word完整版植樹問題的公式知識點推薦文檔

1、植樹問題的公式知識點:一、植樹問題分兩種情況，不封閉與封閉路線。不封閉的植樹路線 若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多1.全長、棵數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是：棵數(shù) 段數(shù)1全長 株距1全長株距（棵數(shù)1）株距全長（棵數(shù)1） 如果題目中要求在路線的一端植樹，則棵數(shù)就比在兩端植樹時的棵數(shù)少1，即棵數(shù)與段數(shù)相等全長、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：全長株距棵數(shù)；棵數(shù) 段數(shù) 全長 株距；株距全長棵數(shù) 如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數(shù)就比中還少1棵棵數(shù)段數(shù)1全長株距1.株距全長（棵數(shù)1）.全長株距（棵數(shù)+1）封閉的植樹路線在圓、正方形、長方形、閉合曲線等上面植樹，因為頭尾兩端重合在一起，所以種樹的棵

2、數(shù)等于分成的段數(shù)棵數(shù)段數(shù)周長株距二、解植樹問題的三要素解決植樹問題，首先要牢記三要素：總路線長、間距（棵距）長、棵數(shù)只要知道這三個要素中任意兩個要素，就可以求出第三個.三、方陣問題明確空心方陣和實心方陣的概念及區(qū)別每邊的個數(shù)=總數(shù)十4 1 ”；每向里一層每邊棋子數(shù)減少2;掌握計算層數(shù)、每層個數(shù)、總個數(shù)的方法，及每層個數(shù)的變化規(guī)律。板塊一、非封閉的植樹問題【例1】大頭兒子的學(xué)校旁邊的一條路長400米，在路的一邊從頭到尾每隔4米種一棵樹，一共能種幾棵樹？04 總米 12米1球20米IIiiii棵漏d棵4棵誹 6棵從圖上可以看出，每隔 4米種一棵樹，如果 20米長的路的一邊共種了 6棵樹，這是因為我

3、們首先要在這 條路的一端種上一棵，就是說種樹的棵樹要比間距的個數(shù)多1，所以列式為：400 +4+1=101 （棵）.【例2】從小熊家到小豬家有一條小路，每隔45米種一棵樹，加上兩端共53棵；現(xiàn)在改成每隔60米種一棵樹.求可余下多少棵樹 ？【解析】該題含植樹問題、相差關(guān)系兩組數(shù)量關(guān)系從小熊家到小豬家的距離是：45 53-1）=2340（米）,間隔距離變化后，兩地之間種樹：2340 +60+1=40（棵），所以可余下樹：53-40=13（棵），綜合算式為：53-45 X（53-1） -60+1=13（ 棵）.【例3】馬路的一邊，相隔8米有一棵楊樹，小強乘汽車從學(xué)校回家，從看到第一棵樹到第153棵樹

4、共花了 4分鐘，小強從家到學(xué)校共坐了半小時的汽車，問：小強的家距離學(xué)校多遠？【解析】第一棵樹到第153棵樹中間共有153-仁152 （個）間隔，每個間隔長 8米，所以第一棵樹 到第153棵樹的距離是：152 X8=1216 （米），汽車經(jīng)過1216米用了 4分鐘，1分鐘汽車 經(jīng)過：1216 +4=304 （米），半小時汽車經(jīng)過：304 X30=9120 （米），即小明的家距離學(xué)校 9120 米.【例4】一位老爺爺以勻速散步，從家門口走到第11棵樹用了 11分鐘，這位老爺爺如果走24分鐘，應(yīng)走到第幾棵樹？（家門口沒有樹）【解析】 從家門口走到第11棵樹是走了 11個間隔，走一個間隔所用時間是：1

5、1 +11=1 （分鐘），那么走24分鐘應(yīng)該走了： 24 +1=24 （個）間隔，所以老爺爺應(yīng)該走到了第24棵樹.【例5】晶晶上樓，從第一層走到第三層需要走36級臺階.如果從第一層走到第六層需要走多少級臺階?（各層樓之間的臺階數(shù)相同）【解析】 題意的實質(zhì)反映的是一線段上的點數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系.線段示意圖如下：解：每相鄰兩層樓之間有多少級臺階36 （3 1） 18（級）從第一層走到第六層共多少級臺階18 （6 1） 90（級）【例6】 元宵節(jié)到了，實驗中學(xué)學(xué)校大門上掛了紅綠兩種顏色的彩燈，從頭到尾一共掛了21只，每隔30分米掛一只紅燈，相鄰的 2只紅燈之間掛了一只綠燈，問實驗中學(xué)學(xué)校的大門有

6、多寬？【解析】一共掛了 21只彩燈說明彩燈中間的間距有：21-1=20 （個），每隔30分米掛一只紅燈，相鄰的2只紅燈之間掛了一只綠燈，說明每個間距的長是：30 +2=15 （分米），所以學(xué)而思學(xué)校的大門 寬度為：15 X20=300 （分米）【例7】 有一個報時鐘，每敲響一下，聲音可持續(xù)3秒如果敲響6下，那么從敲響第一下到最后一下持續(xù)聲音結(jié)束，一共需要 43秒現(xiàn)在敲響12下，從敲響第一下到最后一下持續(xù)聲音結(jié)束，一 共需要多長時間？【解析】每次敲完以后，聲音持續(xù) 3秒，那么從敲完第一下到敲完第6下，一共經(jīng)歷的時間是 43 3 40（秒），而這之間只有6 1 5 （個）間隔，所以每個間隔時間是

