推導(dǎo)：,2、位移互等定理,當(dāng),時(shí)，所產(chǎn)生的位移,稱為單位位移，特用,來表示，則此時(shí)的位移互等定理可寫成,在彈性范圍內(nèi),彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄 的能量,稱為彈性變形能,簡稱變形能.,一、能量法,三、變形能,二、外力功,固體在外力作用下變形,引起力作用點(diǎn)沿力作用方向位移, 外力因此而做功,則成為外力功.,利用功能原理 V = W 來求解可變形固體的位移,變形和內(nèi)力等的方法.,總結(jié),可變形固體在受外力作用而變形時(shí),外力和內(nèi)力均將作功. 對于彈性體,

4、不考慮其他能量的損失,外力在相應(yīng)位移上作的功,在數(shù)值上就等于積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能.,V = W,四、功能原理,五、桿件變形能的計(jì)算,1.軸向拉壓的變形能,此外力功的增量為：,當(dāng)拉力為F1 時(shí),桿件的伸長為l1 當(dāng)再增加一個(gè)dF1時(shí),相應(yīng)的變形 增量為d(l1),積分得:,根據(jù)功能原理,當(dāng)軸力或截面發(fā)生變化時(shí):,V= W , 可得以下變形能表達(dá)式,當(dāng)軸力或截面連續(xù)變化時(shí)：,2.扭轉(zhuǎn)桿內(nèi)的變形能,或,純彎曲,橫力彎曲,3.彎曲變形的變形能,4.組合變形的變形能,截面上存在幾種內(nèi)力, 各個(gè)內(nèi)力及相應(yīng)的各個(gè)位移相互獨(dú)立, 力獨(dú)立作用原理成立, 各個(gè)內(nèi)力只對其相應(yīng)的位移做功.,六、變形能的普遍表達(dá)式,F

5、-廣義力(包括力和力偶),-廣義位移 (包括線位移和角位移),B,C,假設(shè)廣義力按某一比例由零增致最后值對應(yīng)的廣義位移也由零增致最后值.,對于線性結(jié)構(gòu),位移與荷載之間是線性關(guān)系，任一廣義位移,例如 2可表示為,C1F1,C2F2,C3F3 分別表示力F1 , F2, F3 在 C 點(diǎn)引起的豎向位移.,C1,C2,C3 是比例常數(shù).,2 與 F2 之間的關(guān)系是線性的.,同理,1 與 F1, 3 與F3 之間的關(guān)系也是線性的.,在整個(gè)加載過程中結(jié)構(gòu)的變形能等于外力的功, 克拉貝隆原理（只限于線性結(jié)構(gòu)）,七、變形能的應(yīng)用,1.計(jì)算變形能,2.利用功能原理計(jì)算變形,例題1 試求圖示懸臂梁的變形能,并利

6、用功能原理求自由端B的撓度.,解：,由V=W 得,例題2 試求圖示梁的變形能,并利用功能原理求C截面的撓度.,解：,由V=W 得,例題3 拉桿在線彈性范圍內(nèi)工作.抗拉剛度EI ,受到F1和F2 兩個(gè)力作用.,若先在 B 截面加 F1, 然后在 C 截面加 F2;,若先在 C 截面加 F2, 然后在 B 截面加 F1.,分別計(jì)算兩種加力方法拉桿的應(yīng)變能.,（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2,（a）在 B 截面加 F1, B截面的位移為,外力作功為,（b）再在C上加 F2,C截面的位移為,F2 作功為,（c）在加F2 后,B截面又有位移,在加 F2 過程中 F1 作功（常力作功

7、）,所以應(yīng)變能為,（2）若先在C截面加F2 ,然后B截面加F1.,（a）在C截面加F2 后,F2 作功,（b） 在B截面加F1后,F1作功,（c）加 F1引起 C 截面的位移,在加F1過程中F2作功（常力作功）,所以應(yīng)變能為,注意：,（1） 計(jì)算外力作功時(shí),注意變力作功與常力作功的區(qū)別.,（2）應(yīng)變能V只與外力的最終值有關(guān),而與加載過程和加載次序無關(guān).,解: 梁中點(diǎn)的撓度為:,梁右端的轉(zhuǎn)角為:,梁的變形能為:,例題4,以彎曲變形為例證明 應(yīng)變能V只與外力的最 終值有關(guān),而與加載過程 和加載次序無關(guān).,先加力 F 后,再加力偶 Me,（1）先加力F后,C 點(diǎn)的位移,力F 所作的功為,（2）力偶由

