1984年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試.文科數(shù)學(xué)試題及答案

1、1984 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)試題及答案（這份試題共八道大題，滿分120 分）一（本題滿分 15 分）本題共有 5 小題，每小題都給出代號(hào)為 A，B，C，D 的四個(gè)結(jié)論， 其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的 把正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi)每一個(gè)小題：選對的得3 分;不選，選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過一個(gè)的（不論是否都寫在圓括號(hào)內(nèi)），一律得負(fù) 1 分1數(shù)集 X=（2n+1），n 是整數(shù)與數(shù)集 Y=（4k 1），k 是整數(shù)之間的關(guān)系是（ C ）（ A）X Y （B）X Y （C）X=Y （D）XY2. 函數(shù) y=f(x) 與它的反函數(shù) y=f -1 (x) 的圖象（ D ）（A）關(guān)于 y 軸

2、對稱（B）關(guān)于原點(diǎn)對稱（C）關(guān)于直線 x+y=0 對稱（D）關(guān)于直線 x-y=0 對稱3復(fù)數(shù) 13 i 的三角形式是（ A ）22（A） cos()i sin()Bi sin3（ ） cos333（C） cosi sinDi sin5（ ） cos33364直線與平面平行的充要條件是這條直線與平面內(nèi)的（ C）（A）一條直線不相交（B）兩條直線不相交（C）任意一條直線都不相交（D）無數(shù)條直線不相交5方程 x2-79x+1=0 的兩根可分別作為（ A ）（ A）一橢圓和一雙曲線的離心率 （B）兩拋物線的離心率（ C）一橢圓和一拋物線的離心率 （D）兩橢圓的離心率二（本題滿分 24 分）本題共 6

3、小題，每一個(gè)小題滿分4 分只要求直接寫出結(jié)果）1已知函數(shù) log 0.5 (2x3)0 ，求 x 的取值范圍3答：x2.2已知圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為 2 與 4 的矩形，求圓柱的體積答：4或83已知實(shí)數(shù) m滿足 2x2-(2i-1)x+m-i=0,求 m及 x 的值答： m=0,x=- 1 .24. 求 lim (n21)(n22)(n 2n) 的值nn(n1)(n2)答： 15求 (2 x1) 6 的展開式中 x 的一次冪的系數(shù)x答： 2406要排一張有 6 個(gè)歌唱節(jié)目和 4 個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰，問有多少種不同的排法（只要求寫出式子，不必計(jì)算）答： P74 6

4、!三（本題滿分 12 分）本題只要求畫出圖形1畫出方程 y2=-4x 的曲線2畫出函數(shù) y1的圖象1)2( x解：1Y2Y四（本題滿分12分）11F（ -1，0） OX已知等-1OX差數(shù)列 a ,b,c中的三個(gè)數(shù)都是正數(shù)，且公差不為零求證它們的倒數(shù)所組成的數(shù)列1,1,1 不可能成等差數(shù)列abc證：如果 1, 1, 1成等差數(shù)列，那么abc1111 ,即 abb c 兩邊乘以 b,得 abb c ,bacbbccbac又因?yàn)?a ,b,c成等差數(shù)列，且公差不為零，所以a b b c 0. 由以上兩式，可知 11 .ac兩邊都乘以 a c，得 a =c.但由數(shù)列 a ,b,c的公差不為零，知 a

5、c，這就得出矛盾從而 1 , 1 , 1 不可能成等差數(shù)列a b c五（本題滿分 14 分）把 11 sin 2 2sin 2cos4化成三角函數(shù)的積的形式 ( 要求結(jié)果最4簡）解 :原式(1 sin 2)1 sin 2 2cos44cos2sin 2cos2cos4cos2cos2(sin 2cos2)cos2cos2(coscos)(coscos )(2coscos)( 2sin2sin)222sin()sin( -)六（本題滿分 14 分）如圖，經(jīng)過正三棱柱底面一邊AB，作與底面成 300 角的平面，已2知截面三角形 ABD的面積為 32cm，求截得的三棱錐D-ABC的體積解：因?yàn)檫@個(gè)三

6、棱錐是正三棱錐，所以 ABC是正三角形， 且DC所在直線與 ABC所在平面D垂直300BCEA如圖，作 ABC的高 CE，連結(jié)DE由三垂線定理，知DEAB，所以0DEC是二面角 -AB- 的平面角， DEC=30CE=AB tg 603AB, DECE23AB AB22cos3032用 S 截表示 ABD的面積，則32 S截1AB DE1 AB2, AB 8.22用 S 底表示 ABC的面積，則S底=1 AB CE3 AB216 3.240 DEC=30，所以 DC=4. V三棱錐1S底 DC1163464 3 (cm2 )333七（本題滿分 14 分）某工廠 1983 年生產(chǎn)某種產(chǎn)品2 萬件

7、，計(jì)劃從 1984 年開始，每年的產(chǎn)量比上一年增長20%問從哪一年開始， 這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量超過 12 萬件（已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771)解：設(shè) a 1 為這家工廠1983 年生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量，即a 1=2.并將這家工廠 1984，1985， 年生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量分別記為a 2 , a 3,. 根據(jù)題意，數(shù)列 a n 是一個(gè)公比為 1.2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為 an21.2 n 1根據(jù)題意，設(shè)21.2 n 112兩邊取常用對數(shù)，得lg 2(x1) lg 1.2lg 12.xlg 12lg 21lg 32lg 2lg 2 10.7781110.84lg 1

8、.2lg 32 lg 210.0791因?yàn)?y21.2 x 是增函數(shù)，現(xiàn) x 取正整數(shù)，可知從1993 年開始，這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的產(chǎn)量超過12 萬臺(tái)答：略八（本題滿分 15 分）已知兩個(gè)橢圓的方程分別是C1:x 2+9y2-45=0,C2:x 2+9y2-6x-27=0.1求這兩個(gè)橢圓的中心、焦點(diǎn)的坐標(biāo)2求經(jīng)過這兩個(gè)橢圓的交點(diǎn)且與直線x-2y+11=0 相切的圓的方程1解：把 C1 的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得C1x2y 25, c 2 10 .:1 a 3 5, b455可知橢圓 C1 的中心是原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(2 10,0), ( 2 10 ,0)把 C2 的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得C 2

9、: ( x 3)2y21 a 6, b 2,c 4 2.364可知橢圓 C2 的中心坐標(biāo)是（ 3，0），焦點(diǎn)坐標(biāo)分別(342,0), (342,0)2解一：解方程組x29 y 245 0,解得x 3,或x3,x29 y26x 27 0,y 2,y2,所以兩橢圓 C1 ，C2 的交點(diǎn)坐標(biāo)是 A（3，2），B（3，-2 ）設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.因?yàn)?A，B 兩點(diǎn)在圓上，所以有3D2EF130,解得E 0, F3D 133D2EF130.從而所求圓的方程為x2 +y2+Dx-3D-13=0由所求圓與直線x-2y+11=0 相切，可知方程x2( x11)2Dx3D 130即5x2(22 4D )x 12 D 69 0的判別式為 0就是 D2226D560解得 D2,或D28從而所求圓的方程是x2 +y2+2x-19=0, 或 x2+y2-28x+71=0.解二：同解一，求出兩橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)為A（3，2），B（3，-2 ）所求圓的圓心在線段AB的垂直平分線上即x 軸上，因此可設(shè)圓心為（ m,0)由所求圓與直線x-2y+11=0 相切，可知點(diǎn)（m,0) 到直線 x-2y+11=0 的距離等于點(diǎn)（m,0) 與點(diǎn) A（3，2）之間的距離（都