偏微分方程的歷史與應用

1、偏微分方程的歷史及應用數(shù)學與信息科學學院 09級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)學號 姓名 項猛猛摘要偏微分方程是反映有關的未知變量關于時間的導數(shù)和關于空間變量的導數(shù)之間制約關系的等式。許多領域中的數(shù)學模型都可以用偏微分方程來描述，很多重要的物理、力學等學科的基本方程本身就是偏微分方程。偏微分方程已經(jīng)成為當代數(shù)學中的一個重要的組成部分，是純粹數(shù)學的許多分支和自然科學及工程技術等領域之間的一座重要的橋梁。本文旨在介紹偏微分方程的起源和歷史，以及偏微分方程在人口調(diào)查、傳染病動力學等實際問題中的應用。了解偏微分方程曲折的發(fā)展史并了解其廣闊的應用前景，從而激勵讀者更深入的學習和研究偏微分方程。關鍵字 偏微分方程 偏

2、微分方程歷史 偏微分方程應用引言 偏微分方程已經(jīng)成為當代數(shù)學中的一個重要的組成部分，是純粹數(shù)學的許多分支和自然科學及工程技術等領域之間的一座重要的橋梁.本文闡述了偏微分方程的發(fā)展歷史及在實際生活中的應用，為以后更深入的研究及更廣的應用提供了例證。正文一、 偏微分方程的起源及歷史微積分方程這門學科產(chǎn)生于十八世紀，歐拉在他的著作中最早提出了弦振動的二階偏微分方程，隨后不久，法國數(shù)學家達朗貝爾也在他的著作論動力學中提出了特殊的偏微分方程。這些著作當時沒有引起多大注意。1746年，達朗貝爾在他的論文張緊的弦振動時形成的曲線的研究中，提議證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式。這樣就由對弦振動的研

3、究開創(chuàng)了偏微分方程這門學科。和歐拉同時代的瑞士數(shù)學家丹尼爾貝努利也研究了數(shù)學物理方面的問題，提出了解彈性系振動問題的一般方法，對偏微分方程的發(fā)展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程，豐富了這門學科的內(nèi)容。對物理學中出現(xiàn)的偏微分方程研究在十八世紀中葉導致了分析學的一個新的分支-數(shù)學物理方程的建立。J.達朗貝爾（DAlembert）（1717-1783）、L.歐拉（Euler）（1707-1783）、D.伯努利(Bernoulli)（1700-1782）、J.拉格朗日(Lagrange)（1736-1813）、P.拉普拉斯(Laplace)（1749-1827）、S.泊松(Poisso

4、n)（1781-1840）、J.傅里葉(Fourier)（1768-1830）等人的工作為這一學科分支奠定了基礎。它們在考察具體的數(shù)學物理問題中，所提出的思想與方法，竟適用于眾多類型的微分方程，成為十九世紀末偏微分方程一般理論發(fā)展的基礎。十九世紀，偏微分方程發(fā)展的序幕是由法國數(shù)學家傅里葉拉開的，他于1822年發(fā)表的熱的解析理論是數(shù)學史上的經(jīng)典文獻之一。傅里葉研究的主要是吸熱或放熱物體內(nèi)部任何點處的溫度隨空間和時間的變化規(guī)律。在對物體的物理性狀作出一定的限制（如均勻、各向同性）后，他根據(jù)物理原理推導出了三維空間的熱傳導方程其中k是一個參數(shù)，其值依賴于物體的質料。傅里葉當時解決的是如下特殊的熱傳導

5、問題：設所考慮的物體為兩端保持在溫度0度、表面絕熱且無熱流通過的柱軸。在此情形下求解上述熱傳導方程，因為柱軸只涉及一維空間，所以這個問題也就是求解偏微分方程其中后面兩項分別是邊界條件和初始條件。傅里葉為解這個方程用了分離變量法，他得到滿足方程和邊界條件的級數(shù)解為為了滿足初始條件，必須有這就促使傅里葉不得不考慮任給一個函數(shù)，能否將它表示成三角級數(shù)的問題。傅里葉得出的結論是：每個函數(shù)都可以表示成這樣，每個可由上式乘以，再從0到積分而得到。他還指出這個程序可以應用于表達式接著，他考慮了任何函數(shù)在區(qū)間的表達式，利用對稱區(qū)間上的任何函數(shù)可以表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和這一事實，傅里葉可以將區(qū)間上的任

