2004年高考.全國卷Ⅱ.文科數(shù)學(xué)試題及答案四川、吉林、黑龍江、云南等地區(qū))

1、2004 年高考試題全國卷文科數(shù)學(xué) （必修選修 ）( 四川、吉林、黑龍江、云南等地區(qū))一、選擇題：本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一個 選項是符合題目要求的（ 1）已知集合 M x|x2 4 ， N x|x2 2x 30 ，則集合 M N（ A ） x|x 2 （ B） x|x3（ C） x|1 x 2 （ D） x|2x 3（ 2）函數(shù) y1(x 5)的反函數(shù)是x5（ A ） y 1 5(x0)（B） yx 5(x R)x（ C） y 1 5(x0)（ D） y x 5(x R)x（ 3）曲線 y x3 3x2 1 在點 (1， 1)處的切線方程為

2、（ A） y3x 4（ B） y 3x 2（ C） y 4x 3（ D） y 4x 5（ 4）已知圓 C 與圓 (x 1)2 y2 1 關(guān)于直線y x 對稱，則圓 C 的方程為（ A ） (x 1)2 y2 1（B ） x2y2 1（ C） x2 (y 1)2 1（D ）x2 (y 1)2 1（ 5）已知函數(shù)y tan(2x)的圖象過點 (,0)，則 可以是12（A）（ B）（C）（D ）661212（ 6）正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都是1，則側(cè)棱與底面所成的角為（A）75（ B） 60（ C） 45（D ） 30（ 7）函數(shù) y ex 的圖象（ A ）與 y ex 的圖象關(guān)于 y 軸對稱（

3、B）與 yex 的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱（ C）與 yex 的圖象關(guān)于 y 軸對稱（ D）與 y e x 的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱（ 8）已知點A(1， 2)， B(3 ， 1)，則線段 AB 的垂直平分線的方程為（ A ） 4x 2y 5（ B） 4x 2y 5（ C） x 2y5（D ） x2y 5（ 9）已知向量a、b 滿足： |a| 1， |b| 2， |a b| 2，則 |a b|（A）1（B）2（C）5（D）6（ 10）已知球 O 的半徑為1，A、B、C 三點都在球面上，且每兩點間的球面距離為，則球心2O 到平面ABC 的距離為（A） 1（ B）33（C） 2（D） 6333（ 11）

4、函數(shù) y sin4xcos2x 的最小正周期為（ A ）（ B）2（C）（D ）24（ 12）在由數(shù)字 1，2，3，4，5 組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5 位數(shù)中， 大于 23145 且小于 43521的數(shù)共有（A）56 個（B）57 個（ C）58 個（D）60 個二、填空題：本大題共4 小題，每小題 4 分，共 16 分把答案填在題中橫線上（ 13）已知 a 為實數(shù)， (x a)10 展開式中 x7 的系數(shù)是 15，則 a。（ 14）設(shè) x， y 滿足約束條件x0，xy，2xy1，則 z 3x 2y 的最大值是（ 15）設(shè)中心在原點的橢圓與雙曲線2x2 2y2 1 有公共的焦點，且它們的離心率

5、互為倒數(shù)，則該橢圓的方程是（ 16）下面是關(guān)于四棱柱的四個命題：若有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱若四個側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱其中，真命題的編號是(寫出所有真命題的編號 )三、解答題：本大題共6 個小題，共 74 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟（ 17） (本題滿分 12 分 )已知等差數(shù)列 an ， a2 9，a5 21。( )求 an 的通項公式；( )令 bn 2 an ，求數(shù)列 bn 的前 n 項和 Sn。（ 18） (本小題滿分12 分 )已知銳角

