自動控制根軌跡極點,零點

1、第四章 根軌跡法,4-2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,4-3 廣義根軌跡,4-4 滯后系統(tǒng)的根軌跡,4-1 根軌跡的基本概念,4-5 利用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能,4-6 用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡,控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由其閉環(huán)極點唯一確定，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的基本特性與系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點在S平面上分布的位置有關(guān)。 決定系統(tǒng)基本特性的是系統(tǒng)特征方程的根，如果搞清楚這些根在S平面上的分布與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系，那就掌握了系統(tǒng)的基本特性。 為此目的，依萬斯（W.R.EVans）在1984年提出了根軌跡法，令開環(huán)函數(shù)的一個參數(shù)開環(huán)增益（或另一個感興趣的參數(shù)）從0變化到，與此對應(yīng)，特征方程的根，

2、便在S平面上描出一條軌跡，稱這條軌跡為根軌跡。 根軌跡法是研究自動控制系統(tǒng)的一種有效方法，它已發(fā)展成為經(jīng)典控制理論中最基本的方法之一。,二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng) 分為：二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng) 其阻尼比、極點分布和單位階躍響應(yīng)如下圖所示：,4-1 根軌跡的基本概念,一舉例說明根軌跡的概念 特征方程的根為,令開環(huán)增益從變化到，用解析方法求不同所對應(yīng)的特征根的值，將這些值標(biāo)在S平面上，并連成光滑的粗實線，這就是該系統(tǒng)的根軌跡。箭頭表示隨著值的增加，根軌跡的變化趨勢。,根軌跡的基本概念,當(dāng)K=0時，S1=0，S2=-1,-1,j,根軌跡的基本概念,從系統(tǒng)的根軌跡圖，可以獲得下述信息: 1、穩(wěn)

3、定性：因為根軌跡全部位于左半S平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對所有的值都是穩(wěn)定的。 2、穩(wěn)態(tài)性能：因為開環(huán)傳函有一個位于坐標(biāo)原點的極點，所以是型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。,-1,j,3、暫態(tài)性能 （1）當(dāng)0K 0.25時，閉環(huán)特征根為實根，系統(tǒng)是過阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為非周期過程。,（2）當(dāng)K0.25時，兩特征根重合，均為-0.5，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。,（3）當(dāng)K0.25時，兩特征根變?yōu)楣曹棌?fù)根，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程。,-1,j,由以上分析得知：,二繪制系統(tǒng)根軌跡的依據(jù),圖示系統(tǒng)的特征方程,繪制根軌跡是求解特征方程的根，特征方程可改寫為,開環(huán)傳函,是復(fù)變量的函數(shù)，根據(jù)上式兩邊的幅

4、 值和相角分別相等的條件，可以得到,這就是滿足特征方程的幅值條件和相角條件，是繪制系統(tǒng)根軌跡的重要依據(jù)。 現(xiàn)進(jìn)一步將繪制根軌跡的幅值條件和相角條件轉(zhuǎn)換成實用的形式。,此時，幅值條件和相角條件可寫成,開環(huán)零點；開環(huán)極點,注意這個形式和求穩(wěn)態(tài)誤差的式子不同，需變換成這種形式。,將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成下列標(biāo)準(zhǔn)的因子式,根軌跡的基本概念,三根據(jù)相角條件確定根軌跡上的點,設(shè)某一系統(tǒng)的開環(huán)零極點如圖，在平面中的任意一點 S0 ，用相角條件可以判斷 S0 是不是根軌跡的點。,1、從 S0 到各零極點連直線,2、用量角器量 ，等各個角,3、將量好的值代入（）式，若等式成立，則 S0 就是根軌跡上的點,根軌跡的基本