7、40 5 8 （秒），現(xiàn)在要敲響12下，所以一共經(jīng)歷的時間是 11個間隔和3秒的持續(xù)時間，一共需要時間是：11 8 3 91 （秒）.【例8】 小明家的小狗喝水時間很規(guī)律，每隔5分鐘喝一次水，第一次喝水的時間是8點整，當(dāng)小狗第20次喝水時，時間是多少？【解析】第20次喝水與第1次喝水之間有20 1 19（個）間隔，因為小狗每隔5分鐘喝一次，所以到第20次喝水中間間隔的時間是：19 5 95（分鐘），也就是1個小時35分鐘，所以小狗第 20次喝水時時間是：9時35分.【例9】 裁縫有一段16米長的呢子，每天剪去 2米，第幾天剪去最后一段？【解析】如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就

8、可以剪去最后一段，4米里 有2個2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，還剩4米，第二天就可 以剪去最后一段，6米里有3個2米，只用2 天;如果呢子有8米，第一天剪去2 米, 還剩6米，第二天再剪2米，還剩4米，這樣第三天即可剪去最后一段，8米里有4 個2米，用3天，我們可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：所用的天數(shù)比2米的個數(shù)少1.因此，只要看16米里有幾個2米，問題就可以解決了 . 16米中包含2米的個數(shù)：16 2 8（個） 剪去最后一段所用的天數(shù)：8 1 7 （天），所以裁縫第7天剪去最后一段.【例10】 有一根180厘米長的繩子，從一端開始每 3厘米作一記號，每 4厘米也作一記號，然后將標(biāo)有記號

9、的地方剪斷，繩子共被剪成了多少段？【解析】每3厘米作一記號，共有記號：180 3 1 59 （個）6-1-3.植樹問題.題庫教師版page 3 of 27 每4厘米作一記號，共有記號:180 4 1 44 （個）其中重復(fù)的共有：180 12 1 14 （個）所以記號共有：59 44 14 89 （個）繩子共被剪成了：89 1 90 （段）【例111在一根長100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個紅色點，同時自右向左每隔5厘米也染一個紅點，然后沿紅點將木棍逐級鋸開，那么長度是4厘米的短木棍有多少根？05 6101215】82024 2530I|_|I I|I I|_|4匣米4屋果【解析】由于

10、100是5的倍數(shù)，所以自右向左每隔5厘米染一個紅點相當(dāng)于自左向右每隔5厘米染一個紅點.而每隔30厘米可得到2個4厘米的短木棍.最后100 30 3 10 （厘米）也可以得一個 短木棍，故共有 2 3 1 7 （個）4厘米的短棍.【例121同學(xué)們做操，小林站在左起第 5列，右起第3列；從前數(shù)前面有 4個同學(xué)，從后數(shù)后面有 6個同 學(xué).每行每列的人數(shù)同樣多，做操的同學(xué)一共有多少人？【解析】 帶領(lǐng)學(xué)生畫圖求解.一共有幾行？列式：4+6+1=11 （行）一共有幾列？列式：5 3 17 （列）一共有多少人？列式：11 7 77 （人）【例131北京市國慶節(jié)參加游行的總?cè)藬?shù)有60000人，這些人平均分為

11、25隊，每隊又以12人為一排列隊前進.排與排之間的距離為 1米，隊與隊之間的距離是4米，游行隊伍全長多少米？【解析】 這道題仍是植樹問題的逆解題，它與植樹問題中已知樹的棵數(shù)，樹間的距離，求樹列的全長相當(dāng).逆解時要注意段數(shù)比樹的棵數(shù)少1 .所以,60000 25 2400（人）2400 12 200（排）1 （200 1） 199（米）199 25 4975（米）4 （25 1） 96（米）4975 965071（米）每隊的人數(shù)是：每隊可以分成的排數(shù)是：200排的全長米數(shù)是：25個隊的全長米數(shù)是：25個隊之間的距離總米數(shù)是:游行隊伍的全長是：6-1-3.植樹問題.題庫教師版page 5 of 2

12、7【例14】學(xué)而思學(xué)校三年級運動員參加校運動會入場式，組成6 6的方塊隊（即每行每列都是6人），前后每行間隔為2米他們以每分鐘40米的速度，通過長 30米的主席臺，需要多少分鐘？【解析】 通過下表理清解題思路.方塊隊通過主席臺需要多少分鐘?6-1-3.植樹問題.題庫教師版page 7 of 27通過的路程總長十方塊隊行進的速度（40米/分鐘）方塊隊長+主席臺長（30米）?運用植樹問題的逆解思路， 即前后每行間隔長X間隔數(shù) =方塊隊長.方塊隊長：2 （6 1） 10 （米）, 方塊隊通過主席臺行進路程總長：10 30 40（米），方塊隊通過主席臺需要： 40 40 1（分鐘）,綜合算式：2 （6

13、1） 30 401（分鐘）.【鞏固】1 一條公路的一旁連兩端在內(nèi)共植樹91棵，每兩棵之間的距離是 5米，求公路長是多少米?【解析】根據(jù)植樹問題得到：91 1 5 450 （米）【鞏固】2從甲地到乙地每隔 40米安裝一根電線桿，加上兩端共51根；現(xiàn)在改成每隔 60米安裝一根電線桿求還需要多少根電線桿？【解析】該題含植樹問題、相差關(guān)系兩組數(shù)量關(guān)系解：從甲地到乙地距離多少米？40 （51 1）2000（米） 間隔距離變化后，甲乙兩地之間安裝多少根電線桿？2000 20 100（根）,100 1101 （根） 還需要下多少根電線桿 ？101 5150（根）綜合算式：40（511） 20 1 5150（

14、根）【鞏固】3馬路的一邊每相隔 9米栽有一棵柳樹張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹問汽車每小時走多少 千米？【解析】張軍5分鐘看到501棵樹意味著在馬路的兩端都植樹了；只要求出這段路的長度就容易求出汽車速度解：5分鐘汽車共走了：9 （5011） 4500（米）,汽車每分鐘走：4500 5 900（米），汽車每小時走：900 6054000（米） 54（千米）列綜合式：9 （5011） 5 60 100054 （千米）【鞏固】5丁丁和爸爸兩個人比賽跑樓梯，從一層開始比賽，丁丁到四層時，爸爸到三層，如此算來，丁 丁到16層時，爸爸跑到了幾層？【解析】丁丁實際跑了三層的距離，爸爸跑了兩層的距離，到16