6、三角形ABC 中， sin(A B) 3 ， sin(AB) 1 55( )求證： tanA 2tanB；( )設(shè) AB 3，求 AB 邊上的高（ 19） (本小題滿分12 分 )已知 8 支球隊中有3 支弱隊，以抽簽方式將這( )A、B 兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率；( )A 組中至少有兩支弱隊的概率（ 20） (本小題滿分12 分 ) 8 支球隊分為A、B 兩組，每組4 支求如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1 中， ACB 90o，AC 1，CB2 ，側(cè)棱 AA1 1，側(cè)面 AA 1B 1B的兩條對角線交點為D ，B1C1 的中點為M( )求證： CD平面 BDM ；( )求面 B1BD

7、 與面 CBD 所成二面角的大?。?21） (本題滿分12 分 )32 (a1)x 1 在區(qū)間 (1,4)若函數(shù) f(x) 1 x 1 ax32內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間 (6， )上為增函數(shù)，試求實數(shù)a 的取值范圍。（ 22） (本小題滿分 14 分 )給定拋物線 C： y24x， F 是 C 的焦點，過點 F 的直線 l 與 C 相交于 A、 B 兩點( )設(shè) l 的斜率為1，求 OA 與 OB 夾角的大??；()設(shè) FB AF ，若 4，9，求 l 在 y 軸上截距的變化范圍2004 年高考試題全國卷2文科數(shù)學(xué) （必修選修 ）( 四川、吉林、黑龍江、云南等地區(qū))參考答案：一、選擇題：本大題共12

8、小題，每小題 5 分，共 60 分（1）C（2）A（3） B（ 4）C（5）A（6） C（7）D（ 8）B（9）D（ 10）B（11）B（12）C二、填空題：本大題共4 小題，每小題4 分，共 16 分（ 13） 1（14） 5（15）1x2 y2 1（ 16）22解題思路：1、 已知集合 M=x|x 24 ，N=x|x 2-2x-30, 則集合 M N=(C )A x|x3C x|-1x2D x|2x3解法一： (直接求解 )由 M=x|x 24=x|-2x2 ，N=x|x 2-2x-30=x|-1x3則： M N=x|-2x2 x|-1x3=x|-1x2。解法二： (作出函數(shù)的圖象求解 )

9、2、函數(shù) y1 (x 5)的反函數(shù)是（A ）x51 5(x 0) B.y x 5(x R)C.y 1 5(x 0)D.y x5(x R)A.y xx解：反解求 x,選 A。3、曲線 y x3 3x2 1 在點 (1,1)處的切線方程為（）A.y 3x 4B.y 3x 2C.y 4x 3D.y 4x 5解：導(dǎo)數(shù)求解由 y 3x2-6x 在點 (1, 1)的值為 -3,故選 B 。4、已知圓 C 與圓 (x-1) 2+y 2=1 關(guān)于直線 y=-x 對稱，則圓 C 的方程為 ( C )A (x+1) 2+y2=1B x 2+y 2=1C x 2+(y+1) 2=1D x 2+(y-1) 2=1解法

10、一：（點對稱法）由于圓關(guān)于直線對稱，其半徑不變，只求出新的圓心即可。而關(guān)于直線y=-x 對稱，則橫縱坐標(biāo)交換位置，并取相反數(shù)。由圓(x-1) 2+y2=1 的圓心為（1， 0），則對稱圓的圓心為（0， -1），故選 C。解法二：（線對稱法）由于曲線關(guān)于直線對稱，只要求出對稱前后曲線上的點的坐標(biāo)之間的關(guān)系即可。而關(guān)于直線 y=-x 對稱，則橫縱坐標(biāo)交換位置，并取相反數(shù)。由圓的方程(x-1) 2+y2=1，將方程中的x 換為 -y,y 換為 x，則得對稱曲線的方程，故選C。解法三：（作圖法）將四個備選答案的圖形作出來可得。5、已知函數(shù) y=tan(2x+ )的圖象過點 (,0 )，則 的值可以是