6、何函數(shù)表示為其系數(shù)由確定，這就是我們通常所稱的傅里葉級數(shù)。 為了處理無窮區(qū)域上的熱傳導問題，傅里葉同時還導出了現(xiàn)在所謂的“傅里葉積分”： 需要指出的是，傅里葉從沒有對“任意”函數(shù)可以展成傅里葉級數(shù)這一斷言給出過任何完全的證明，它也沒有說出一個函數(shù)可以展開為三角級數(shù)必須滿足的條件。然而傅里葉本人對此充滿信心，因為他的信念有幾何上的根據(jù)。 十九世紀偏微分方程的另一個重要發(fā)展是圍繞著位勢方程來進行的，這方面的代表人物格林(G. Green)是一位磨坊工出身、自學成才的英國數(shù)學家。位勢方程也稱拉普拉斯方程： 格林是劍橋數(shù)學物理學派的開山祖師，他的工作培育了湯姆遜(W.Thomson)、斯托克斯(G.S

7、tokes)、麥克斯韋(J.C.Maxwell)等強有力的后繼者，他們是十九世紀典型的數(shù)學物理學家。他們的主要目標，是發(fā)展求解重要物理問題的一般數(shù)學方法，而他們手中的主要武器就是偏微分方程，以至于在十九世紀，偏微分方程幾乎變成了數(shù)學物理的同義詞。 劍橋數(shù)學物理學派的貢獻使經(jīng)歷了一個多世紀沉寂后英國數(shù)學在十九世紀得以復興，麥克斯韋1864年導出的電磁場方程是十九世紀數(shù)學物理最壯觀的勝利，正是根據(jù)對這組方程的研究，麥克斯韋預言了電磁波的存在，不僅給科學和技術帶來巨大的沖擊，同時也是偏微分方程威名大振。愛因斯坦在一次紀念麥克斯韋的演講中說：“偏微分方程進入理論物理學時是婢女，但逐漸變成了主婦，”他認

8、為這是從十九世紀開始的，而劍橋數(shù)學物理學派尤其是麥克斯韋在這一轉變中起了重要的作用。 除了麥克斯韋方程，十九世紀導出的著名偏微分方程組還有粘性流體運動的納維(C.L.M.H. Navier)-斯托克斯和彈性介質的柯西方程等。對18、19世紀建立起來類型眾多的微分方程，數(shù)學家們求顯式解的努力往往歸于失敗，這種情況促使他們轉而證明解的存在性。最先考慮微分方程解的存在性問題的數(shù)學家是柯西。他指出：在求顯式解無效的場合常?？梢宰C明解的存在性。他在19世紀20年代對形如的常微分方程給出了第一個存在性定理，這方面的工作被德國數(shù)學家李普希茨(R. Lipschitz)、法國數(shù)學家劉維爾(J.Liouvill

9、e)和皮卡(C.E. Picard)等追隨?？挛饕彩怯懻撈⒎址匠探獾拇嬖谛缘牡谝蝗?，他在1848年的一系列論文中論述了如何將任意階數(shù)大于1的偏微分方程化為偏微分方程組，然后討論了偏微分方程組解的存在性并提出了證明存在性的強函數(shù)方法?？挛鞯墓ぷ骱髞肀欢韲當?shù)學家柯瓦列夫斯卡婭(C.B. )獨立地發(fā)展為包括擬線性方程和高階組在內(nèi)非常一般的形式。有關偏微分方程解的存在唯一性定理在現(xiàn)代文獻中就稱為“柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理”。當研究在解決物理問題的過程中出現(xiàn)的具體微分方程時，往往會產(chǎn)生一些極具普遍性、起初并沒有嚴格的數(shù)學根據(jù)而應用于范圍廣泛物理問題的方法。例如，傅里葉方法、里茨（Ritz）方法、伽遼