15、層需要跑15層的距離，所以丁丁跑了15 3 5 （個）三層的距離，爸爸同時跑了 5個兩層的距離.所以爸爸跑到了 5 2 1 11 （層）.【鞏固】7有一個掛鐘，每小時敲一次鐘，幾點鐘就敲幾下，六點時，5秒鐘敲完，那么十二點時，幾秒鐘才能敲完？【解析】六點時敲6下，中間共有5個間隔，所以每個時間間隔是5 5 1 （秒），十二點要敲12下，中間有11個時間間隔，所以十二點要用：11 1 11 （秒）才能敲完.【鞏固】8科學(xué)家進行一項試驗，每隔5小時做一次記錄，做第 12次記錄時，掛鐘時針恰好指向9，問做第一次記錄時，時針指向幾？【解析】我們先要弄清楚從第一次記錄到第十二次記錄中間經(jīng)過的時間是多少第

16、1次到第12次有11個間隔：5 11 55 （小時）然后我們要知道 55小時，時針發(fā)生了怎樣的變化時針每過12小時就會轉(zhuǎn)一圈回到原來的狀態(tài)，所以時針轉(zhuǎn)了 4圈以后，又經(jīng)過了 7個小時.55 12 4L L 7（小時）而這時時針指向 9點，所以原來時針指向 2點.【鞏固】9 一根木料在24秒內(nèi)被鋸成了 4段，用同樣的速度鋸成 5段，需要多少秒？【解析】鋸的次數(shù)總比鋸的段數(shù)少 1 因此，在24秒內(nèi)鋸了 4段，實際只鋸了 3次，這樣我們就可以求出鋸一次所用的時間了，又由于用同樣的速度鋸成 5段；實際上鋸了 4次，這樣鋸成5段所用的時間就可以求出來了 所以鋸一次所用的時間：24 （4 1） 8 （秒）

17、，鋸5段所用的時間：8 （5 132 （秒）.【鞏固】11 一群小猴排成整齊的隊伍做操，長頸鹿站在隊伍旁邊，一下子看到了他的好朋友金絲猴長 頸鹿數(shù)了數(shù)，金絲猴的左邊有4只猴，右邊也有4只猴，前面有5只猴，后面也有5只猴小朋友，你能算出有多少只猴子在做操嗎？【解析】一共有多少行？列式：5+5+1=11 （行）【解析】一共有多少列？列式： 4+4+1=9 （列）【鞏固】12 一次檢閱，接受檢閱的一列彩車車隊共30輛，每輛車長4米，前后每輛車相隔 5米。這列車隊共排列了多長？如果車隊每秒行駛2米，那么這列車隊要通過 535米長的檢閱場地，需要多少時間？【解析】車隊間隔共有30 1 29（個），每個間

18、隔5米，所以，間隔的總長為 （30 1） 5 145（米），而車身的總長為30 4 120（米），故這列車隊的總長為（30 1） 5 30 4 265（米）.由于車隊要行265 535 800（米），且每秒行2米，所以車隊通過檢閱場地需要，（265 535） 2 400（秒）=6分40秒.13有一路電車的起點站和終點站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站出發(fā)開往乙站，全程要15分鐘有一個人從乙站出發(fā)沿電車路線騎車前往甲站，他出發(fā)的時候，恰好有一輛電車到達乙站， 在路上，他又遇到了10輛迎面開來的電車才到達甲站，這時候，恰好又有一輛車從甲站開出，問：他從乙站到甲站用了多少分鐘？這個人前后

19、一共看見了 12輛電車，每兩輛車的間隔是 5分鐘，開出12輛電車共有12 1 11 （個）間隔，這樣可以計算出從第 1輛電車開出到第12輛電車開出所用的時間，共經(jīng)了 5 11 55 （分鐘），由于他出55 15 40 （分鐘）.發(fā)的時候，第1輛電車巳到達乙站，所以這個人從乙站到甲站用了植樹問題練習(xí)題一1 一條公路的一旁連兩端在內(nèi)共植樹91棵，每兩棵之間的距離是 5米，求公路長是多少米?2從甲地到乙地每隔 40米安裝一根電線桿，加上兩端共51根；現(xiàn)在改成每隔 60米安裝一根電線桿求還需要多少根電線桿？3馬路的一邊每相隔 9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹問汽車每小時走多少千米?4

20、 丁丁和爸爸兩個人比賽跑樓梯，從一層開始比賽，丁丁到四層時，爸爸到三層，如此算來，丁丁到16層時，爸爸跑到了幾層？5有一個掛鐘，每小時敲一次鐘，幾點鐘就敲幾下，六點時，5秒鐘敲完，那么十二點時，幾秒鐘才能敲完？6科學(xué)家進行一項試驗，每隔5小時做一次記錄，做第 12次記錄時，掛鐘時針恰好指向9,問做第一次記錄時，時針指向幾？7 一根木料在24秒內(nèi)被鋸成了 4段，用同樣的速度鋸成 5段，需要多少秒?8一群小猴排成整齊的隊伍做操，長頸鹿站在隊伍旁邊， 一下子看到了他的好朋友金絲猴.長頸鹿數(shù)了數(shù),金絲猴的左邊有 4只猴，右邊也有 4只猴，前面有5只猴，后面也有5只猴小朋友，你能算出有多少只 猴子在做操

