高考專題復(fù)習(xí)平面向量

1、高考復(fù)習(xí)專題：平面向量第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運(yùn)算向量專題復(fù)習(xí)1. 向量的有關(guān)概念：(1 )向量的定義：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。(2) 零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0.(3) 單位向量：長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量。任意向量的單位化：與AB共線的單位向量是一 AB .M(4 )相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量。(5 )平行向量又叫共線向量，記作：a / b . 向量a(alo)與b共線，則有且僅有唯 個(gè)實(shí)數(shù)，使b = a ; 規(guī)定： 零向量和任何向量平行 ; 兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合； 相等向量一定是

2、共線向量，但共線向量不一定相等；(6)向量的加法和減法滿足平行四邊形法則或三角形法則；2. 平面向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算：、 TTTT(1 )設(shè) a =(捲，yj， b =(X2，y2)，則 ab =(捲x?,力y?)；、 TTTT(2) 設(shè) a =(xi, yi)， b =(X2,y2)，則 a-b =(捲 -x?, yi -y?)；(3) 設(shè)一二、三兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 Xi,yi ， X2, y2，則AB = (x?-花，y? - yj ；、 TT一 T T(4 )設(shè) a=(xi,yj， b=(X2,y2)，向量平行 all b = xiyx?yi ；所以 a _ b = a b = 0 ：=

3、 X1X2yiy2 = ;(6) 若 a =(x, y)，則Ia(7 )定比分點(diǎn):設(shè)點(diǎn)P是直線Pi , P2上異于Pi, P2的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使RP=PR，則人叫做點(diǎn)P分有向線段RP2所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段RR的以定比為九 1 的定比分點(diǎn)；當(dāng)P分有向線段PP2所成的比為入，則點(diǎn)P分有向線段PP2所成的比為一 九注意：設(shè)只(為，yj、P2 (x2, y2)，X =P(x, y)分有向線段PP2所成的比為九，貝卄y 二為：Ux21 yi y21 - 在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng) 明確(x, y)，(Xi,yi)、(X2,y2)的意義，即分別為分點(diǎn),起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)

4、根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根2據(jù)這些點(diǎn)確定對應(yīng)的定比.當(dāng) =1時(shí)，就得到線段P1P2的中點(diǎn)公式屮七. 的符號與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段RF2上時(shí)二&0 ;當(dāng)P點(diǎn)在線段PP2的延長線上時(shí)二 扎v -1 ；當(dāng)P點(diǎn)在線段RR的反向延長線上時(shí)二-1 扎 ；3. 平面向量的數(shù)量積：(1) 兩個(gè)向量的夾角：對于非零向量 a、b，作0A = a，OB = b， AOB - v 0 二T T稱為向量a、b的夾角。(2) 平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量a、b，它們的夾角為二，我們把數(shù)量a b cosa b cost .叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作： a b，即a b

5、積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量零向量與任一向量的數(shù)量積是 0 ,注意：向量的數(shù)量積b 在 a 上的投影為 b cos寸, 投影是一個(gè)實(shí)數(shù)，不一定大于 0.a b的幾何意義：數(shù)量積a b等于與b在a上的投影的乘積。向量數(shù)量積的應(yīng)用：設(shè)兩個(gè)非零向量 a、 b，其夾角為&，貝U COS日=二匕，T T T T當(dāng)a _ b = a b = 0時(shí)，二為直角;當(dāng)a b 0時(shí)，二為銳角或a, b同向;當(dāng)a b | b|，則ab ；入，卩為實(shí)數(shù)，若七=血，則a與b共線.其中假命題的個(gè)數(shù)為()A. 1B. 2C. 3D . 4答案DI變式訓(xùn)練F列說法中錯(cuò)誤的是()A 有向線段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有

6、向線段B .若向量a和b不共線，則a和b都是非零向量C .長度相等但方向相反的兩個(gè)向量不一定共線D .方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等答案C例2（1）（2014 金華模擬）已知兩個(gè)非零向量a , b滿足| a + b| = |a b|，則下面結(jié)論正確的是（）A . a / b B . a丄 b C . | a| = | b| D . a + b = a b(2013 四川高考)如圖在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O,則入=.1 2(2013 江蘇高考)設(shè)D ,E分別是 ABC的邊AB , BC上的點(diǎn)，AD = -AB , BE = 3BC.2 3（入，b為實(shí)數(shù)），則入+ b的值為1

7、答案(1)B(2)2(3)21 .在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長)1 2D3a+3b線與CD交于點(diǎn)F，若(1 12 11 1A.a + 2bB.ra + 3bC.2a + b42332 4易誤警示（四 ）平面向量線性運(yùn)算中的易誤點(diǎn)典例（2013 廣東高考）設(shè)a是已知的平面向量且a工0.關(guān)于向量a的分解，有如下四 個(gè)命題：給定向量b，總存在向量c,使a = b + c； 給定向量b和c,總存在實(shí)數(shù)b和卩，使a = bb +卩c; 給定單位向量b和正數(shù)，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)入，使a = Ab + pc ； 給定正數(shù)入和p,總存在單位向量b和單位向量c