8、零增至最后值 Me,B 截面的轉(zhuǎn)角為,力偶 Me 所作的功為,先加上的力F所作的功為,C截面的位移為,F與力偶Me所作的功為,1、結(jié)構(gòu)材料處于彈性工作階段，服從胡克定律，即應(yīng)力應(yīng)變成線性關(guān)系。 2、結(jié)構(gòu)滿足小變形假設(shè)，在建立平衡方程時(shí)，仍然可用結(jié)構(gòu)原有幾何尺寸進(jìn)行計(jì)算。 3、結(jié)構(gòu)各部分之間為理想聯(lián)結(jié)，不計(jì)摩擦阻力影響。,6.6 單位荷載法,6.6.1 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算假定,滿足上述條件的理想化結(jié)構(gòu)體系，其位移與荷載之間為線性關(guān)系，稱為線性變形體系，其位移計(jì)算可以應(yīng)用疊加原理。,k,k,6.6.2 單位荷載法,1、虛擬狀態(tài)的選取,欲求結(jié)構(gòu)在荷載作用下的指定位移，須取相應(yīng)的虛擬狀態(tài)。即取同一結(jié)構(gòu)，在要

9、求位移的地方，沿著要求位移的方位虛加單位荷載：,1）欲求一點(diǎn)的線位移，加一個(gè)單位集中力,2）欲求一處的角位移，加一個(gè)單位集中力偶,3）欲求兩點(diǎn)的相對線位移，在兩點(diǎn)的連線 上加一對指向相反的單位集中力,4）欲求兩處的相對角位移，加一對指向相 反的單位集中力偶,5）欲求桁架某桿的角位移在桿的兩端加一 對平行、反向的集中力，兩力形成單位力 偶。力偶臂為d ，每一力的大小為1/d,力和力偶統(tǒng)稱為廣義力，,單位廣義力用,=1表示,線位移和角位移統(tǒng)稱廣義位移，用表示,單位廣義力有截然相反的兩種設(shè)向，計(jì)算 出的廣義位移則有正負(fù)之分：,正值表示廣義位移的方向與廣義力所設(shè)的指向相同,負(fù)值表示廣義位移的方向與廣義

10、力所設(shè)的指向相反,2、單位荷載法計(jì)算位移的主要步驟為：,(1)沿?cái)M求位移的位置和方向加設(shè)相應(yīng)的單位荷載； (2)根據(jù)靜力平衡條件，求出在所設(shè)單位荷載下結(jié)構(gòu)的彎矩； (3)根據(jù)靜力平衡條件，計(jì)算在荷載作用下結(jié)構(gòu)的彎矩； (4)代入位移計(jì)算公式中計(jì)算位移。,3、各類桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移公式,（1）梁和剛架,梁式桿的位移中彎矩的影響是主要的 ，位移計(jì)算公式中取第一項(xiàng)便具有足夠的工程精度,（2）桁架,各桿為鏈桿，而且是同材料的等直桿。桿 內(nèi)只有軸力，且處處相等。因而只取公式 中的第二項(xiàng)并簡化為實(shí)用的形式,（3）組合結(jié)構(gòu),既有梁式桿，又有鏈桿，取用公式中的前兩項(xiàng),（4）拱,一般計(jì)軸力、彎矩的影響，

11、剪切變形的影響忽略不計(jì),4、靜定梁的位移計(jì)算,計(jì)算步驟為,（1）設(shè)虛擬狀態(tài)；,（2）計(jì)算,（3）用梁的位移計(jì)算公式計(jì)算位移。,例1 求圖所示簡支梁上力點(diǎn)的作用點(diǎn)的豎向位移和轉(zhuǎn)角。EI為常數(shù)。,左段,右段,右段,當(dāng),時(shí)，,左段,左段,右段,這里單位力偶,的方向是任選的。,取正值，表明轉(zhuǎn)角的方向與單位力偶的方向相同；,取負(fù)值，表明轉(zhuǎn)角的方向與單位力偶的方向相反；,5、靜定桁架的位移計(jì)算,計(jì)算步驟為,（1）設(shè)虛擬狀態(tài)；,（2）計(jì)算,（3）用桁架的位移計(jì)算公式計(jì)算位移。,解,（1）設(shè)虛擬狀態(tài)（如上圖b所示）,（2）計(jì)算,（標(biāo)于圖 b.a ）,（3）代公式求C點(diǎn)的豎向位移,例2 圖示桁架各桿的EA相等，