21、嗎？9一次檢閱，接受檢閱的一列彩車車隊共30輛，每輛車長4米，前后每輛車相隔 5米。這列車隊共排列了多長？如果車隊每秒行駛 2米，那么這列車隊要通過 535米長的檢閱場地，需要多少時間？10有一路電車的起點站和終點站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站出發(fā)開往乙站，全程要15分鐘有一個人從乙站出發(fā)沿電車路線騎車前往甲站，他出發(fā)的時候，恰好有一輛電車到達乙站， 在路上，他又遇到了 10輛迎面開來的電車才到達甲站，這時候，恰好又有一輛車從甲站開出，問：他從 乙站到甲站用了多少分鐘？板塊二、封閉的植樹問題（方陣）6-1-3.植樹問題題庫教師版page 11 of 27【例15】 小強家附近的

22、公園里有一個圓形池塘，它的周長1500是米，每隔3米栽種一棵樹問：共需樹苗多少株？【解析】因為圓形池塘是一個封閉的模型，所以我們直接運用公式棵數(shù)=段數(shù)=周長十株距，從而有樹苗：1500 -3 = 500 （株）.【例16】 公園內(nèi)有一個圓形花壇， 繞著它走一圈是120米.如果沿著這一圈每隔 6米栽一棵丁香花， 再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花，可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？兩株相鄰的丁香花之間的2株月季花相距多少米？【解析】在圓周上栽樹時，由于開始栽的一棵與依次栽的最后一棵將會重合在一起，所以可栽的株數(shù)正好等于分成的段數(shù).由于每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花，所以

23、栽月季花的株數(shù)等于2乘以段數(shù)的積.要求兩株相鄰的丁香花之間的2株月季花相距多少米？需要懂得兩株相鄰的丁香花之間等距離地栽 2株月季花，就是說這 4株花之間有3段相等的距離以6米為一段，圓形花壇一圈可分的段數(shù)，即是栽丁香花的株數(shù)：120北=20（株），栽月季花的株數(shù)是：2 X20 =40（株），每段上丁香花和月季花的總株數(shù)是：2 + 2 = 4（株）,4株花栽在6米的距離中，有3段相等的距離，每兩株之間的距離是：6-（4-1） = 2（米）.【例17】大雪后的一天，小明和爸爸共同步測一個圓形花圃的周長.他倆的起點和走的方向完全相同，小明的平均步長是 54厘米，爸爸的平均步長是 72厘米，由于兩人

24、的腳印有重合，并且他們走 了一圈后都回到起點，這時雪地上只留下60個腳印，這個花圃的周長是多少厘米？【解析】通過畫圖使學(xué)生明白從第一個重合點（起點）到下一個重合點之間的距離是216厘米，216 54 4 , 216 72 3，從而知在兩個重合點之間，爸爸留下腳印3個，小明留下腳印4個,去掉一個重合的腳印，共留下腳印3 4 1 6（個），因為從起點到最后雪地上共留下腳印60個,所以花圃的周長是 216 （60 6）2160 （厘米）.【例18】20名運動員，騎摩托車圍繞體育場的環(huán)形跑道頭尾相接作表演，每輛車長2米，前后兩輛車相距18米，這列車隊長多少米？如果每輛車的車速為每秒12米，這個車隊經(jīng)過

25、長為 38米的主席臺需要多長時間？【解析】方法一：頭尾相接所以封閉型， 有20個間隔，車隊長即為環(huán)形， 跑道長：18 20 2 20 400（米），通過時：400 38 12 36 （秒）。方法二：20名運動員共有20輛摩托車，那么他們之間一共有19個間隔，這個車隊的長由20輛車長加上 19個間隔組成.20輛車的長度是：20 2 40 （米） 19個間隔的總長度為：19 18 342（米）所以這個車隊的長度為：40 342 382 （米）（當(dāng)然這一問也可以這樣考慮：把一輛車跟一個間隔看成一個整體，那么這個車隊長：19 20 2 382（米）第二問是一個行程問題，穿過主席臺實際上走的路程是主席臺

26、長加上車隊的長度，所以車隊走的總路程為382 38 420（米），又因為車隊的速度為每秒12米，所以用的時間為 420 12 35（秒）【例19】一個街心花園如右圖所示它由四個大小相等的等邊三角形組成.已知從每個小三角形的頂點 開始，到下一個頂點均勻栽有9棵花問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？【解析】 大三角形三條邊上共栽花：（9 X2 1 1） X3 = 48 （棵），中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：（92）X3 = 21 （棵），整個花壇共栽花：48 + 21 = 69 （棵）.【例20】正方形操場四周栽了一圈樹，四個角上都栽了樹，每兩棵樹相隔5米.甲、乙從一個角上同時出

27、發(fā)，向不同的方向走去，甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一個彎之后的第5棵樹與甲相遇（把角上的樹看作第一棵樹）操場四周栽了多少棵樹？【解析】因為甲的速度是乙的兩倍，乙走了操場的一條邊，甲走了兩條邊，乙拐了一個彎之后走到第5棵樹，實際走了 4個間隔，那么甲應(yīng)該走了 8個間隔，相遇的樹就是甲拐彎以后走的第9棵樹，所以這一邊有9+4=13（棵）樹操場周圍的樹一共有（13-1 ）X4=48 （棵）.【鞏固】15周叔叔家有一個長 40米，寬30米的長方形魚塘，他想沿塘每隔5米栽一棵柳樹，需要栽多少棵柳樹？【解析】（40 30） 2 140 （米），140 5 28 （棵）【鞏固】16 一個圓形花壇，周長是18

28、0米.每隔6米種一棵芍藥花， 每相鄰的兩棵芍藥花之間均勻地栽兩 棵月季花問可栽多少棵芍藥？多少棵月季？兩棵月季之間的株距是多少米？【解析】在圓形花壇上栽花，是封閉路線問題，其株數(shù) =段數(shù)由于相鄰的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每 6米之中共有3棵花，且月季花棵數(shù)是芍藥的2倍.解：共可栽芍藥花：180 6 30（棵）共種月季花：2 30 60（棵）兩種花共：30 60 90（棵）兩棵花之間距離：180 90 2（米）相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花的株距是2米或4米.【鞏固】17園林工人要在周長 300米的圓形花壇邊等距離地栽上樹他們先沿著花壇的邊每隔 3米

