完整版二項式定理的練習(xí)及答案

1、項 式 定 理 的 練 習(xí) 及 答 案基礎(chǔ)知識訓(xùn)練(一)選擇題1(x 2x) 6展開式中常數(shù)項是()A.第 4 項 B. 24C： C.C：D.22. (x - 1)11展開式中x的偶次項系數(shù)之和是()A.-2048B.-1023C.-1024D.10243. (1 i2)7展開式中有理項的項數(shù)是()A.4B.5C.6D.74若C仃與Cn同時有最大值，則m等于()A.4 或 5B.5 或 6C.3 或 4D.55設(shè)(2x-3) 4=aoa1Xa?x2aax3aqX4，貝y ao+a1+a2+a3的值為(A.1B.16C.-15D.1531116. (x3一)展開式中的中間兩項為()xA. Ck

2、Xcb12B.C61X9,C；110x C.Cx13D.C1X1713(二)填空題17在(2xy)7展開式中，x5y2的系數(shù)是38.C03Cn2 23 Cn3ncn9. (3.520)的展開式中的有理項是展開式的第項*10. (2x-1) 5展開式中各項系數(shù)絕對值之和是 .231011. (1 3x 3x x )展開式中系數(shù)最大的項是 、512. 0.991精確到0.01的近似值是(三)解答題13 .求 (1+x+x 2)(1-x) 10展開式中 x4 的系數(shù).14 .求 (1+x)+(1+x)2+(1+x) 10展開式中 x3 的系數(shù) +15已知(1-2x) 5展開式中第2項大于第1項而不小

3、于第 3,求x的取值范圍x2的系數(shù)最小?16若f (x) (1 x)m (1 x)n(m n N)展開式中，x的系數(shù)為21,問m n為何值時, 17.自然數(shù)n為偶數(shù)時，求證:18 求8011被9除的余數(shù)+14; 3，求展開式的常數(shù)項.19已知(.x-2r)n的展開式中，第五項與第三項的二項式系數(shù)之比為x2520 在(x +3X+2)的展開式中，求 x的系數(shù)+21 求(2x+1) 12展開式中系數(shù)最大的項+參考解答：1 通項Tr 1C6x6r)r C6x3 r2 2r,由6-r24，常數(shù)項是Ts44C6 2，選(B)2.設(shè) f(x)=(x-1)11,偶次項系數(shù)之和是f(1)f( 1)(22)11

4、 /21024，選(C).3.通項Tr 1rC7( -2)r C；22,當(dāng)r=0，2, 4, 6 時,均為有理項，故有理項的項數(shù)為4個，選(A)4要使C：7最大，因為17為奇數(shù)，則m=8=4,2若n=9,要使Cm最大，則m171或21或m2匕 n 8或n=9,若n=8,要使C；最大，則m 4或m=5綜上知，m=4或m=5故選(A)5.C10.224;8.43(2x-1) 5展開式中各項系數(shù)系數(shù)絕對值之和實為(2x+1) 5展開式系數(shù)之和，故令x=1，則所求和為35+6.C7.9.3,9,15,2111. (1+3x+3x 2+x3) 10=(1+x) 30,此題中的系數(shù)就是二項式系數(shù)，系數(shù)最大

5、的項是T16=c30X15.12.0.991 5=(1-0.009) 5=C0C；0.0090.9613. (1 x x2)(1x)10(1 x3)(1 x)9,要得到含x4的項，必須第一個因式中的1與(1-x) 9展開式中的項C：( x)4作積，第一個因式中的一x3與(1-x) 9展開式中的項c9( x)作積，故x4的系數(shù)是C； C；135.10 1114. (1 x) (1 x)2(1 x)10x)1 1_，原式中 x3實為這分子中1(1 x)x的x4,則所求系數(shù)為c7v15由C5( 2x)1C5( 2x)C； c；( 2x)21x1011x41016由條件得 m+n=21, x2的項為

