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文檔簡介

1、第五節(jié) 柯西積分公式,一、問題的提出,二、柯西積分公式,三、典型例題,四、小結(jié)與思考,2,一、問題的提出,根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線 C 的變化而改變,求這個(gè)值.,3,4,二、柯西積分公式,定理,證,5,6,上不等式表明, 只要 R 足夠小, 左端積分的模就可以任意小,根據(jù)閉路變形原理知, 左端積分的值與 R 無關(guān),所以只有在對(duì)所有的 R 積分值為零時(shí)才有可能.,證畢,柯西積分公式,柯西介紹,7,關(guān)于柯西積分公式的說明:,(1) 把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示.,(這是解析函數(shù)的又一特征),(2) 公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法, 而且給出了解析函

2、數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式.,(這是研究解析函數(shù)的有力工具),(3) 一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.,8,三、典型例題,例1,解,9,由柯西積分公式,10,例2,解,由柯西積分公式,11,例3,解,由柯西積分公式,12,例,解,根據(jù)柯西積分公式知,13,例5,解,14,例5,解,15,由閉路復(fù)合定理, 得,例5,解,16,例6,解,根據(jù)柯西積分公式知,17,比較兩式得,18,課堂練習(xí),答案,19,四、小結(jié)與思考,柯西積分公式是復(fù)積分計(jì)算中的重要公式, 它的證明基于柯西古薩基本定理, 它的重要性 在于: 一個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在 邊界上的值通過積分表示, 所以它是研究解析函 數(shù)的重要工具.,柯西積分公式:,20,思考題,柯西積分公式是對(duì)有界區(qū)域而言的, 能否推廣到無界區(qū)域中?,21,思考題答案,可以.,其中積分方向應(yīng)是順時(shí)針方向.,放映結(jié)束，按Esc退出.,22,Augustin-Louis Cauchy,Born: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), Fra

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