5、概念,不滿足，故 S0 不是根軌跡上的點。,在繪制根軌跡時，在感興趣的區(qū)段，要比較細(xì)致地繪制，可用試探法，根據(jù)相角條件確定幾個根軌跡上的點。允許有一定的誤差，比如。而其它區(qū)段的根軌跡則可根據(jù)一些規(guī)則迅速的勾畫出來。,繪制根軌跡圖時，平面虛軸和實軸的坐標(biāo)比例應(yīng)取得一致。,4-2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,繪制根軌跡的基本規(guī)則實際上是系統(tǒng)根軌跡的一些基本性質(zhì)，掌握了這些基本規(guī)則，將能幫助我們更準(zhǔn)確、更迅速的繪制根軌跡。,一根軌跡的對稱性,實際系統(tǒng)的特征方程的系數(shù)是實數(shù)，其特征根為實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，因此，根軌跡對稱于實軸。,二根軌跡的起點和終點,根軌跡的起點對應(yīng)于時特征根在S平面上的分布位置，而根軌跡的終

6、點則對應(yīng)于時，特征根在S平面上的分布位置。,幅值條件改寫,當(dāng) ，必有S=，即起點是開環(huán)極點。 當(dāng)，必有S=，即終點是開環(huán)零點。,但在控制系統(tǒng)中，總有nm，所以根軌跡從n個開環(huán)極點處起始，到m個開環(huán)零點處終止，剩下的n-m條根軌跡將趨于無窮遠(yuǎn)處。 舉例如題，起點：0、-1，無零點， n=2，m=0，n-m=2，有兩條根軌跡,-1,j,繪制根軌跡的基本規(guī)則,三根軌跡的分支數(shù),根軌跡由若干分支構(gòu)成，分支數(shù)與開環(huán)極點數(shù)相同。,四實軸上的根軌跡,在實軸上存在根軌跡的條件是，其右邊開環(huán)零點和開環(huán)極點數(shù)目之和為奇數(shù)。,設(shè)系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布如圖所示。為在實軸上確定屬于根軌跡的線段，首先在 和 之間任選一個試

7、驗點 。,繪制根軌跡的基本規(guī)則,1、共軛復(fù)數(shù)極點到的幅角之和為0，相互抵消，因此開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點、零點對實軸上根軌跡的位置沒有影響，僅取決于實軸上的開環(huán)零、極點。 2、若實軸上的某一段是根軌跡，一定滿足相角條件。試驗點左側(cè)的開環(huán)零、極點提供的相角為0,而右側(cè)的相角為180。點滿足相角條件，所以 之間是根軌跡。,例4-1：,（單位反饋）,有三個極點， 根軌跡有三條分支,j,n=3,m=2 有3-2=1條根軌跡， 2條終止于開環(huán)零點。,在實軸上不同段上取試驗點,繪制根軌跡的基本規(guī)則,五根軌跡的漸近線,1、根軌跡中（n-m）條趨向無窮遠(yuǎn)處的分支的漸近線的 傾角為,，（n-m-1),當(dāng)時，求得的漸近線

8、傾角最??；,增大，傾角值將重復(fù)出現(xiàn)，而獨立的漸近線只有(n-m)條,繪制根軌跡的基本規(guī)則,2、漸近線與實軸的交點,漸近線的交點總在實軸上，即 必為實數(shù)。在計算時，考慮到共軛復(fù)數(shù)極點、零點的虛部總是相互抵消，只須把開環(huán)零、極點的實部代入即可。,例4-2,求根軌跡,解：在平面中確定開環(huán)零、極點的位置。,j,確定實軸上的根軌跡。,n=3,m=0,應(yīng)有三個分支，并且都趨向無窮遠(yuǎn)處。,確定漸近線的位置,繪制根軌跡的基本規(guī)則,六、分離點和會合點,兩條根軌跡分支在S平面上某一點相遇，然后又立即分開的點，稱根軌跡的分離點（或會合點）。它對應(yīng)于特征方程中的二重根（如例4-2，實軸上的根軌跡要從某一點分開，然后沿