29、挖一個坑，當(dāng)挖完30個坑時，突然接到通知：改為每隔5米栽一顆樹這樣，他們還要挖多少個坑才能完成任務(wù)？【解析】 這道題的關(guān)鍵就在之間每 3米一個，已經(jīng)挖的坑，和后來改成5米挖一個坑，有多少個是重復(fù)不需要挖的，那么一步一步分析如下：（1）從第1個坑到第30個坑，共有多長？（30 1） 3 87 （米）（2）改為“每5米栽一棵樹”，有多少坑仍然有用？87 15 5L 125 16（個）（3）改為“每5米栽一棵樹”，一共應(yīng)挖多少個坑？300 5 60（個）（4）還要挖多少個？60 6 54（個）【鞏固】18周叔叔家有一個長 40米，寬30米的長方形魚塘，他想沿塘每隔5米栽一棵柳樹，需要栽多少棵柳樹？【

30、解析】（40 30） 2 140 （米），140 5 28 （棵）【鞏固】19 一個圓形花壇，周長是180米.每隔6米種一棵芍藥花， 每相鄰的兩棵芍藥花之間均勻地栽兩 棵月季花問可栽多少棵芍藥？多少棵月季？兩棵月季之間的株距是多少米？【解析】在圓形花壇上栽花，是封閉路線問題，其株數(shù) =段數(shù)由于相鄰的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每 6米之中共有3棵花，且月季花棵數(shù)是芍藥的2倍.解：共可栽芍藥花：180 6 30（棵）共種月季花：2 30 60（棵）兩種花共：30 60 90（棵）兩棵花之間距離：180 90 2（米）相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花的株距是

31、2米或4米.【鞏固】20園林工人要在周長 300米的圓形花壇邊等距離地栽上樹他們先沿著花壇的邊每隔 3米挖一個坑，當(dāng)挖完30個坑時，突然接到通知：改為每隔5米栽一顆樹這樣，他們還要挖多少個坑才能完成任務(wù)？【解析】 這道題的關(guān)鍵就在之間每 3米一個，已經(jīng)挖的坑，和后來改成 5米挖一個坑，有多少個是重復(fù)不 需要挖的，那么一步一步分析如下：（1）從第1個坑到第30個坑，共有多長？（30 1） 3 87 （米）（2）改為“每5米栽一棵樹”，有多少坑仍然有用？87 15 5L 125 16（個）（3）改為“每5米栽一棵樹”，一共應(yīng)挖多少個坑？300 5 60（個）（4）還要挖多少個？60 6 54（個）

32、板塊二、封閉的植樹問題（方陣）【例21】小強家附近的公園里有一個圓形池塘，它的周長1500是米，每隔3米栽種一棵樹問：共需樹苗多少株？【解析】因為圓形池塘是一個封閉的模型，所以我們直接運用公式棵數(shù)=段數(shù)=周長十株距，從而有樹苗：1500 -3 = 500 （株）.【例22】 公園內(nèi)有一個圓形花壇， 繞著它走一圈是120米.如果沿著這一圈每隔 6米栽一棵丁香花， 再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花，可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？兩株相鄰的丁香花之間的2株月季花相距多少米？【解析】在圓周上栽樹時，由于開始栽的一棵與依次栽的最后一棵將會重合在一起，所以可栽的株數(shù)正好等于分成的段數(shù).

33、由于每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花，所以栽月季花的株數(shù)等于2乘以段數(shù)的積.要求兩株相鄰的丁香花之間的2株月季花相距多少米？需要懂得兩株相鄰的丁香花之間等距離地栽 2株月季花，就是說這 4株花之間有3段相等的距離以6米為一段，圓形花壇一圈可分的段數(shù)，即是栽丁香花的株數(shù)：120北=20（株），栽月季花的株數(shù)是：2 X20 =40（株），每段上丁香花和月季花的總株數(shù)是：2 + 2 = 4（株）,4株花栽在6米的距離中，有3段相等的距離，每兩株之間的距離是：6-（4-1） = 2（米）.【例23】 大雪后的一天，小明和爸爸共同步測一個圓形花圃的周長.他倆的起點和走的方向完全相同，小明的平均

34、步長是 54厘米，爸爸的平均步長是72厘米，由于兩人的腳印有重合，并且他們走了一圈后都回到起點，這時雪地上只留下60個腳印，這個花圃的周長是多少厘米？【解析】通過畫圖使學(xué)生明白從第一個重合點（起點）到下一個重合點之間的距離是216厘米，216 54 4 , 216 72 3，從而知在兩個重合點之間，爸爸留下腳印3個，小明留下腳印4個,去掉一個重合的腳印，共留下腳印3 4 1 6（個），因為從起點到最后雪地上共留下腳印60個,所以花圃的周長是 216 （60 6）2160 （厘米）.【例24】20名運動員，騎摩托車圍繞體育場的環(huán)形跑道頭尾相接作表演，每輛車長2米，前后兩輛車相距18米，這列車隊長

35、多少米？如果每輛車的車速為每秒12米，這個車隊經(jīng)過長為 38米的主席臺需要多長時間？【解析】方法一：頭尾相接所以封閉型，有20個間隔，車隊長即為環(huán)形， 跑道長：18 20 2 20 400（米），通過時：400 38 12 36 （秒）。方法二：20名運動員共有20輛摩托車，那么他們之間一共有19個間隔，這個車隊的長由 20輛車長加上 19個間隔組成.20輛車的長度是：20 2 40 （米）.19個間隔的總長度為：19 18 342（米）所以這個車隊的長度為：40 342 382 （米）（當(dāng)然這一問也可以這樣考慮：把一輛車跟一個間隔看成一個整體，那么這個車隊長：19 20 2 382（米）.第

