彈性波的基本理論

1、,第一節(jié) 彈性介質(zhì)與地震波 一、彈性介質(zhì) 地震勘探的地球物理前提是地層間的彈性差異,地震勘探中將地層叫做介質(zhì);因此需要研究地層介質(zhì)的彈性性質(zhì)。 。,第一章 地震勘探的理論基礎(chǔ),巖層受外力產(chǎn)生形變，將巖層隨外力消失而恢復(fù)原形的形變稱為彈性形變，,產(chǎn)生彈性形變的介質(zhì)叫彈性介質(zhì)。 在彈性介質(zhì)內(nèi)傳播的地震波稱地震彈性波。 研究地震彈性波可用彈性波理論，如虎克定律等。 可以對介質(zhì)進(jìn)行分類如下：,（一）各向同性介質(zhì)和各向異性介質(zhì) 對某一特定巖層，如果沿不同方向測定的物理性質(zhì)均相同，稱各向同性介質(zhì)，否則是各向異性介質(zhì)。 （二）均勻介質(zhì)、層狀介質(zhì) 若介質(zhì)的彈性性質(zhì)不僅與測定方向無關(guān)，而且與坐標(biāo)位置無關(guān)，就稱為

2、均勻各向同性介質(zhì)；如速度v=c（常數(shù)）。,非均勻介質(zhì)中，介質(zhì)的性質(zhì)表現(xiàn)出成層性，稱這種介質(zhì)為層狀介質(zhì)；其中每一層是均勻介質(zhì)；不同介質(zhì)層的分界處稱界面（平面或曲面）；兩個界面之間的間隔稱為該層的厚度。,界面,h厚度,界面,將速度v是空間連續(xù)變化函數(shù)的介質(zhì)定義為連續(xù)介質(zhì)。連續(xù)介質(zhì)是層狀介質(zhì)的一種極限情況。即當(dāng)層狀介質(zhì)的層數(shù)無限增加，每層的厚度h無限減小，層狀介質(zhì)就過渡為連續(xù)介質(zhì)，如 v=v0(1+z) 叫線性連續(xù)介質(zhì)。V0是表層介質(zhì)的速度，z是深度，是速度隨深度的變化率。,(三）連續(xù)介質(zhì),（一）應(yīng)力與應(yīng)變 應(yīng)力：彈性體受力后產(chǎn)生的恢復(fù)原來形狀的內(nèi)力稱內(nèi)應(yīng)力，簡稱為應(yīng)力。應(yīng)力和外力相抗衡，阻止彈性體

3、的形變。,二、應(yīng)力應(yīng)變與彈性參數(shù),對于一個均勻各向同性的彈性圓柱體，設(shè)作用于s面上的法向應(yīng)力為N，若力f在s面上均勻分布，則應(yīng)力pn定義為 Pn=f/s （1.11） 若外力f非均勻分布，則可以取一小面元S,作用于小面元上的外力為f，則應(yīng)力定義為,因此應(yīng)力的數(shù)學(xué)定義為：單位橫截面上所產(chǎn)生的內(nèi)聚力稱為應(yīng)力。 根據(jù)力的分解定理，可以將力分解成垂直于單元面積的應(yīng)力法向應(yīng)力; 相切于單元面積的應(yīng)力切向應(yīng)力（剪切應(yīng)力）。,應(yīng)力與應(yīng)變,正應(yīng)力 x ，y，z 使介質(zhì)產(chǎn)生縱波;切應(yīng)力xy,xz, yz; ij 使介質(zhì)產(chǎn)生橫波,下腳標(biāo) i表示應(yīng)力方向，j表示應(yīng)力作用于垂直于j軸的平面。,物理定義：彈性體受應(yīng)力作

4、用，產(chǎn)生的體積和形狀的變化稱為應(yīng)變。只發(fā)生體積變化而形狀不變的應(yīng)變稱正應(yīng)變；反之，只發(fā)生形狀變化的應(yīng)變稱為切應(yīng)變。 數(shù)學(xué)定義：彈性理論中，將單位長度所產(chǎn)生的形變稱應(yīng)變。,2. 應(yīng)變,例如，柱體原長為L ,長度的變化量位L, 則應(yīng)變等于L/L 3. 應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系 應(yīng)力與應(yīng)變成正比關(guān)系的物體叫完全彈性體，虎克定律表示了應(yīng)力與應(yīng)變之間的線性關(guān)系。,對于一維彈性體，虎克定律為F=kx 對于三維彈性體，用廣義虎克定律表示應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。 （二）彈性模量（彈性參數(shù)） 1. 楊氏彈性模量（E） E表示膨脹或壓縮情況下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，所以又叫壓縮模量。,數(shù)學(xué)定義：物體受脹縮力時應(yīng)力與應(yīng)變之比。 設(shè)