12、求C 結(jié)點(diǎn)的豎向位移,6.7圖乘法,6.7.1 圖乘法原理,1、圖乘法的適用條件：,（1）桿段的軸線為直線 （2）桿段的彎曲剛度EI為常數(shù),直梁和剛架的位移公式則為,（3） 圖和 圖中至少有一個(gè)直線圖形,2圖乘法原理,圖乘法求位移的一般表達(dá)式為,注意：,3.圖乘法的步驟,1 設(shè)虛擬狀態(tài)； 2 畫 圖； 圖； 3 圖乘求位移。,1 應(yīng)取自直線圖中 2 若 與 在桿件的同側(cè), 取正值，反之,取負(fù)值。 3 如圖形較復(fù)雜，可分解為簡單圖形。,結(jié)論：,當(dāng)滿足三個(gè)條件時(shí)，位移等于兩彎矩圖形中曲線圖形的面積乘以其形心所對應(yīng)的直線圖形的縱坐標(biāo)，再除以EI。,6.7.2 幾個(gè)規(guī)則圖形的面積和形心位置,b,幾中常

13、見圖形的面積和形心的計(jì)算公式,a,l,h,三角形,C,C,l,h,頂點(diǎn),二次拋物線,l,h,頂點(diǎn),c,N 次拋物線,l,h,頂點(diǎn),c,二次拋物線,3l/4,l/4,1、應(yīng)用條件 桿為直桿，EI為常數(shù)，兩個(gè)圖形中至少有一個(gè)是沿著 的整個(gè)長度為一直線變化的圖形，縱坐標(biāo) 取自該直線圖中。 2、正負(fù)號規(guī)則 面積 與縱坐標(biāo) 在桿的同側(cè)時(shí)，乘積 取正號；否則取負(fù)號。,6.7.3 應(yīng)用圖乘法時(shí)的幾個(gè)具體問題,3、分段計(jì)算 (1)若用來選取縱坐標(biāo) 的圖形是由幾段直線組成的折線，則應(yīng)分段計(jì)算。 (2)桿件各段有不同的EI，則應(yīng)在EI變化處分段并按分段進(jìn)行圖乘。,4.圖形的分解疊加計(jì)算,當(dāng)圖形的面積和形心不便確定

14、時(shí)，可以將其分解成幾個(gè)簡單的圖形，分別與另一圖形相應(yīng)的縱坐標(biāo)相乘。,梯-梯同側(cè)組合：,梯-梯同側(cè)組合：,梯-梯異側(cè)組合,由區(qū)段疊加法作的彎矩圖 ，其彎矩圖可以看成一個(gè)梯形和一個(gè)規(guī)則拋物線圖形的疊加 。,曲-折組合,階梯形截面桿,解,圖分別如圖 (b).(c)所示。,BC 段的MP圖是 標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線；,AB段的MP圖 較復(fù)雜，,但可將其分解為 一個(gè)三角形和一 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物 線圖形 。,例1 試求圖a所示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移,CV。梁的EI=常數(shù),由圖乘法得,代入以上數(shù)據(jù),于是,例2 試求圖a所示伸臂梁C點(diǎn)的豎向位移 cv,解,荷載彎矩圖和單位彎矩圖如圖 b c所示。,在AB段, MP和,圖均

15、是三角形；,在BC段，MP圖,可看作是由B.C 兩端的彎矩豎標(biāo)所連成的三角形與相應(yīng)簡支梁在均布荷載作用下的標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖，即圖b中虛線與曲線之間包含的面積疊加而成。,將上述各部分分別圖乘再疊加，即得,例3,試求圖 (a)所示剛架結(jié)點(diǎn)B的,BH,水平位移,設(shè)各桿為矩形截面，截面尺,寸為bxh，慣性矩 l= ,E為常數(shù)，只,考慮彎矩變形的影響。,解,先作出MP圖和,圖,分別如圖 (b)(c)所示。,應(yīng)用圖乘法求得結(jié)點(diǎn)B的水平位移為：,例題4 均布荷載作用下的簡支梁,其 EI 為常數(shù). 求跨中點(diǎn)的撓度.,A,B,C,F,例題5 圖示梁,抗彎剛度為EI,承受均布載荷q及集中力F作用. 用圖乘法求:集中力

16、作用端撓度為零時(shí)的F值；,F,C,A,B,a,q,F,C,A,B,解：,a,a,q,例題6 圖示開口剛架,EI為常數(shù).求沿F力作用線方向的相對線位移AB .,a,a,a/2,a/2,A,B,F,F,解：,Fa/2,a/2,Fa/2,Fa/2,a/2,a/2,例題7 圖示剛架,EI為常數(shù). 求A截面的水平位移AH,B,A,a,a,a,qa2/2,解：,a,qa2/2,例題8 拐桿如圖,A處為一軸承,允許桿在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動,但不能上下移動,已知:E=210GPa,G=0.4E,求B點(diǎn)的垂直位移.,5,A,300,B,500,解:（1）畫單位載荷圖,5,A,300,B,500,（3）變形,（2）求內(nèi)