6、C；x2 C：x2，則 C； C： (n -21)22時上式有最小值，也就是m=11和n=10,或m=10和n=11時，x的系數(shù)最小.3994.因n N,故當(dāng)n=10或1117 原式=(C0 cl. C2cn1c：) (c：35CnCnc： 1)2n2n13.2nC；081181k 1(k Z),18. 8011(811)11C1018111C；8110 k Z,二 9k-1 Z,. 8111 被 9 除余 &19依題意 C： : C：14:3 3C：14C： 3n(n-1)( n-2)( n-3)/4!=4 n(n-1)/2!n=10*10 5r 設(shè)第葉1 項為常數(shù)項，又Tr 1C；0(.x

7、)10r( -22)r( 2)rC；0xhx10 5r令0 r 2,T2 1 C10( 2)180.此所求常數(shù)項為180+2255520 (x 3x 2) (x 1) (x 2)在(x+1) 5展開式中，常數(shù)項為1,含x的項為C；5x，在(2+x) 5展開式中，常數(shù)項為25=32，含x的項為14C52 x 80x展開式中含 x的項為1 (80x)5x(32)240x，此展開式中x的系數(shù)為240+21 設(shè)Tr+1的系數(shù)最大，則 Tr+1的系數(shù)不小于 Tr與Tr+2的系數(shù)，即有展開式中系數(shù)最大項為第5項，T5=16C：2x47920X4三.拓展性例題分析- 1 n例1在二項式 ,x 的展開式中，前

8、三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有有理項.2如分析：本題是典型的特定項問題，涉及到前三項的系數(shù)及有理項，可以通過抓通項公式解決.解：二項式的展開式的通項公式為:前三項的r 0,1,2.得系數(shù)為:t11 112Cn n,t32 2Cn；-n(n 1),8由已知：2t21t1t3n 1n(n1 3 81), n 8通項公式為/16 3rr 1Tr 1C8x 4 r 0,1,2 8,Tr 1為有理項，故16 3r是4的倍數(shù),2 r 0,4,8.1 35依次得到有理項為 x4,T5 C； x,T92 8c8*x1 2x256說明：本題通過抓特定項滿足的條件,利用通項公式求岀了r的取值，得到了有理項.

9、100的展開式中有多少項是有理項？可以通過抓通項中r的取值，得到共有 17頁系數(shù)和為3n.例2( 1)求(1 x)3(1 X)10展開式中X5的系數(shù)；(2)求(X - 2)6展開式中的常數(shù)項.X分析：本題的兩小題都不是二項式展開，但可以轉(zhuǎn)化為二項式展開的問題，(1 )可以視為兩個二項展開式相乘；(2)可以經(jīng)過代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為二項式.解：(1 ) (1 x)3(1 x)10展開式中的X5可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項：3105553用(1 X)展開式中的常數(shù)項乘以(1 X)展開式中的X項，可以得到 C10X ;用(1 X)展開式中的一次項乘以(1 x)10展開式中的X4項可得到(3x)

10、(G；x4)3C：oX5 ；用(1 x)3中的X2乘以(1 x)10展開式中的x3可得到3x2 C；0x3353Q10q3Cwx ；用(1 x)中的X3項乘以(1 X)展開式中的X2項可得到C 3223x C10XC10X5，合并同類項得 X項為:(C10C103C；。2C：0)x563X5 .(2) X1(x -X2)5121- X12r展開式的通項公式 Tr 1C；2C-2)12C；x6 r，可得展開式的常數(shù)項為6C12924 .說明：問題(2)中將非二項式通過因式分解轉(zhuǎn)化為二項式解決這時我們還可以通過合并項轉(zhuǎn)化為二項 式展開的問題來解決.例3求(1 X X2)6展開式中X5的系數(shù).c a

11、O00分析：(1 X X )不是二項式，我們可以通過1 X X (1 x) X或1 (x X )把它看成二項式 展開.解：方法一：(1X6X )(16x) X其中含X5的項為c!x5 6C3x515C4x5 6x5 .含X5項的系數(shù)為6.方法二：(1 XX2)61 (x6x )其中含X5的項為20(3)x5 15(4)x5 6x5 6x55- X項的系數(shù)為6.方法3:本題還可通過把（12 6 2X X ）看成6個1 X X相乘，每個因式各取一項相乘可得到乘積的一項，x5項可由下列幾種可能得到.555個因式中取X，一個取1得到C6X .3個因式中取X，一個取2X，兩個取1得到1個因式中取X，兩個