9、漸近線方向趨向無窮遠(yuǎn)處，把分離點所對應(yīng)的1值代入特征方程，應(yīng)求得二重根）。 根軌跡關(guān)于實軸對稱， 分離點或會合點必然是實數(shù)或共軛復(fù)數(shù) 常見的分離點或或會合點位于實軸上。 求方程式 的根，可以確定分離點或會合點。,繪制根軌跡的基本規(guī)則,例4-2，求分離點上的坐標(biāo)。 系統(tǒng)的特征方程為 或,上式的根,因為分離點在0至-1之間，故 為分離點的坐標(biāo)，而舍棄,用幅值條件確定分離點的增益：,七、根軌跡與虛軸的交點,當(dāng)增加到一定數(shù)值時，根軌跡可能穿過虛軸，進(jìn)入右半S平面，這表示將出現(xiàn)實部為正的特征根，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。必須確定根軌跡與虛軸的交點，并計算對應(yīng)的使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)的開環(huán)增益。 在根軌跡與虛軸的交點

10、處，在系統(tǒng)中出現(xiàn)虛根。因此可以根據(jù)這一特點確定根軌跡與虛軸的交點。可以用 代入特征方程求解，或者利用勞斯判據(jù)確定。,續(xù)例4-2，將 代入特征方程。,當(dāng)時，系統(tǒng)出現(xiàn)共軛虛根 ，此時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,在確定根軌跡與虛軸的交點，求出分離點，并做出漸近線以后，根軌跡的大概趨勢知道了，為了能較精確的畫出根軌跡，需在分離點附近取幾個試驗點，使其滿足相角條件。然后連成光滑曲線，最后逐漸靠近漸近線。,繪制根軌跡的基本規(guī)則,繪制根軌跡的基本規(guī)則,八、根軌跡的出射角和入射角,當(dāng)系統(tǒng)存在共軛復(fù)數(shù)極點（或零點）時，為了準(zhǔn)確地做出根軌跡的起始段（或終止段），必須確定根軌跡的出射角（或入射角）。 根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)

11、極點的切線方向與實軸正方向的夾角稱為出射角。出射角表示根軌跡從復(fù)數(shù)極點出發(fā)時的走向。,開環(huán)復(fù)數(shù)零點處，根軌跡的入射角為,式中,即為其它開環(huán)零、極點對出射點或入射點提供的相角,開環(huán)復(fù)數(shù)極點處，根軌跡的出射角為,繪制根軌跡的基本規(guī)則,求從出發(fā)根軌跡的出射角。,用量角器量后，得 ， 在圖上標(biāo)出 。 的出射角和 對稱。,根軌跡繪制舉例,例1.具有一個零點和3個實極點的三階系統(tǒng)的根軌跡。,設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,解：,把開環(huán)傳遞函數(shù)化為零、極點形式,1.根軌跡有3條分支，起點為開環(huán)極點0、0、-1/T，終點為開環(huán)零點-1/及無窮遠(yuǎn)處。,2.根軌跡在實軸上的分布為 -1/T，-1/ 。,3.根軌跡有n-

12、m=2條漸近線，,例2.具有一對開環(huán)復(fù)根和一個開環(huán)實零點的四階系統(tǒng)的根軌跡。,設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,解：,1.根軌跡有4條分支，起點為開環(huán)極點 0、 -3、 -1+j、-1-j，終點為開環(huán)零點-2及無窮遠(yuǎn)處。,2.根軌跡在實軸上的分布為(-,-3和-2，0。,3.根軌跡有n-m=3條漸近線，,4.極點-1+j的出射角為-26.6o 極點-1-j的出射角為+26.6o,5.根軌跡與虛軸的交點,系統(tǒng)特征方程為,把s=j代入上式可解得,即根軌跡與虛軸的交點為 ，相應(yīng)的根軌跡 增益為Kgc=7 。,4-3 廣義根軌跡,其它種類的根軌跡:,3.正反饋回路和零度根軌跡,2.多回路系統(tǒng)的根軌跡,1.參數(shù)