36、二問是一個行程問題，穿過主席臺實際上走的路程是主席臺長加上車隊的長度，所以車隊走的總路程為 382 38 420（米），又因為車隊的速度為每秒12米，所以用的時間為 420 12 35（秒）.【例25】一個街心花園如右圖所示它由四個大小相等的等邊三角形組成已知從每個小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有9棵花.問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？【解析】 大三角形三條邊上共栽花：（9 X2 1 1） X3 = 48 （棵），中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：（92）X3 = 21 （棵），整個花壇共栽花：48 + 21 = 69 （棵）.【例26】正方形操場四周栽了一圈樹，四個

37、角上都栽了樹，每兩棵樹相隔5米.甲、乙從一個角上同時出發(fā)，向不同的方向走去，甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一個彎之后的第5棵樹與甲相遇（把角上的樹看作第一棵樹）操場四周栽了多少棵樹？【解析】因為甲的速度是乙的兩倍，乙走了操場的一條邊，甲走了兩條邊，乙拐了一個彎之后走到第5棵樹，實際走了 4個間隔，那么甲應(yīng)該走了 8個間隔，相遇的樹就是甲拐彎以后走的第9棵樹，所以這一邊有9+4=13（棵）樹操場周圍的樹一共有（13-1 ）X4=48 （棵）.板塊三、方陣問題【例27】某校五年級學(xué)生排成一個方陣，最外一層的人數(shù)為 60人問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有五年級學(xué)生多少人？【解析】根據(jù)四周人數(shù)和每邊

38、人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù) 4 1 ,可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求了所以方陣最外層每邊人數(shù)：60 4 1 16（人）,整個方陣共有學(xué)生人數(shù)：16 16 256（人）【鞏固】 某小區(qū)要對一塊空地進行綠化，把這些樹種成方陣的樣子最外面一周有60棵樹問這個方陣外層每邊有多少棵樹？這塊空地一共種了多少棵樹？【解析】根據(jù)四周棵數(shù)和每邊棵數(shù)的關(guān)系：每邊棵數(shù) 四周棵數(shù) 4 1，可以求出方陣最外層每邊棵數(shù).那么整個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以解出.方陣最外層每邊棵數(shù)：60 4 1 16（棵）整個方陣共有樹：16 16 256（棵）【鞏固】 新學(xué)期開始，手持鮮花的少先隊員在一

39、輛彩車四周圍成了每邊兩層的方陣，最外面一層每邊13人，彩車周圍的少先隊員有多少人？【解析】先讓學(xué)生自己思考，待大家都有結(jié)果后，讓學(xué)生思考一個問題：相鄰兩層差幾個人.外層13 4 4 48人，內(nèi)外相差8人（教師可舉例說明），內(nèi)層48 8 40人，共88人.40個棋子，求最外層每邊有多少棋【鞏固】 明在一個正方形的棋盤里擺棋子，他先把最外層擺滿，用了 子？如果他要把整個棋盤擺滿，還需要多少棋子？【解析】有前一題基礎(chǔ)，可讓學(xué)生自己思考解決.首先根據(jù)“每邊的個數(shù)=總數(shù)十4 1”求出每邊的棋子數(shù)：40 4 1=11 （個），根據(jù)每向里一層每邊棋子數(shù)減少 2,求出最外面數(shù)第二層中每邊各有：11 2=9 （

40、個）棋子，利用求實心方陣總個數(shù)的方法就可以求出還需：9 9=81 （個）棋子.【例28】節(jié)日來臨，同學(xué)們用盆花在操場上擺了一個空心花壇，最外層的一層每邊擺了 12盆花，一共3層,一共用去多少盆花？【解析】讓學(xué)生利用上題思考結(jié)果加以解決.（法1）不論是空心方陣還是實心方陣，每向里一層，每邊的花盆就少2個，每層的花盆就少 8個，因此可以依次求出每層花盆的個數(shù).最外層有花盆：（12 1） 4 44（盆），第二層有：44 8 36（盆）,第三層有：36 8=28（盆），共有：44 36 28=108（盆）（法2）將三層花盆分成四塊，形成四個相等的長方形它們的長是（12 3）個，寬是3個，（12 3）

41、3 27個，即每個長方形中包括27個花盆，再將結(jié)果乘以 4就得到總數(shù)是108個，于是我們可以總結(jié)為：空心方陣中點的總個數(shù) =（最外層每邊的個數(shù)-層數(shù)）X層數(shù)x 4 （法3）也可以將這種情況看作從一個大的實心方陣中取出一個小的實心方陣.【例29】在一次團體操表演中，有一個空心方陣最外層有 64人，最內(nèi)層有32人，參加團體操表演的共多少人？【解析】根據(jù)最外層和最內(nèi)層人數(shù)，可以分別求出內(nèi)外層每邊的人數(shù)，一個空心方陣，可以看做從一個最外層有64人的實心方陣中，減去了一個小方陣.外層每邊人數(shù)：64 4 1 17 （人）.內(nèi)層每邊人數(shù)：32 4 19 （人），空心方陣人數(shù)：17 17 （92） （92）2

42、40 （人）.【例30】曉曉愛好圍棋，他用棋子在棋盤上擺了一個二層空心方陣，外層每邊有14個棋子，你知道他一共用了多少個棋子嗎？【解析】如圖所示，方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2個.知道最外面一層每邊放14個棋子，就可以求出第二層每邊的個數(shù).知道各層每邊的個數(shù)，就可以求出總數(shù).（14 1） 4 52（個）,（14 2 1） 4 44（個）52 44 96（個），一共用了 96個棋子.【鞏固】 晶晶用圍棋子擺成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個晶晶擺這個方陣共用圍棋子多少個？【解析】方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2個知道最外面一層每邊放 14個，就可以求第二層及第三層每邊個數(shù).

