全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷文科卷1及解析

1、2015年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷文科卷1 一、選擇題1已知集合，則集合中的元素個(gè)數(shù)為( )（A） 5 （B）4 （C）3 （D）22已知點(diǎn)，向量，則向量( )（A） （B） （C） （D） 3已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ） （A） （B） （C） （D） 4如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（ ）（A） （B） （C） （D）5已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則 ( )（A） （B） （C） （D）6九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題

2、：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米有（ ）（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛7已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，若，則（ ）（A） （B） （C） （D）8函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）（A） （B）（C）（D）9執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（ ）（A） （B） （C） （D）10已知函數(shù) ，且，則（ ）（A） （B） （C） （D）

3、11圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為，則( ) （A） （B） （C） （D）12設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且，則( )（A） （B） （C） （D）二、填空題13數(shù)列中為的前n項(xiàng)和，若，則 .14已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)的處的切線過點(diǎn)，則 .15若x,y滿足約束條件 ,則z=3x+y的最大值為 16已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，P是C左支上一點(diǎn)， ，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為 三、解答題17（本小題滿分12分）已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊，.（）若，求 （）若，且 求的面積.18（本小題滿分12分）如圖四邊形AB

4、CD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，（）證明：平面平面；（）若， 三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積.19（本小題滿分12分）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.46.656.36.8289.81.61469108.8表中= ， =（）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（）根據(jù)（）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（III）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x

5、，y的關(guān)系為 ，根據(jù)（）的結(jié)果回答下列問題：（）當(dāng)年宣傳費(fèi)時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值時(shí)多少？（）當(dāng)年宣傳費(fèi)為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù),，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，20（本小題滿分12分）已知過點(diǎn)且斜率為k的直線l與圓C：交于M，N兩點(diǎn).（）求k的取值范圍；（），其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求.21（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).（）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）證明：當(dāng)時(shí).22（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖AB是直徑，AC是切線，BC交與點(diǎn)E.（）若D為AC中點(diǎn)，求證：DE是切線；（）若 ，求的大小.23（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)

6、方程在直角坐標(biāo)系 中，直線，圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（）求的極坐標(biāo)方程.（）若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)的交點(diǎn)為，求 的面積.24（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù) .（）當(dāng) 時(shí)求不等式 的解集；（）若 圖像與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍.參考答案1D【解析】試題分析：由條件知，當(dāng)n=2時(shí)，3n+2=8，當(dāng)n=4時(shí)，3n+2=14，故AB=8,14,故選D.考點(diǎn)：集合運(yùn)算2A【解析】試題分析：=（3,1），=(-7,-4)，故選A.考點(diǎn)：向量運(yùn)算3C【解析】試題分析：，z=，故選C.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算4C【解析】試題分析：從1,2,3,4,5中

7、任取3個(gè)不同的數(shù)共有10種不同的取法，其中的勾股數(shù)只有3,4,5，故3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有1種，故所求概率為，故選C.考點(diǎn)：古典概型5B【解析】試題分析：拋物線的焦點(diǎn)為（2,0），準(zhǔn)線方程為，橢圓E的右焦點(diǎn)為（2,0），橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為，c=2，橢圓E方程為，將代入橢圓E的方程解得A（-2,3），B（-2，-3），|AB|=6，故選B.考點(diǎn)：拋物線性質(zhì)；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)6B【解析】試題分析：設(shè)圓錐底面半徑為r，則，所以，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為1.6222，故選B.考點(diǎn)：圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式7B【解析】試題分析：公差，解得=，故選B.考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公

8、式及前n項(xiàng)和公式8D【解析】試題分析：由五點(diǎn)作圖知，解得，所以，令，解得，故單調(diào)減區(qū)間為（，），故選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)9C【解析】試題分析：執(zhí)行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第2次，S=S-m =0.25,=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第3次，S=S-m =0.125,=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第4次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第5次，S=S-m

9、=0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第6次，S=S-m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第7次，S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，輸出n=7，故選C.考點(diǎn)：程序框圖10A【解析】試題分析：，當(dāng)時(shí)，則，此等式顯然不成立，當(dāng)時(shí)，解得，=，故選A.考點(diǎn)：分段函數(shù)求值；指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)11B【解析】試題分析：由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r

10、，其表面積為=16 + 20，解得r=2，故選B.考點(diǎn)：簡(jiǎn)單幾何體的三視圖；球的表面積公式；圓柱的測(cè)面積公式12C【解析】試題分析：設(shè)是函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線對(duì)稱為（），由已知知（）在函數(shù)的圖像上，解得，即，解得，故選C.考點(diǎn)：函數(shù)對(duì)稱；對(duì)數(shù)的定義與運(yùn)算136【解析】試題分析：，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，n=6.考點(diǎn)：等比數(shù)列定義與前n項(xiàng)和公式141【解析】試題分析：，即切線斜率，又，切點(diǎn)為（1，），切線過（2,7），解得1.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線；常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；154【解析】試題分析：作出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線：，平移直線，當(dāng)直線:z=3x+y

11、過點(diǎn)A時(shí)，z取最大值，由解得A（1,1），z=3x+y的最大值為4.考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃解法16【解析】試題分析：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由雙曲線定義知，APF的周長(zhǎng)為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|AF|=|PA|+|AF|+，由于是定值，要使APF的周長(zhǎng)最小，則|PA|+最小，即P、A、共線，（3,0），直線的方程為，即代入整理得，解得或(舍)，所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，=.考點(diǎn)：雙曲線的定義；直線與雙曲線的位置關(guān)系；最值問題17（）（）1【解析】試題分析：（）先由正弦定理將化為變得關(guān)系，結(jié)合條件，用其中一邊把另外兩邊表示出來，再用余弦定理即可求出角B的余弦值；（）由（）知，根據(jù)勾股定理和即