11、( A )12A -6BC12D612解法一：（關(guān)鍵點法）由題意知，點 ( ,0 )對應(yīng)曲線上關(guān)鍵點（0，0），12即當(dāng) x=時， 2x+ =0，則 =-。126解法二：（平移法）由 y=tan(2x+ )=tan2(x+)。圖象過點 (12, 0 )，即相當(dāng)于把圖象向右平移了個單位，則2122= -，則 =- 。1266、正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都是1，則側(cè)棱與底面所成的角為（C ）A.75 B.60C.45D.30 7、函數(shù) y=-ex的圖象 (D)A與 y=ex 的圖象關(guān)于 y 軸對稱 .B與 y=ex 的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱 .C與 y=e-x 的圖象關(guān)于 y 軸對稱 .D與 y=e

12、-x 的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱 .解：（排除法）8、已知點 A(1,2) ， B(3,1) ，則線段 AB 的垂直平分線的方程為（B ）A.4x 2y 5B.4x 2y 5C.x 2y5D.x 2y 59、已知向量 a、 b 滿足： |a| 1， |b| 2， |a b| 2，則 |ab|（ D ）A.1B. 2C. 5D. 610、已知球 O 的半徑為1，A 、B 、C 三點都在球面上，且每兩點間的球面距離均為，則球心2O 到平面 ABC 的距離為（B ）A 1B3C3326D33解：由于球 O 的半徑為1，則周長為 2 ，而 A、 B、C 三點都在球面上，且每兩點間的球面距離均為，即圓周的四

13、分之一，則AB=BC=CA=2，又 A ，B ，C 三點所在2小圓上均勻分布，則圓心角為120度，求得弦長為3r ，則 2 = 3r ，則r=6,故球心 O 到平面 ABC 的距離為R2r 23 。3311、函數(shù) y=sin 4x+cos2x 的最小正周期為（B ）A4BC D 2 2解法一：直解法421cos2x2 1cos2 x31271y=sin x+cos x=(2) +2= 44 cos 2x= 88 cos4x42x的最小正周期為2.函數(shù) y=sin x+cos42解法二：圖象法在同一坐標(biāo)系中作出y=sin 4x 和 y=cos2 x 的簡圖。也可分析出周期。12、在由數(shù)字1、 2

14、、 3、 4、 5 組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5 位數(shù)中，大于 23145 且小于 43521的數(shù)共有（C ）A56 個B57 個C58個D60個解法一：（直接法）當(dāng)首位排2，次位排3 時，有 P 33-1種；次位排4、5 時有 2P33種，共計 17種；當(dāng)首位排3，P 44 種，共計 24 種；當(dāng)首位排4，次位排3 時，有 P 33-1種；次位排1、2 時有 2P33種，共計 17種；以上總計 17+24+17=58 種。解法二：（間接法）不作限定時有 P55 120 種；當(dāng)首位排1 或 5 時，各有 P 44 種，共計 48 種不滿足要求；當(dāng)首位排2，次位排1 時，有 P 33 種；而次位排

15、3 時有 1 種，共計7 種不滿足要求；當(dāng)首位排4，次位排5 時，有 P 33 種；而次位排3 時有 1 種，共計7 種不滿足要求；因此共有120-48-7-7=58 種排法，即58 個數(shù)。13、已知 a 為實數(shù)， (x a)10 展開式中 x7 的系數(shù)是 15，則 a1 。2x0314、設(shè) x,y 滿足約束條件：xy，則 z=3x+2y 的最大2xy12值是5。x=y=1 時， z=3+2=5 。解：作出可行域可迅速求解得H15、設(shè)中心在原點的橢圓與雙曲線2x2-2y2=1 有公共的焦1C點，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該橢圓的方程A是。F1B-2-12解： 雙曲線 2x2 -2y2=1 中

16、a2= 1 ,b2= 1 ,c2=1,22-1則其焦點坐標(biāo)為F1(-1,0),F 2(1,0)，離心率 e1= 2 。則橢圓的離心率為1 ， c=1,a=2，則 b=1.故橢圓的方程-222是 ( xy2 1)。16、下面是關(guān)于四棱柱的四個命題：若有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；若四個側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱；若四棱柱的四條對角線兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱。其中真命題的編號是（寫出所有真命題的編號）。解：舉反例講解。17、 ( 本題滿分 12 分 )已知等差數(shù)列 a n ， a2 9，a5 21。(1) 求 a