10、金（）方法、攝動理論方法等就是這一類方法。這些方法應用的有效性成為試圖對它們進行嚴格論證的原因之一。這就導致新的數(shù)學理論、新的研究方向的建立（傅里葉積分理論、本證函數(shù)展開理論和廣義函數(shù)論等等）。二、 偏微分方程的應用在科技和經(jīng)濟發(fā)展中，很多重要的實際課題都需要求解偏微分方程，為相應的工程設計提供必要的數(shù)據(jù)，保證工程安全可靠且高效地完成任務。在很多的實際課題中，有不少課題(特別是國防課題)是不能或很難用工程試驗的方法來進行研究的(一方面是危險系數(shù)大，另一方面是耗費大)，因此就需要盡可能地減少試驗的次數(shù)或在試驗前給出比較準確的預計。隨著電子計算機的出現(xiàn)及計算技術的發(fā)展，電子計算機成為解決這些實際課

11、題的重要工具。但是有效地利用電子計算機，必須具備如下先決條件：(1)針對所考慮的實際問題建立合理的數(shù)學模型，而這些能精確描述問題的模型大都是通過偏微分方程給出的。(2)對相應的偏微分方程模型進行定性的研究。根據(jù)所進行的定性研究，尋求或選擇有效的求解方法。(3)編制高效率的程序或建立相應的應用軟件，利用電子計算機對實際問題進行模擬。因此，總體上來說，上述這些先決條件都屬于偏微分方程應用的研究范圍，這些問題解決的好壞直接影響到使用電子計算機所得結果的精確性及耗費的大小。如果解決得好，就會對整個問題的解決起到事半功倍的效果。到目前為止，偏微分方程已經(jīng)在解決有關人口問題、傳染病動力學、高速飛行、石油開

12、發(fā)及城市交通等方面的實際課題中做出了重大的貢獻。下面以大家比較熟悉的人口問題及傳染病動力學問題為例，詳細闡述偏微分方程在解決實際問題中的應用。1、偏微分方程在人口問題中的應用人口問題是大家都很感興趣的問題(這里所說的人口是廣義的，并不一定限于人，可以是任何一個與人有類似性質的生命群體)。對人口的發(fā)展進行研究最先所采用的大多是常微分方程模型。例如，馬爾薩斯模型4：其中表示時刻的人口總數(shù)，為初始時刻時的人口總數(shù)，表示人口凈增長率。馬爾薩斯模型只在群體總數(shù)不太大時才合理。因為當生物群體總數(shù)增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間、有限的自然資源及食物等原因，就要進行生存競爭。而馬爾薩斯模型僅考

13、慮了群體總數(shù)的自然線性增長項，沒有考慮生存競爭對群體總數(shù)增長的抵消作用。因此在群體總數(shù)大了以后，馬爾薩斯模型就不再能預見群體發(fā)展趨勢，這時就要采用威爾霍斯特模型5：其中，稱為生命系數(shù)，而且比要小很多。就是考慮到生存競爭而引入的競爭項。當群體總數(shù)不太大時，由于比小很多，則可以略去上面方程中右端的第二項而回到馬爾薩斯模型。但是當群體總數(shù)增大到一定程度時，上面方程中右端的第二項所產(chǎn)生的影響就不能忽略。不論是馬爾薩斯模型還是威爾霍斯特模型，它們都是將生物群體中的每一個個體視為同等地位來對待的，這個原則只適用于低等動物。對于人類群體來說，必須考慮不同個體之間的差別，特別是年齡因素的影響。人口的數(shù)量不僅和

14、時間有關，還應該和年齡有關，而且人口的出生、死亡等都和年齡有關。不考慮年齡因素就不能正確地把握人口的發(fā)展動態(tài)。這時，就必須給出用偏微分方程描述的人口模型5：其中，表示任意時刻按年齡的人口分布密度，表示年齡為的人口死亡率，表示年齡為的人的生育率，表示可以生育的最低年齡，表示人的最大年齡。對于上述偏微分方程模型成立如下結論：定理1：對偏微分方程的初值問題(1)(3)，如果下列條件成立：(1)在區(qū)間上，且適當光滑；(2)在區(qū)間上，且適當光滑，并且當時，及；(3)；(4)。則該初邊值問題(1)(3)存在唯一的整體解并且滿足且。該模型在經(jīng)過適當?shù)暮喕僭O后，例如假設常數(shù)，常數(shù)，就可以回到前面的常微分方程

