1984年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試.理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、1984 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案（這份試題共八道大題， 滿分 120 分第九題是附加題， 滿分 10 分，不計入總分）一（本題滿分 15 分）本題共有 5 小題，每小題都給出代號為 A，B，C，D 的四個結(jié)論， 其中只有一個結(jié)論是正確的 把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)每一個小題：選對的得3 分;不選，選錯或者選出的代號超過一個的（不論是否都寫在圓括號內(nèi)），一律得負(fù) 1 分1數(shù)集 X=（2n+1），n 是整數(shù)與數(shù)集 Y=（4k 1），k 是整數(shù)之間的關(guān)系是（ C ）（ A）X Y （B）X Y （C）X=Y （D）XY2如果圓 x2+y2+Gx+Ey+F=0與 x

2、軸相切于原點，那么（C ）（ A）F=0，G0，E0.（B）E=0，F(xiàn)=0，G0.（ C）G=0，F(xiàn)=0，E0.（D）G=0，E=0，F(xiàn)0.3. 如果 n 是正整數(shù)，那么1 1 ( 1) n ( n21) 的值（ B ）8（A）一定是零（B）一定是偶數(shù)（C）是整數(shù)但不一定是偶數(shù)（D）不一定是整數(shù)4. arccos( x) 大于 arccosx 的充分條件是（ A）（A） x(0,1（B） x( 1,0)（C） x 0,1（D） x0,25如果 是第二象限角，且滿足 cossin1 sin , 那么222（A）是第一象限角（B）是第三象限角（ B ）（C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D

3、）是第二象限角二（本題滿分 24 分）本題共 6 小題，每一個小題滿分4 分只要求直接寫出結(jié)果）1已知圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為 2 與 4 的矩形，求圓柱的體積答： 4或 8.2. 函數(shù) log 0.5 (x 2 4x 4) 在什么區(qū)間上是增函數(shù)？答： x-2.3求方程 (sin x cos x) 21 的解集2答： x | x7n , n Z x | xn , n Z12124求 (| x |12) 3 的展開式中的常數(shù)項| x |答： -205求 lim 1n2n的值n31答： 06要排一張有 6 個歌唱節(jié)目和 4 個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰，問有多少種不同的排法（只

4、要求寫出式子，不必計算）答： P74 6!三（本題滿分 12 分）本題只要求畫出圖形0,當(dāng) x0,畫出函數(shù) y=H(x-1)的圖象1設(shè) H ( x)0,1,當(dāng) x2畫出極坐標(biāo)方程(2)()0(0) 的曲線4解：21四（本題滿Y104O1XO 12X分 12分）已知三個平面兩兩相交，有三條交線 求證這三條交線交于一點或互相平行證：設(shè)三個平面為，且c,b,a.c,b,c,b.從而 c 與 b 或交于一點或互相平行1若 c 與 b 交于一點，設(shè) cb P.由Pc, 且c,有P ;又由 Pb,b,有P .于是 Pa所以 a ,b,c交于一點（即 P 點）Pb ab 2. 若 cb, 則acc由b ,

5、有c / .又由 c, 且a所以 a ,b,c互相平行五（本題滿分 14 分）設(shè) c,d,x為實數(shù)， c0，x 為未知數(shù) 討論方程況下有解 有解時求出它的解解：原方程有解的充要條件是：log (cx d )x1 在什么情xx0,(1)cxd0,(2)xcxd0,(3)x(cxd ) 1x(4)x由條件（ 4）知 x(cxd )1，所以 cx2d 1 再由 c0，可得xx21d .c又由 x( cxd )1及 x0，知 cxd0 ，即條件（ 2）包含在條件（ 1）xx及（ 4）中再由條件（ 3）及 x(cxd ) 1，知 x1.因此，原條件可簡化為以下的x等價條件組：x0,(1)x1,(5)x

6、21 d .(6)c由條件（ 1）（6）知 1 d0. 這個不等式僅在以下兩種情形下成立：c c0,1-d 0, 即 c0,d 1; c0,1-d 0, 即 c0,d 1.再由條件（ 1）（5）及（ 6）可知 c1d從而，當(dāng) c0,d 1 且 c1d 時，或者當(dāng) c0,d 1 且 c1d 時，原1d方程有解，它的解是xc六（本題滿分 16分）1設(shè) p0 ，實系數(shù)一元二次方程z22 pzq0 有兩個虛數(shù)根 z1,z 2.再設(shè) z1,z 2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點是Z1，Z2 求以 Z1，Z2為焦點且經(jīng)過原點的橢圓的長軸的長 （7分）2求經(jīng)過定點 M（1，2），以 y軸為準(zhǔn)線，離心率為1 的橢圓的左頂2

7、點的軌跡方程 （9分）解： 1. 因為 p,q 為實數(shù)，p0，z ,z 為虛數(shù)，所以12( 2 p) 24q 0, q p 20由 z1,z 2 為共軛復(fù)數(shù)，知 Z1 ，Z2 關(guān)于 x 軸對稱，所以橢圓短軸在 x 軸上 又由橢圓經(jīng)過原點，可知原點為橢圓短軸的一端點根據(jù)橢圓的性質(zhì)， 復(fù)數(shù)加、減法幾何意義及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得橢圓的短軸長 =2b=|z 1+z2|=2|p|,焦距離 =2c=|z 1-z 2|=| (z1z2 ) 24z1 z2 | 2 q p2 ,2b2c22q.長軸長 =2a=2. 因為橢圓經(jīng)過點 M（1，2），且以 y 軸為準(zhǔn)線，所以橢圓在 y 軸右側(cè)，長軸平行于