17、 n 的通項公式；(2) 令 bn 2an ，求數(shù)列 b n 的前 n 項和 Sn。解： a5-a2=3d,d=4,an=a2+(n-2)d=9+4(n-2)=4n+1n32(2 4n1).b 是首項為 32 公比為 16 的等比數(shù)列， Sn=1518、（本小題滿分12 分）已知銳角三角形ABC 中， sin(A+B)=3 ,sin(A-B)=1 ,55(i) 求證 tanA=2tanB;(ii) 設(shè) AB=3 ，求 AB 邊上的高。解法一：（應(yīng)用三角公式求解）(I) 證明： sin(A+B)= 3 ,sin(A-B)= 155sin Acos Bcos Asin B3sin Acos B25

18、5tan A2 ， tanA=2tanB.11tan Bsin Acos Bcos Asin Bcos Asin B55(II) 解：A+B0,b0,c0)則有： sinA=c,cosA=a,a2c2a2c2sinB=c,cosB=b.則 :xb2c2b2c2cbaA(-a,0)O(D)B(b,0)sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=+a2c2b 2c 2a2c 2c=c(ab)=3b2c2a2c2b 2c25sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=cb-ac=c(ba)1 a2c2b2a2c2b2c2b2c 2=c2c 2a 25由除可得 b=2a tanA=

19、 cc2c=2tanB. 故 tanA=2tanB 。a1bb2(II) 由于 AB=3 ， b-(-a)=b+a=3, 又 b=2a, a=1,b=2.代入有c= 1，1 c24 c25 25c2=(1+c 2)(4+c 2), c2=104 6 ,2舍去負(fù)值得c =10+ 4 6 , c=2+6 .yC(0,c)B(3-a,0)A(-a,0)O(D)x故 AB 邊上的高為2+6 。反思：解析法是解題的基本方法。解法三：（解析法，根據(jù)面積相等求解）(II) 解：由三角形 ABC 是銳角三角形，如圖建立直角坐標(biāo)系，不防設(shè)：A(-a,0),B(3-a,0),C(0,c),(a0,c0)則 tan

20、A= CD= c ,tanB= CDcADaBD3 a由 tanA=2tanB ， c =2c， a=1a3 a3而 sinACB=sin(180 -(A+B)=sin(A+B)=5由 S ABC = 1 |AB|CD|= 1 |AC|AB|sinACB ,22 3c= 3 1 c24 c2 25c2=(1+c 2)(4+c 2), c2=10 4 6 ,5舍去負(fù)值得 c2=10+ 46 , c=2+6 .故 AB 邊上的高為 2+6 。反思：本題中已知sin(A+B) 即已知 sinC 了，即可聯(lián)想到三角形的面積，這是解題的入手點和關(guān)鍵點。y解法四：（由向量的數(shù)量積求解）C(0,c)(II)

21、 解：由三角形 ABC是銳角三角形，如圖建立直角坐標(biāo)系，不防設(shè)： A(-a,0),B(3-a,0),C(0,c),(a0,c0)則 tanA= CD = c ,tanB= CDcAD aBD3 aB(3-a,0)由 tanA=2tanB ， c =2c， a=1。xA(-a,0)O(D)a3 a而 sinACB=sin(180 -(A+B)=sin(A+B)=3， cosACB= 455 CA CB =(-a,-c)(3-a,-c)=(-1,-c)(2,-c)=-2+c 2又CA CB =|CA| CB | cosACB = 1c 24c24 16(1+c 2)(4+c2)=25(-2+c 2