13、根軌跡,在實際系統(tǒng)設(shè)計中，除了根軌跡增益Kg外，還常常要分析其它參數(shù)變化時對閉環(huán)特征根的影響。比如，特殊的開環(huán)零、極點，校正環(huán)節(jié)的參數(shù)等。,除Kg以外的其它參數(shù)變化時閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的軌跡，就是參數(shù)根軌跡。,繪制方法：用特征方程中不含可變參數(shù)的部分去除特征方程，得到等效的開環(huán)傳遞函數(shù)，使參變量的位置與Kg 的位置相當(dāng)。,一、參數(shù)根軌跡,例1.一隨動系統(tǒng)如圖所示，試用根軌跡法分析其反饋系數(shù) Kf 對系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響。,解：,開環(huán)傳遞函數(shù)為,等效開環(huán)傳遞函數(shù)為,特征方程為,等效開環(huán)傳函,1. 根軌跡有兩條分支，起點為開環(huán)極點-1+j3、 -1-j3 ， 終點為開環(huán)零點0及無窮遠(yuǎn)處。,2. 根軌

14、跡在實軸上的分布為(-,0 。,3.求分離點和會合點。,s1=-3.16為會合點，相應(yīng)的Kf =0.432 s1=+3.16不在根軌跡上，舍去。,4. 求極點p1= 1+j3處的出射角,由對稱性可知 p2=-1-j3處的出射角為,以Kf為參變量的根軌跡如圖所示。,等效開環(huán)傳函,等效開環(huán)傳遞函數(shù)為,分析：,Kf為任何值系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。,當(dāng)Kf0.432時，系統(tǒng)有一對共軛復(fù)根，階躍響應(yīng)為欠阻尼情況，且Kf越小，阻尼比越小；,當(dāng)Kf=0.432時，系統(tǒng)有二重根，階躍響應(yīng)為臨界阻尼情況；,當(dāng)Kf 0.432時，系統(tǒng)有兩個不相等的實根，階躍響應(yīng)為過阻尼情況。,等效開環(huán)傳遞函數(shù)為,分析：,用幅值條件可求得

15、相應(yīng)的Kf 值。,求 時的閉環(huán)極點及Kf 值。,作 的射線與根軌跡的交點即為所求閉環(huán)極點。,二、多回路系統(tǒng)的根軌跡,根軌跡不僅適合于單回路,也適用于多回路。,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),系統(tǒng)特征方程,以為參數(shù),研究以Kc 為變量的根軌跡,系統(tǒng)有兩個環(huán)，內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點就是外環(huán)的開環(huán)極點！,1）繪制內(nèi)環(huán)的根軌跡圖,內(nèi)環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù),根據(jù)根軌跡繪制規(guī)則繪制出以Kf為參數(shù)的內(nèi)環(huán)根軌跡圖,2)確定內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點,要求內(nèi)環(huán)的反饋系數(shù) 3.2Kf3.5,內(nèi)環(huán)的特征方程,在實軸上選取試驗點進(jìn)行試探，P1=-1.6時，Kf =3.36,3)繪制外環(huán)的根軌跡圖,外環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù),可求得內(nèi)環(huán)的另外兩個閉環(huán)極點為,1、局

16、部正反饋系統(tǒng)的框圖,正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù),特征方程,三、正反饋回路和零度根軌跡,幅值條件,相角條件,特征方程,對于正反饋回路： 相角條件為， 因此通常也稱為零度根軌跡。,繪制正反饋回路根軌跡的基本規(guī)則：,（1）根軌跡的分支數(shù) (相同) （2）根軌跡的起點和終點 (相同) （3）根軌跡的對稱性 (相同),（4）實鈾上的根軌跡： 實軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)實數(shù)零、 極點數(shù)目之和為偶數(shù)。,（5）根軌跡的漸近線： 根軌跡漸近線與實袖的交點 (相同) 根軌跡漸近線與實軸正方向的夾角為,（6）根軌跡的會合點和分離點 (相同),（7）根軌跡的出射角和入射角,（8）根軌跡與虛軸的交點 (相同)