8、,使a = A + pc.上述命題中的向量b , c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是 （）A . 1B . 2C . 3D . 4答案B下列命題中正確的是（）A .向量a , b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù) A,使b = AB .在 ABC 中，沖.上C .不等式| a| -1 a + b| | a + b| | a| + | b|中兩個(gè)等號不可能同時(shí)成立D .向量a, b不共線，則向量a+b與向量a b必不共線第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1 .兩個(gè)向量的夾角定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作1則/AOB = B叫做向量a與b的夾角.范圍：向量夾角B的范圍是0 ,冗,a與b

9、同向時(shí)，夾角9= 0; a與b反向時(shí)，夾角 缸 nn向量垂直：如果向量a與b的夾角是，則a與b垂直，記作a丄b.2 .平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（1）平面向量基本定理：如果ei, e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量, 那么對于這一平面內(nèi) 的任意向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)Ai, A，使a = A + Ae?.其中，不共線的向量ei, e?叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.(2)平面向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與 x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i, j作為基底對 于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù) x，y，使得a = xi + yj，這樣，平面內(nèi)的任一向

10、量a都可由x, y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x, y)叫做向量 a的坐標(biāo)，記作a = (x, y)，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo).3 .平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若 a = %, yj, b =(X2, y2),則 a b =兇蘭x?,圧土y?);若 A(xi, yi), B(X2, y?),貝U(x? Xi, y? y;(3) 若 a = (x, y),貝U la = (/x, /y);(4) 若 a = (Xi, yi), b = (x?, y?)，貝U a / b?Xiy? = x?yi.平面向足基本定埠的應(yīng)用例i在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)

11、.若一其中 /, 口 R，貝卩 H (1=4互動(dòng)探究：在本例條件下，若八試用c, d表示 變式譏練：如圖，在 ABC中，AB = 2 , BC = 3，/ ABC = 60 , AH丄BC于點(diǎn)H ,= *- *M為AH的中點(diǎn).若卩川則/+ 1=.2答案：r31 . (2014 福建高考)在下列向量組中，可以把向量a = (3,2)表示出來的是()A . ei = (0,0) , e?= (1,2)B . ei = ( 1,2) , e?= (5 , 2)C . ei = (3,5) , e2= (6,10)D . ei = (2, 3), e? = ( 2,3)解析：選B例3 （1）（2013

12、 陜西高考）已知向量a = （1 ,m）,b = （m, 2），若a / b，則實(shí)數(shù)m等于（）A 2B.2 C2或- 2D . 0（2014 麗水模擬）設(shè)向量a , b滿足| a| = 2 5, b = （2,1），且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為.1 1（2014 臺州模擬）若三點(diǎn) A（2,2） , B（a,0）, C（0 , b）（ab工0）共線，則匚+匚的值等于a b1答案(1)C(2)( 4, 2)(3)2AB 同方向的單位向量為（）3 4A.J， 5B.4 3)&，匚C.D.1.（2013 遼寧高考）已知點(diǎn)A（1,3） ,B（4， 1），則與向量2 .已知向量 a = (m , 1)

13、 , b = ( 1 , 2) , c = ( 1,2),若(a + b) / c ,貝U m =答案:3 .已知點(diǎn)A(4,0) , B(4,4) , C(2,6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為答案:(3,3)易誤警示（五）平面向量坐標(biāo)運(yùn)算中的易誤點(diǎn) 用平面向量解決相關(guān)問題時(shí)，在便于建立平面直角坐標(biāo)系的情況下建立平面直角坐標(biāo)系, 可以使向量的坐標(biāo)運(yùn)算更簡便一些.典例（2013 北京高考）向量a, b , c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若c = la +卩入b(l ,讓R),貝廣=答案4答案：2第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用cos1 .平面向量數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它

14、們的夾角為把數(shù)量|a|b|0叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a b.即a b = |a|b| cos 0,規(guī)定0 a = 0.2 .向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a b = b a; (2)( Aa) b = Xa b)= a (/b); (3)(a + b) c = a c+ b c.3 .平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量 a = X, yj, b = (X2, y?),結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模I a| J a a| a|x2 + y2夾角a bxm+ yycos 0=|a|b|cos 0=V右a丄b的充要條件a b = 0X1X2 + y2 = 0例1(1)(2014 天津高考)已知菱形AB

15、CD的邊長為2，/ BAD = 120。，點(diǎn)E , F分別在邊 BC , DC 上, BC = 3BE , DC = ADF .若AE *= 1 貝U A的值為.如圖，在矩形 ABCD中，AB = . 2, BC = 2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD 上 , 若 -.- 丨.答案(1)2(2) 2互動(dòng)探究：在本例(2)中,若四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn), 求 的值及、 的最大值.答案：1.1 若向量 a = (1,1) , b = (2,5) , c = (3 , x),滿足條件(8a b) c = 30 ,則 x =答案：42 n、2 已知e1 , e2是夾角為 亍

16、的兩個(gè)單位向量，a = e 2e?, b = kej + e?，若a b = 0，則實(shí)數(shù)k的值為.5答案：4例2 (1)(2014 湖南高考)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A( 1,0) , B(0 , 3),C(3,0)，動(dòng)點(diǎn) D 滿足11()A 4,6B 19 1 ,19 + 1C Q 3 , 2 7 D . 7 1 , 7 + 1(2014 四川高考)平面向量a = (1,2) , b = (4,2) , c = ma + b(m R),且c與a的夾角等于c與b的夾角，貝U m =答案(1)D(2)21.若 a = (1,2) , b = (1,1)，則2a + b與a b的夾角等于()nnnA： B.C464