43、知道各層每邊的個數(shù)，就可以求出各層總數(shù).最外邊一層棋子個數(shù)：（14 1） 4 52 （個），第二層棋子個數(shù)：（14 2 1） 4 44 （個），第三層棋子個數(shù)： （14 2 2 1） 4 36（個）.擺這個方陣共用棋子： 52 44 36 132（個）.還可以這樣想：中空方 陣總個數(shù)=（外層每邊個數(shù)一層數(shù)）X層數(shù)X4進行計算，得（14 3） 3 4 132 （個）.【例31】 二年級舞蹈隊為全校做健美操表演，組成一個正方形隊列，后來由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人數(shù)正好是 17人，那么原來準(zhǔn)備參加健美操表演的有多少人？【解析】 可先讓學(xué)生自己畫圖實踐，從 3乘3的方陣變成4乘4的如何進

44、行，掌握畫法后再來思考這題.因增加的是一行一列，而行、列人數(shù)仍應(yīng)相等，但為什么增加的卻是17人，因有1人是既在他所在的行，又在他所在的列.若把它減掉，剩下人數(shù)恰是原兩行或兩列的人數(shù)，則原來一行或一列 的人數(shù)可求.參加健美操表演的人數(shù)可求.列式：（17 1） 2 16 28 （人）,8 8 64（人）.【鞏固】 四年級一班同學(xué)參加了廣播操比賽，排成每行8人，每列8人的方陣，問方陣中共有多少學(xué)生？如果去掉一行一列.還剩多少同學(xué)？【解析】 可以根據(jù)“實心方陣總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)x每邊人數(shù)”得到8行8列的實心方陣人數(shù)為：8 8=64（人），去掉一行一列后，還剩 7行7列，也可通過同樣的方法得出總?cè)藬?shù)為：7

45、 7=49 （人）.【鞏固】 某部隊?wèi)?zhàn)士排成方陣行軍，另一支隊伍共17人加入他們的方陣，正好使橫豎各增加一排，現(xiàn)共有多少戰(zhàn)士？【解析】后來的戰(zhàn)士加入方陣時，是在原方陣外側(cè)橫豎方向各增加一排，那么有一個戰(zhàn)士要站在這兩排的交界處，計算橫排豎排的人數(shù)時，對他進行了重復(fù)計算，也就是說現(xiàn)在每一排實際人數(shù)是17 1 2=9 （人），因此可以求出總?cè)藬?shù)：9 9=81 （人）.【鞏固】 學(xué)生進行隊列表演，排成了一個正方形隊列，如果去掉一行一列，要去掉11人，問這個方陣共有多少人？【解析】由上題思路，帶領(lǐng)學(xué)生進行逆向思維.學(xué)生排成一正方形隊列表演，去掉一行一列，去掉了 11人, 那我們就要思考每行去掉了幾個同學(xué)

46、，因為是正方形隊列，所以每行每列人數(shù)一樣多，但在數(shù)的時候，站在角落的同學(xué)被數(shù)了兩個，那么現(xiàn)在求每行的人數(shù)時就要在11里面多加一個現(xiàn)在每行的人數(shù)是：（11 1） 26 （人），共6 6 36 （人）【鞏固】 學(xué)生進行隊列表演，排成了一個正方形隊列，如果去掉一行一列，要去掉13人，問這個方陣共有多少人？【解析】每行：（13 1） 27 （人），總?cè)藬?shù)：7 749 （人）【鞏固】100名同學(xué)排成一個方陣，后來又減去一行一列，問減少了多少人？【解析】和前兩題比僅僅是數(shù)量上的增加，此時可帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)規(guī)律：去掉一行一列后要加上重復(fù)的那一個.100名同學(xué)排成一個方陣，后來又減去一行一列，剩下的是9行9列的方

47、陣，即剩下 81人，減少了 19 人.【鞏固】 軍訓(xùn)的學(xué)生進行隊列表演，排成了一個5行5列的正方形隊列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？【解析】一行一列各5人，頂點處重復(fù).5 2 1 9人，因為角上的一個同學(xué)被重復(fù)數(shù)了兩次，所以要把 多算的一次減掉.【例32】校三年級學(xué)生排成一個方陣，最外一層的人數(shù)為36人，問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有三年級學(xué)生多少人？【解析】引導(dǎo)學(xué)生找出與前四題區(qū)別，因為條件是方陣外層，所以有四個重復(fù)計算的人.（法1 ）方陣外層每邊有：（36 4） 4 10 （人），共10 10 100 （人）（法2）方陣外層每邊有：36 4 1 10 （人），共10 10 100

48、 （人）【鞏固】 三年級學(xué)生排成一個方陣進行體操表演，最外一層的人數(shù)為32人，問方陣外層每邊有多少人?這個方陣共有三年級學(xué)生多少人 ？【解析】每邊：（324） 4 9 （人），總?cè)藬?shù)：9 9 81 （人）4個角上都要插上一面彩【例33】育新小學(xué)召開秋季運動會，準(zhǔn)備在正方形的操場周圍插上彩旗如果 旗，要使每邊有7面彩旗，那么一共要準(zhǔn)備多少面彩旗才行？【解析】心急的學(xué)生會很配合的說28，此時可提示他們想想，彩旗不夠，能不能少點？根據(jù)題目的要求畫出示意圖：我們把這些彩旗按照圖中所示的方式分成相等的4部分，可以看出每一部分都有7 16面旗.（7 1） 424 （面），一共準(zhǔn)備24面彩旗.【鞏固】 通通

49、用圍棋子擺成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個通通擺這個方陣共用圍棋子多少個？【解析】方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2個知道最外面一層每邊放 14個，就可以求第二層及第三層每邊個數(shù).知道各層每邊的個數(shù)， 就可以求出各層總數(shù). 最外邊一層棋子個數(shù)：（14 1 4 52 （個），第二層棋子個數(shù)：（14 2 1 4 44 （個），第三層棋子個數(shù)：（14 2 2 1） 4 36 （個）.擺這個方陣共用棋子：52 44 36 132 （個）.由右圖還可以得出公式：中空方陣總個數(shù)（每邊個數(shù)層數(shù)）層數(shù) 4 得共用圍棋子（14 33 4132 （個）.【例34】120個棋子擺成一個三層空心方陣，