5、沿x方向受應(yīng)力為 f/s ,產(chǎn)生的應(yīng)變?yōu)?L/L, 則楊氏彈性模量 物理定義：楊氏彈性模量表示固體對所受作用力的阻力的度量。,固體介質(zhì)對拉伸力的阻力越大，則楊氏彈性模量越大，物體越不易變形；反過來說，堅硬的不易變形的物體，楊氏彈性模量大。,在拉伸變形中，物體的伸長總是伴隨著垂直方向的收縮，所以把介質(zhì)橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之比稱泊松比，,2. 泊松比,式中加負(fù)號表示縱向拉長總是伴隨著橫向縮短，為使泊松比為正，要加負(fù)號。 顯然泊松比是表示物體變形性質(zhì)的一個參數(shù)，如果介質(zhì)堅硬，在同樣作用力下，橫向應(yīng)變小，泊松比就小，可小到0.05 。,而對于軟的未膠結(jié)的土或流體，泊松比可高達(dá)0.45-0.5。 一般巖石

6、的泊松比為0.25左右。,設(shè)一物體，受到靜水柱壓力p 的作用，產(chǎn)生體積形變，v/v, 其中v是物體的原體積， v 是體積變化量。但形狀未發(fā)生變化。則這種情況下的應(yīng)力與應(yīng)變的比稱為體變模量。,3. 體變模量,指物體受剪切應(yīng)力作用，并發(fā)生形狀變化時，應(yīng)力與應(yīng)變之比。 如圖所示，受剪切力為xy , 切變角為，則剪切模量為 = xy / ,4. 剪切模量,彈性模量是阻止剪切應(yīng)變的度量。液體的=0，因此沒有抗剪切能力。液體內(nèi)也不會產(chǎn)生橫波。,彈性模量之間的關(guān)系式,三、波動方程,是地震波傳播規(guī)律的方程。 在不同的介質(zhì)模型中，地震波傳播有不同的規(guī)律，各種不同的傳播規(guī)律需用不同的傳播方程描述。,均勻、各向同性

7、、理想彈性介質(zhì)是一種最簡單的介質(zhì)模型。 根據(jù)固體彈性動力學(xué)理論，地震波在均勻、各向同性、理想彈性介質(zhì)中傳播滿足以下偏微分方程,該式稱為矢量彈性波方程。 式中矢量U表示介質(zhì)質(zhì)點受外力(F)作用后的位移，稱為位移矢量： U=U（u,v,w） u,v,w分別為三個坐標(biāo)軸的位移分量。 矢量F表示對介質(zhì)的外力，稱為力矢量，,在彈性波方程中，外力F（爆炸力或錘擊）既包含脹縮力(正壓力)，也包含旋轉(zhuǎn)力(剪切力)，位移U也包含體變和形變兩部分。,對(1-1-7)式兩邊取散度(div)，即對介質(zhì)只施加脹縮力，可得縱波滿足的方程,同樣，若對(1.1.7)式兩邊取旋度，即只對介質(zhì)施加旋轉(zhuǎn)力，可得橫波滿足的 方程,令,（1-1-10）,rotF代表旋轉(zhuǎn)力，該式描述了在只有旋轉(zhuǎn)力作用時，彈性介質(zhì)只產(chǎn)生與形變有關(guān)的擾動，(1-1-9)式為用位移表示的橫波波動方程，式中vs為橫波傳播速度。,為使縱、橫波方程簡單化，在場滿足一定的物理條件下，可進(jìn)一步用標(biāo)量位函數(shù)表達(dá)縱、橫波方程。,位函數(shù)表示的縱、橫波波動方程,式(1-1-12)、(1-1-13)是標(biāo)量位函數(shù)表示的三分量標(biāo)量波動方程，(1-1-12)式是縱波標(biāo)量波動方程， 在波傳播方程中，當(dāng)速度v p、vs分