12、可求出c，從而求出的面積.試題解析：（）由題設(shè)及正弦定理可得.又，可得,由余弦定理可得.（）由(1)知.因?yàn)?0，由勾股定理得.故，得.所以ABC的面積為1.考點(diǎn)：正弦定理；余弦定理；運(yùn)算求解能力18（）見解析（）【解析】試題分析：（）由四邊形ABCD為菱形知ACBD，由BE平面ABCD知ACBE，由線面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直的判定定理知平面平面；（）設(shè)AB=，通過解直角三角形將AG、GC、GB、GD用x表示出來，在AEC中，用x表示EG，在EBG中，用x表示EB，根據(jù)條件三棱錐的體積為求出x，即可求出三棱錐的側(cè)面積.試題解析：（）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以ACBD，因?yàn)?/p>

13、BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（）設(shè)AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120，可得AG=GC=,GB=GD=.因?yàn)锳EEC，所以在AEC中，可得EG=.由BE平面ABCD，知EBG為直角三角形，可得BE=.由已知得，三棱錐E-ACD的體積.故=2從而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面積為3，EAD的面積與ECD的面積均為.故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為.考點(diǎn)：線面垂直的判定與性質(zhì)；面面垂直的判定；三棱錐的體積與表面積的計(jì)算；邏輯推理能力；運(yùn)算求解能力19（）適合作為年銷售關(guān)于年宣傳費(fèi)用的回歸方程類型（）（）46.24【解析】試題

14、分析：（）由散點(diǎn)圖及所給函數(shù)圖像即可選出適合作為擬合的函數(shù)；（）令，先求出建立關(guān)于的線性回歸方程，即可關(guān)于的回歸方程；（）()利用關(guān)于的回歸方程先求出年銷售量的預(yù)報(bào)值，再根據(jù)年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x即可年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值；（）根據(jù)（）的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值，列出關(guān)于的方程，利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出年利潤(rùn)取最大值時(shí)的年宣傳費(fèi)用.試題解析：（）由散點(diǎn)圖可以判斷，適合作為年銷售關(guān)于年宣傳費(fèi)用的回歸方程類型. （）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，由于=，=563-686.8=100.6.關(guān)于的線性回歸方程為，關(guān)于的回歸方程為.（）()由（）知，當(dāng)=49時(shí)，年銷售量的預(yù)報(bào)值=57

15、6.6，. （）根據(jù)（）的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值，當(dāng)=，即時(shí)，取得最大值.故宣傳費(fèi)用為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.12分考點(diǎn)：非線性擬合；線性回歸方程求法；利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)；應(yīng)用意識(shí)20（）（）2【解析】試題分析：（）設(shè)出直線l的方程，利用圓心到直線的距離小于半徑列出關(guān)于k的不等式，即可求出k的取值范圍；（）設(shè)，將直線l方程代入圓的方程化為關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理將用k表示出來，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式及列出關(guān)于k方程，解出k，即可求出|MN|.試題解析：（）由題設(shè)，可知直線l的方程為.因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以.解得.所以的取值范圍是.（）設(shè).將代入方程,整理

16、得,所以,由題設(shè)可得，解得，所以l的方程為.故圓心在直線l上，所以.考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系；設(shè)而不求思想；運(yùn)算求解能力21（）當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn).（）見解析【解析】試題分析：（）先求出導(dǎo)函數(shù)，分與考慮的單調(diào)性及性質(zhì)，即可判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（）由（）可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，根據(jù)的正負(fù)，即可判定函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求出函數(shù)的最小值，即可證明其最小值不小于，即證明了所證不等式.試題解析：（）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí),，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又,當(dāng)b滿足且時(shí)，,故當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn).（）由（），可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)

17、，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當(dāng)時(shí)，.考點(diǎn)：常見函數(shù)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；函數(shù)的零點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像與性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；運(yùn)算求解能力.22（）見解析（）60【解析】試題分析：（）由圓的切線性質(zhì)及圓周角定理知，AEBC，ACAB，由直角三角形中線性質(zhì)知DE=DC，OE=OB，利用等量代換可證DEC+OEB=90，即OED=90，所以DE是圓O的切線；（）設(shè)CE=1,由得，AB=，設(shè)AE=，由勾股定理得，由直角三角形射影定理可得，列出關(guān)于的方程，解出，即可求出ACB的大小.試題解析：（）連結(jié)AE，由已知得，AEBC，ACAB，在RtAEC中，由已知得DE=DC，DEC=DCE，連結(jié)OE，OBE=OEB，ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE是圓O的切線. （）設(shè)CE=1，AE=,由已知得AB=，由射影定理可得，解得=，ACB=60.考點(diǎn):圓的切線判定與性質(zhì)；圓周角定理；直角三角形射影定理23（）,（）【解析】試題分析：（）用直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)互化公式即可求得，的極坐標(biāo)方程；（）將將代入即可求出|MN|，利用三角形面積公式即可求出的面積.試題解析：（）因?yàn)椋臉O坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為.5分（）將代入，得，解得=，=，|MN|=，因?yàn)榈陌霃綖?，則的面積=.考點(diǎn):直角坐標(biāo)方