50、最內(nèi)層每邊有多少棋子？【解析】棋子一共三層，容易知道外層比中層多8個，內(nèi)層比中層少 8個，因此中層的棋子數(shù)就是三層的平均數(shù)為120 3=40（個），可以求出中層每邊的棋子數(shù)，向里一層，每邊棋子數(shù)又減少 2 中層總數(shù)：120 3=40 （個）中層每邊個數(shù)：40 4 1=11 （個），內(nèi)層每邊個數(shù)：11 2=9（個）.【鞏固】 將一個每邊16枚棋子的實心方陣變成一個四層的空心方陣，此空心方陣的最外層每邊有多少棋子？【解析】棋子總數(shù)為：16 16 256 （枚），由于空心方陣總個數(shù)=（每邊個數(shù)層數(shù)）x層數(shù)x4，所以,6-1-3.植樹問題.題庫教師版page 21 of 27每邊個數(shù)=空心方陣總個數(shù)十

51、層數(shù)十4 +層數(shù)，得出最外層每邊有 20枚棋子.【例35】 有一群學(xué)生排成三層空心方陣，多9人，如空心部分增加兩層，又少15人，問有學(xué)生多少人？【解析】增加的兩層人數(shù)為：9 15=24 （人），這兩層人數(shù)之差是8人，因此最里層有（24 8） 2 8 （人）， 現(xiàn)在的方陣共5層，那么最外層有 8 8 4=40 （人），知道最外層人數(shù)及層數(shù)就不難求出總?cè)藬?shù) 是105人.【鞏固】 為了準(zhǔn)備學(xué)校的集體舞比賽，四年級的學(xué)生在排隊形如果排成3層空心的方陣則多10人，如果在中間空心的部分接著增加一層又少6人問一共有多少個學(xué)生參加排練呢？【解析】在內(nèi)部增加一層，人數(shù)由多出10人變?yōu)榉炊?人，所以這一層人數(shù)為

52、 10 6 16人.中間空心部分加一層，每邊有（10 6） 4 1 5（人）四層方陣有（4 6 8 10） 4 112 （人）一共有學(xué)生112 6 106（人）【鞏固】 一隊?wèi)?zhàn)士排成三層空心方陣多出16人，如果空心部分再加一層又少28人，這隊?wèi)?zhàn)士共有多少人？如果他們改成實心方陣，每邊應(yīng)有多少人？【解析】把多余的16人放在方陣內(nèi)部還少 28人，可見方陣內(nèi)部增加一層，需要16 28=44人，因此向外三層的每層人數(shù)都可以求出從內(nèi)向外每層人數(shù)依次是：第一層：16 28 8=52（人），第二層:16 28 2 8=60（人），第三層:16 28 3 8=68（人），總?cè)藬?shù)：52 60 68 16=196

53、（人），因為 196=14 14,所以排成實心方陣每邊有 14人.【例36】同學(xué)們用64盆花排出一個兩層空心方陣，后來又決定在外面再增加一層成為三層方陣，還需多少盆花？【解析】對于兩層方陣，外層比內(nèi)層多8盆，兩層共64盆，利用和差問題的解法，可以求出外層盆數(shù)是（64 8） 2 36（盆），從而得出需增加的盆數(shù)，36 8 44（盆）.【例37】在一次運動會開幕式上， 有一大一小兩個方陣合并變換成一個10行10列的方陣，求原來兩個方陣各有多少人？【解析】根據(jù)時間多少和學(xué)生具體情況可考慮教給學(xué)生平方數(shù)的概念，并記住一些簡單的平方數(shù)10行10列的方陣由100人組成，原來的小方陣每行或每列人數(shù)都不會超過

54、10人，大方陣人數(shù)應(yīng)該在50100之間，可取64或81，運用枚舉法，可求出滿足條件的是：大方陣有64人，小方陣6-1-3.植樹問題.題庫教師版page # of 27有36人.【例38】小華觀看團體操表演，他看到表演隊伍中的一個方陣變換成一個正三角形實心隊列，他估計隊 伍中人數(shù)大概在30至50人之間，你能告訴他到底有多少人嗎？【解析】方陣總?cè)藬?shù)的特點：它是兩個相同自然數(shù)的積， 而三角形隊列總?cè)藬?shù)的特點是 ：總數(shù)是從1開始若干 個連續(xù)自然數(shù)的和，我們只要在3050的范圍內(nèi)找出同時滿足這兩個條件的數(shù)就可以得出總?cè)藬?shù).由于隊伍可以排成方陣， 在30至50人的范圍內(nèi)人數(shù)可能是 6 6=36人或7 7=

55、49人，又因為36 1 2 3 48, 49 1 2 3 49 4，所以總?cè)藬?shù)是36人.【鞏固】 將一個每邊16枚棋子的實心方陣變成一個四層的空心方陣，此空心方陣的最外層每邊有多少棋 子？【解析】由前面規(guī)律帶領(lǐng)學(xué)生逐步推導(dǎo).棋子總數(shù)為：16 16 256 （枚），由于空心方陣總個數(shù)=（每邊個數(shù)層數(shù)）x層數(shù)x 4，所以，每邊個數(shù)=空心方陣總個數(shù)十層數(shù)十4 +層數(shù)，得出最外層每邊有 20枚棋子.板塊四、幾何植樹問題【例39】 今有10盆花要在平地上擺成 5行，每行都通過4盆花.請你給出一種設(shè)計方案， 畫圖時用點表 示花，用直線表示行.【解析】如下圖所示：【例40】 今有9盆花要在平地上擺成 10行，每行都通過3盆花.請你給出一種設(shè)計方案， 畫圖時用點表 示花，用直線表示行.【解析】如下圖所示：【例4