17、（9）閉環(huán)極點的和 (相同),例：控制系統(tǒng)方框圖如下所示,系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)為正反饋，繪制內(nèi)環(huán)根軌跡圖。,解：,（1）內(nèi)環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù),（3）實軸上的根軌跡,（2）根軌跡的起點 0，-1，-3 終點 均為,（4）根軌跡的漸近線,（6）根軌跡的分離點,特征方程,在自動控制系統(tǒng)中有時會出現(xiàn)純時間滯后現(xiàn)象,滯后環(huán)節(jié)的存在使系統(tǒng)的根軌跡具有一定的特殊性，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性會帶來不利的影響。,系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù),特征方程,這是一個超越方程，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根不再是有限個，而是無限多個，這是滯后系統(tǒng)的重要特征。, 4-4 滯后系統(tǒng)的根軌跡,滯后系統(tǒng)根軌跡繪制條件,滯后系統(tǒng)根軌跡方程,滯后系統(tǒng)特征方程,幅值條件,相角條件

18、,滯后系統(tǒng)根軌跡方程,繪制滯后系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則：,（3）實軸上的根軌跡：實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)開環(huán)實零、 極點數(shù)目之和為奇數(shù)。,（1）滯后系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的并對稱于實軸,（2）根軌跡的起點和終點,起點,終點,（4）根軌跡的漸近線：,根軌跡漸近線有無數(shù)條，且平行于實軸,根軌跡漸近線僅與虛軸相交，交點為,（5）根軌跡的分離點：,（6）根軌跡的出射角和入射角：,（7）根軌跡與虛軸的交點：,例：設(shè)滯后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,要求繪制此系統(tǒng)的根軌跡圖。,繪制根軌跡的相角條件為,（1）根軌跡的起點和終點,起點 - p1=-1 , =- 終點 趨于無窮遠(yuǎn),（2）實軸上的根軌跡（-，-1,（3）根軌跡的漸

19、近線平行于實軸并與虛軸交于,（4）令k=0畫出主根軌跡,k=0 的根軌跡，稱為主根軌跡,k=1、2、 的根軌跡，稱為輔助根軌跡,作圖方法,系統(tǒng)中滯后環(huán)節(jié)的存在對系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來不利影響,如果系統(tǒng)的開環(huán)增益較大,即使原來為一階的系統(tǒng)也可能變?yōu)椴环€(wěn)定系統(tǒng)。,說明：,1、以近似式畫出的根軌跡圖與主根軌跡近似。,2、當(dāng)開環(huán)增益較大時，近似方法誤差很大。,近似方法：, 4-5 利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能,一、閉環(huán)零、極點分布與暫態(tài)響應(yīng)的定性關(guān)系,對一個控制系統(tǒng)的基本要求是：系統(tǒng)要穩(wěn)定；暫態(tài)過程的快速性、平穩(wěn)性要好；穩(wěn)態(tài)誤差要小。,閉環(huán)系統(tǒng)零、極點分布與系統(tǒng)性能的關(guān)系為：,1、要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)的閉環(huán)極點均位于s平面左半平面。,2、如果閉環(huán)極點均為負(fù)實數(shù)，且無零點，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)為非振蕩的，響應(yīng)時間取決于距離虛軸最近的極點，若其它極點距離虛軸的距離比最近極點的距離大5倍以上，可以忽略不計。,3. 如果系統(tǒng)具有一對閉環(huán)主導(dǎo)極點，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)呈振蕩性質(zhì)，其超調(diào)量主要取決于主導(dǎo)極點的衰減率,并與其它極點接近原點的程度有關(guān)，調(diào)整時間主要取決于主導(dǎo)極點的實部,4. 如果系統(tǒng)中存在非常接近的零點和極點，其相互距離比其本身的模值小一個數(shù)量級以上