8、 x 軸設(shè)橢圓左頂點為 A（x,y ），因為橢圓的離心率為1 ，2所以左頂點 A 到左焦點 F 的距離為 A到 y 軸的距離的 1 ，2從而左焦點 F 的坐標(biāo)為 (3x , y)2設(shè) d 為點 M到 y 軸的距離，則 d=1根據(jù) | MF | 1 及兩點間距離公式，可得d2( 3x1) 2( y 2)2( 1) 2,即2229( x) 24( y 2)213這就是所求的軌跡方程七（本題滿分15 分）在 ABC中， A， B， C 所對的邊分別為 a ,b,c ，且 c=10，cos Ab4cosBa3，P為 ABC的內(nèi)切圓上的動點 求點 P到頂點 A，B，C的距離的平方和的最大值與最小值解：由

9、 cos Ab ，運(yùn)用正弦定理，有cos Bacos Asin Bsin Acos A sin B cos B sin 2 A sin 2B.cos B,sin A因為 AB，所以 2A=-2B，即 A+B=2由此可知 ABC是直角三角形由 c=10， b4 , a 2b 2c 2以及 a 0, b0可得 a 6, b8.a3如圖，設(shè) ABC的內(nèi)切圓圓心為 O，切點分別為 D，E，F(xiàn)，則16)12.但上式中，AD+DB+EC=(10 82AD+DB=c=10所以內(nèi)切圓半徑 r=EC=2.Y如圖建立坐標(biāo)系，B （ 0，6）則內(nèi)切圓方程為 :D(x-2) 2+(y-2)2 =4EO P（x,y)X

10、設(shè)圓上動點 P 的坐標(biāo)為O C（0， 0）A（8，0）S |PA|2|PB|2|PC|2(x 8) 2y 2x2( y 6) 2x2y 2(x,y),則 3x 23 y216x12 y1003( x2) 2( y2)24x763 44x76884 x.0 x4 ，因為 P 點在內(nèi)切圓上，所以S最大值 =88-0=88，S最小值 =88-16=72解二：同解一，設(shè)內(nèi)切圓的參數(shù)方程為x22 cos2 ),y2(02 sin從而 S | PA|2| PB|2|PC |2(2 cos6) 2(22 sin)2(22 cos ) 2(2 sin4) 2(2 2 cos ) 2(22 sin) 2808c

11、os因為 02，所以S最大值 =80+8=88，S最小值 =80-8=72八（本題滿分12 分）設(shè) a 2，給定數(shù)列 x n,其中 x1= a , xn 1xn2( n 1,2 ) 求證：2(xn1)1 xn 2, 且 xn 11(n1,2);xn2 如果 a3, 那么 xn21(n1,2);n 12lg a3 如果 a3, 那么當(dāng) n3時,必有 xn 13.lg 431證：先證明 xn2(n=1,2, ）用數(shù)學(xué)歸納法由條件 a 2 及 x1= a 知不等式當(dāng) n=1 時成立假設(shè)不等式當(dāng) n=k(k 1) 時成立當(dāng) n=k+1 時，因為由條件及歸納假設(shè)知xk 1 2 xk24xk 4 0(xk

12、2)20,再由歸納假設(shè)知不等式 (xk2) 20 成立，所以不等式 xk 12也成立 從而不等式 xn2 對于所有的正整數(shù)n 成立( 歸納法的第二步也可這樣證：xk 1111( xk 1)2(22)22xk 12所以不等式 xn 2(n=1,2, ）成立 ）再證明xn11(n1,2). 由條件及 x 2(n=1,2, ）知xnnxn 11xn1xn 2, 因此不等式 xn 11(n 1,2 ). 也成立xn2( xn 1)xn（也可這樣證：對所有正整數(shù)n 有xn 11111xn(1)(1) 1.2xn 122 1還可這樣證：對所有正整數(shù)n 有xn xn 1xn (xn2)0,所以 xn 11(

13、 n 1,2 ). ）2( xn1)xn2證一：用數(shù)學(xué)歸納法 由條件 x1=a 3 知不等式當(dāng) n=1時成立假設(shè)不等式當(dāng) n=k(k 1) 時成立當(dāng) n=k+1 時，由條件及 xk2 知121xk 1 12kxk2(xk1)(22k )xk22(21k ) xk2(21k )022( xk2) xk( 21k 1 ) 0,2再由 xk2 及歸納假設(shè)知，上面最后一個不等式一定成立，所以不等式 xk 1 21k 也成立，從而不等式 xn 21n 1 對所有的正整數(shù) n 成立22證二：用數(shù)學(xué)歸納法證不等式當(dāng) n=k+1 時成立用以下證法：由條件知 xk 11 ( xk 1xk1) 再由 xk2 及歸

14、納假設(shè)可得211121xk 1(22k 1 ) 1 12k23證：先證明若 xk3, 則xk13. 這是因為xk4xk 111113xk(1xk)(13).21214lg a然后用反證法 若當(dāng) n3時，有 xk 13, 則由第 1 小題知4lg3x1x2xnxn 13.因此，由上面證明的結(jié)論及x1=a 可得3x2x3xn 13n,xn 1 x1x2xna()x14lga3即 n，這與假設(shè)矛盾 所以本小題的結(jié)論成立lg43九（附加題，本題滿分10 分，不計入總分）如圖，已知圓心為O、半徑為 1 的圓與直線 L 相切于點 A，一動點 P 自切點 A 沿直線 L 向右移動時，取弧AC的長為 2 AP ，直線 PC3與直線 AO交于點 M又知當(dāng) AP=3 時，點 P 的速度為 V求這時點 M的4速度解：作 CDAM，并設(shè) AP=x，AM=y， COD= 由假設(shè)，MAC的長為 2 AP2 x ，O 133D C半徑 OC=1，可知 2 x3考慮 x(0, )AMDM APM