17、力,作業(yè) 6.2-6.3、 6.5、6.7、6.9-6.13、6.15,第6章 桿件結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算復(fù)習(xí),一、結(jié)構(gòu)位移的定義,結(jié)構(gòu)在荷載或其它因素作用下，會發(fā)生變形。由于變形，結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的位置將會移動，桿件的橫截面會轉(zhuǎn)動，這些移動和轉(zhuǎn)動稱為結(jié)構(gòu)的位移。,二、位移的分類,位移,線位移：截面形心的直線移動距離,角位移：截面的轉(zhuǎn)角,位移,絕對位移,相對位移,廣義位移,三、位移舉例,A 點(diǎn)的線位移,水平線位移,豎向線位移,截面A 的角位移,C、D 兩點(diǎn)的水平相對線位移,A、B兩個(gè)截面的相對轉(zhuǎn)角,四、引起位移的原因,一般有：荷載（如前兩剛架）、溫度改變（如圖a）、支座移動（如圖b）材料收縮、制造誤差等,五

18、、功的互等定理,ij的腳標(biāo)表示：i-指示位移發(fā)生的地點(diǎn)和沿著力方向； J-指示產(chǎn)生位移的力及其作用位置。（結(jié)果、原因） 21-2-此位移發(fā)生在點(diǎn)2沿著F2的方向； -1-此位移是作用在點(diǎn)1的力F1引起的。,第一狀態(tài)下所做的功：,第二狀態(tài)下所做的功：,比較，得,V1=V2,即,一般形式為,應(yīng)變能V只與外力的最終值有關(guān),而與加載過程和加載次序無關(guān).,因此得到功的互等定理：,第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的(外力虛)功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的(外力虛)功。,六、位移互等定理,條件：在結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)中都只作用一個(gè)荷載， 且為單位荷載。,單位荷載所引起的位移稱為位移系數(shù)

19、，用,表示（圖a.b）,根據(jù)功的互等定理,即,這就是位移互等定理：,第二個(gè)單位力所引起的第一個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向的位移，等于第一個(gè)單位力所引起的第二個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向的位移。,上述定理中，單位力可以是廣義單位力，相應(yīng)的位移系數(shù)亦為廣義位移。,可能含義不同，但數(shù)值相等,即,七、反力互等定理,反力互等定理也是功的互等定理的一種應(yīng)用，它反映在超靜定結(jié)構(gòu)中如果兩個(gè)支座分別發(fā)生單位位移時(shí)，兩個(gè)狀態(tài)中相應(yīng)支座反力的互等關(guān)系。,單位位移引起的支座反力稱為反力系數(shù)，用ri j表示,根據(jù)功的互等定理，有,即,這就是反力互等定理，它表明支座1發(fā)生單位位移所引起的支座2的反力，等于支座2發(fā)生與上述反力相應(yīng)的單

20、位位移所引起的支座1的反力。,應(yīng)注意支座的位移與該支座的反力在作功關(guān)系上的對應(yīng)關(guān)系，即線位移與集中力相對應(yīng)，角位移與集中力偶相對應(yīng)。,可能r12與r21 一個(gè)是反力偶，一個(gè)是反力，但二者的數(shù)值相等（圖 c、d ）。,即,一、變形體的虛功原理,功：,力對物體在一段路程上累積效應(yīng)的量度，也是傳遞和轉(zhuǎn)換能量的量度,實(shí)功 ：,力在自身引起的位移上所作的功,當(dāng)靜力加載時(shí)，即： FP1由0增加至FP1 11 由0增加至 11,力Fp1在位移 11上作的實(shí)功,6.8 靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移和溫度變化 所引起的位移,虛功：力在其他因素引起的位移上作的功。 其特點(diǎn)是位移與作功的力無關(guān)，在作功的過程中，力的大小保持不變。,梁彎曲后，再在點(diǎn)2處加靜力荷載 ，梁產(chǎn)生新的彎曲。位移 為力 引起的 的作用點(diǎn)沿 方向的位移。力 在位移 上作了功，為虛功，大小為,當(dāng)力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上作外力虛功時(shí)，力狀態(tài)的內(nèi)力也在位移狀態(tài)各微段的變形上作內(nèi)力虛功。,在小變形條件下， 由圖示的原始形狀、尺寸計(jì)算，并稱此狀態(tài)為虛功計(jì)算的位移狀態(tài)。與之相應(yīng)， FP1單獨(dú)作用的狀態(tài)為虛功計(jì)算的力狀態(tài)。,二、線彈性桿件的變形位能 （內(nèi)力虛功）,1、彎曲變形位能,2、軸向拉伸（壓縮）變形位能,根據(jù)功和能的原理可得變形體的虛