15、模型。但在偏微分方程模型中、均與年齡有關，這與現(xiàn)實情況相符。因此，偏微分方程模型確實更進一步、更能精確地描述人口分布的發(fā)展過程。2、偏微分方程在傳染病動力學中的應用自“非典”疫情蔓延后，人們對傳染病也開始給予更多的關注，不同領域的研究人員都在各自的領域中開始對傳染病進行深入細致的研究。另一方面，由于傳染病本身所特有的傳染性、潛伏性等，不僅給人們的工作學習帶來了極大的影響，而且也給研究工作帶來了許多難以克服的困難。為了減少傳染病帶來的負面影響，就非常有必要對傳染病的發(fā)展趨勢和發(fā)展規(guī)律進行研究，以便能夠采取適當?shù)拇胧魅静〉牧餍屑右灶A防和控制?，F(xiàn)在用數(shù)學方法來考察傳染病的理論，對它的發(fā)展機理、動

16、態(tài)過程及發(fā)展趨勢進行研究，已經(jīng)逐漸成為一個非?；钴S的研究領域。早在1979年，R. M. 安德森就給出了一個傳染病動力學的常微分方程模型6：，其中，分別表示三類人的人口總數(shù)(對應健康而可能被傳染的一類人；對應已經(jīng)患病的人；對應具有免疫力的人)，表示出生率，表示自然死亡率，表示傳染病的死亡率，表示治愈率，表示傳染病的發(fā)病率，表示免疫力失去率。但是，上述常微分方程模型沒有考慮到年齡因素對傳染病發(fā)病情況的影響。而實際上，對傳染病而言，除極少數(shù)傳染病(如出血熱)外，傳染病的發(fā)病情況均與年齡有關，而且發(fā)病率、治愈率以及死亡率等也均與年齡有關。因此，在建立傳染病動力學模型時，必須考慮年齡因素的影響；同時，

17、傳染病的發(fā)病情況還和發(fā)病時間的長短(病程)有關，治愈率及死亡率等也可能與病程有關。那么，能夠精確地反映傳染病動力學特征的模型就應該是不僅考慮時間因素的影響，而且還要考慮年齡因素及病程因素影響的偏微分方程組形式的數(shù)學模型7-10。由于偏微分方程組模型能夠比較精確地反映傳染病動力學的發(fā)展動態(tài)及發(fā)展趨勢，因此對它的研究自二十世紀八十年代以來一直都是一個非?；钴S的研究領域，并且也已經(jīng)取得了許多不錯的結果。結論隨著物理、醫(yī)學等學科所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴展，偏微分方程的應用范圍更廣泛。從數(shù)學自身的角度看，偏微分方程的求解促使數(shù)學在函數(shù)論、變分法、級數(shù)展開、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各方面進行

18、發(fā)展。從這個角度說，偏微分方程變成了數(shù)學的中心。由于同一類型的偏微分方程往往可以用來描述許多性質上頗不相同的自然現(xiàn)象，對一些重要的偏微分方程開展研究，可以有多方面的應用前景，并可望在新興學科或邊緣學科的開發(fā)中及時地發(fā)揮作用。參考文獻1 李文林.數(shù)學史概論.北京：高等教育出版社，2002.82 陳祖墀.偏微分方程.合肥：中國科學技術大學出版社，2004.83 N.Asmar.Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems.陳祖墀，宣本金譯.北京：機械工業(yè)出版社，2006.104 W. F. 盧卡斯主編，朱煜民、周宇虹譯，微分方程模型，國防科技大學出版社，1988.5 G. F. Webb, Theory of Age-Dependent Population Dynamics, Marcel Dekker, INC., 1985.6 R. M. Anderson, The persistence of direct life cycle infectious diseas