22、 ) c2=10546 ,26 , c=2+6 .舍去負(fù)值得 c =10+ 4故 AB 邊上的高為 2+6 。反思：本題中已知sin(A+B) 即已知 sinC， cosC 了，因而可聯(lián)想到向量的內(nèi)積，這是解題的入手點和關(guān)鍵點。 上述求 c2 的過程亦可由AB CB CA 式子兩邊求模來計算。解法五：（由正余弦定理求解）(II) 解：由三角形 ABC 是銳角三角形，過C 作 CDAB 于 D，C則 tanA= CD ,tanB= CD。由 tanA=2tanB ，ADBD CD =2 CDADBD,BD=2AD, 由 AB=AD+DB=3， AD=1 ， BD=2 。AC 2=1+CD2， B

23、C 2=4+CD 2， BC 2=AC 2+3。 sin(A+B)=3 ， cos(A+B)=-44AO(D)B, cosC=.555由余弦定理知：AB 2=AC 2+BC 2-2AC BC cosC,即 9=AC 2+BC 2-2AC BC4 5由得 5BC 2-30=4BCBC 23 ， BC2=14 4 6CD2=10+ 4 6 CD=2+ 6 .故 AB 邊上的高為 2+ 6 。解法六：（由正余弦定理求解）(II) 解：由三角形 ABC 是銳角三角形，過 C 作 CD AB 于 D由 tanA=2tanB ， sinAcosB=2cosAsinB,C由正余弦定理可得： a a 2c2b

24、2= 2b b2c2a 2,a2 =b2+3。 2ac2bc又在銳角三角形中sin(A+B)= 3 ， cos(A+B)=-4,cosC=4.AO(D)B555由余弦定理知： c2=b2+a2-2abcosC,224 即 9=b +a -2ab5由得2a225a -30=4a3 ， a =14 4 626246a =14+ 4CD =10+ CD=2+ 6 .故 AB 邊上的高為 2+ 6 。反思：本題中已知 sin(A+B) 即已知 sinC， cosC 了，因而可聯(lián)想到正余弦定理，這是解題的入手點和關(guān)鍵點。18、（本小題滿分12 分）已知 8 支球隊中有3 支弱隊，以抽簽的方式將這8支球隊

25、分為 A、 B 兩組，每組4 支，(i)A 、 B 兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率；(ii)A 組中至少有兩支弱隊的概率。(I) 解法一：三支弱隊在同一組的概率為C51C511 ，故有一組恰有兩支弱隊的概率為1- 1=6 。C84C84777解法二： 有一組恰有兩支弱隊的概率C32 C52C32C526 。C84C847(II) 解法一：A 組中至少有兩支弱隊的概率C32C52C32 C511 。C84C842解法二：A 、 B 兩組有一組至少有兩支弱隊的概率為1，由于對 A 組和 B 組來說，至少有兩支弱隊的概率是相同的，所以A 組中至少有兩支弱隊的概率為1 。2解法三：A 組中沒有弱隊的概

26、率為C 0C3C1C23 4 5 ， A 組中只有一支弱隊的概率為3 4 5 ，A 組中至少有兩支弱隊C8C8C30C53C31C521的概率為 1- C 4- C 4= 2 。8819、（本小題滿分 12 分）數(shù)列 a n 的前 n 項和記為 Sn，已知 a1=1,an+1 = n2 Sn(n=1,2,3 ， )。n證明： (i) 數(shù)列 Sn 是等比數(shù)列； (ii)S n+1 =4an.n（ I ）證法一：（定義法）由 a1=1,an+1= n 2 Sn(n=1,2,3 ， ) ，nS2知 a2= 2 1 S1=3a1, S24a12, S11,221221S11又an+1=Sn+1-Sn(

27、n=1,2,3 ，), 則 Sn+1 -Sn=n 2Sn(n=1,2,3 ，) ， nSn+1 =2(n+1)Sn,nSn1Sn 是首項為 1，公比為n1 2(n=1,2,3 ， ).故數(shù)列 2 的等比數(shù)列。Snnn證法二（數(shù)學(xué)歸納法） 由 a1=1,an+1= n2 Sn(n=1,2,3 ， ) ，知 a2= 21 S1=3a1, S24a12 ,S11n1221猜測 Sn 是首項為1，公比為2 的等比數(shù)列。n下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：令bn= Sn .n當(dāng) n=2 時 ,b2=2b 1,成立。當(dāng) n=3 時 ,S3=a1+a2+a3=1+3+2(1+3)=12,b 3=4=2b2.成立。假設(shè)