12、取2X，三個取1得到合并同類項為(c6 c6c3c6c5)x56x5X5項的系數(shù)為6 .C3 c3x3 ( X2).e6 c5x ( X2)2.求證:(1)1 2Cn 2CnnCn2n1 ;(2)分析:011Cn -Cn2二項式系數(shù)的性質(zhì)實際上是組合數(shù)的性質(zhì)，我們可以用二項式系數(shù)的性質(zhì)來證明一些組合數(shù)的等3en(2n1 1).n 1式或者求一些組合數(shù)式子的值.解決這兩個小題的關(guān)鍵是通過組合數(shù)公式將等式左邊各項變化的等數(shù)固定下來,從而使用二項式系數(shù)性質(zhì)C0Cn C2en 2n.解:（ 1）kenkk!(nn!n!k)! (k1)!(nk)!(n 1)! nCk1(k 1)!(nk)! n 1左邊

13、 nC00 1nCn 1nen1n(C0Cn 1Cn 1)n 1,n 2 右邊.(2)- kn!n!k 1 k!( n k)!(k 1)!( nk)!(n1)!(k 1)!( nk)!en左邊“ Cn 1 n 1 丄（Cn n 1Cn 1)_Cn1Cn1nF1）右邊.說明：本題的兩個小題都是通過變換轉(zhuǎn)化成二項式系數(shù)之和，再用二項式系數(shù)的性質(zhì)求解此外，有些 組合數(shù)的式子可以直接作為某個二項式的展開式， 可以看下面的例子：但這需要逆用二項式定理才能完成，所以需仔細(xì)觀察,我們例 5：求 29c1028c9o 27c8。2C0 10的結(jié)果.仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與(1102）的展開式接近，但要注

14、意:從而可以得到:210 2C1028c90 2 9c10 2(3101).分析：64是8的平方，問題相當(dāng)于證明32n 28n 9是8的倍數(shù)，為了使問題向二項式定理貼近，變形32n 29n 1(8 1)n 1，將其展開后各項含有8k，與82的倍數(shù)聯(lián)系起來.解： 32n 2 8n 9(8n 1 Cn 1 8n 2n 1Cn 1) 64是64的倍數(shù).說明：利用本題的方法和技巧不僅可以用來證明整除問題，而且可以用此方程求一些復(fù)雜的指數(shù)式除以 一個數(shù)的余數(shù).53展開2x 22x2分析1：用二項式定理展開式.5解法1： 2x 爲(wèi)2x2分析2:對較繁雜的式子,先化簡再用二項式定理展開.解法2： 2x 22

15、x(4x3 3)532 x1032x5 120x2180135405x4 8x724332 X10 .說明：記準(zhǔn)、記熟二項式(ab)n的展開式,是解答好與二項式定理有關(guān)問題的前提條件對較復(fù)雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡便.例8若將(Xy z)10展開為多項式,經(jīng)過合并同類項后它的項數(shù)為()A. 11B. 33C. 55D. 66分析：(Xz)10看作二項式(Xy) z10 展開.解：我們把y z看成(xy)Z，按二項式展開，共有 11 “項”，即1010(x y z)(X y)Z10C10( xk 0、10 k ky) z這時，由于“和”中各項z的指數(shù)各不相同,因此再將各個二項式(x y)10 k展開,不同的乘積Gk)(x y)100,1,10)展開后，都不會岀現(xiàn)同類項.kF面，再分別考慮每一個乘積C10 (x10y)k kz ( k 0,1, 10).其中每一個乘積展開后的項數(shù)由(x10 k、/y) 決定,的指數(shù)都不相同，也不會岀現(xiàn)同類項.66，而且各項中x和y故原式展開后的總項數(shù)為