28、n=k 時命題成立。即 bn=2bn-1.Skk2那么當(dāng) n=k+1 時。 bk+1= Sk 1SkSkak 1kk2Sk2bk .命題成立。k 1k11k綜上知 Sn 是首項為1，公比為2 的等比數(shù)列。n（ II ）解法一：由（ I）知， Sn 1 4Sn 1 (n2) ，于是 SSn1=4an(n 2 )n 1n 1n+1=4(n+1) 1n又 a2=3S1=3, 則 S2=a1+a2=4=4a1,因此對于任意正整數(shù)n 1 都有 Sn+1=4an.解法二：由數(shù)列 Sn 是首項為1，公比為2 的等比數(shù)列，則Sn=2n-1, Sn+1=(n+1)2 n(n 1)nn而 an+1= n 2 Sn

29、(n=1,2,3 ， )，則 an= n1 Sn-1= n1 (n-1)2 n-2=(n+1)2 n-2(n=2,3 ， ), Sn+1=4an. 又nn1n1a2=3S1=3,則 S2=a1+a2=4=4a1,因此對于任意正整數(shù)n 1 都有 Sn+1=4an.20（本小題滿分 12分）如圖，直三棱柱ABC A 1B1C1 中， ACB=90 ， AC=1 ，CB=2，側(cè)棱 AA1=1,側(cè)面 AA B B 的兩條對角線交點為D，B C1111的中點為 M 。(i) 求證 CD平面 BDM ； (ii) 求面 B1BD 與面 CBD 所成二面角的大小。AADCCMBB解法一 ：(I) 如圖，連結(jié)

30、 CA 1、 AC 1、 CM ，則 CA 1= 2 ， A A CB=CA 1= 2 ， CBA 1 為等腰三角形，DCCMBB又知 D 為其底邊 A 1B 的中點， CD A 1B，A 1C1=1， C1B 1=2 ， A 1B 1=3 ，又 BB 1=1， A 1B=2 ， A 1CB 為直角三角形， D 為 A 1B 的中點， CD=1 A 1B=1 ，CD=CC 1。2又 DM= 1 AC1=2 ， DM=C 1M ， CDN CC1M ， CDM= CC1M=90 ,即 CD DM ，22因為 A 1B、 DM為平面 BDM 內(nèi)兩條相交直線，所以CD 平面 BDM 。(II) 設(shè)

31、F、 G 分別為 BC、 BD 的中點，連結(jié) B1G、 FG、 B 1F，則 FGCD ， FG= 1 CD。 FG= 1 ， FG BD.AA22由側(cè)面矩形 BB 1A 1A 的對角線的交點為D,知 BD=B 1D= 1 A 1B=1，2所以 BB 1D 是邊長為1 的正三角形， 于是 B 1G BD ，B3，CD1G=C2F B 1GF 是所求二面角的平面角。MG又 B 1F2=B 1B2+BF 2 =1+(2 )2=3.BB22 cosB 1GF= B1G222(3 )2(1)23FGB1 F22123 。2B1GFG233z22即所求二面角的大小為 -arccos3 。AA3解法二 ：如圖以C 為原點建立坐標(biāo)系。(I):B(2 ,0,0),B 1(2,1,0),A 1(0,1,1),D(2 ,11,),222M(2,1,0), CD(2112 ,-1,-1), ),A1B (222211DM(0, 2,- 2),CDA1B0,CD DM0,CD A 1B,CD DM.因為 A 1B、 DM 為平面 BDM 內(nèi)兩條相交直線，所以 CD平面 BDM 。DCCyF GMBBX(II): 設(shè) BD 中點為 G，連結(jié) B 1G，則 G ( 3 2 , 1,1), BD (-2, 1,1)， B1G(2