2017-2018學(xué)年黑龍江省牡丹江一中高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、20172018 學(xué)年黑龍江省牡丹江一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè) 選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意的）1（5 分）兩個(gè)整數(shù) 1908 和 4187 的最大公約數(shù)是（ ）a53 b43 c51 d672（5 分）要從已編號（170）的 70 枚最新研制的某型導(dǎo)彈中隨機(jī)抽取 7 枚來進(jìn)行發(fā)射試驗(yàn)，用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的7枚導(dǎo)彈的編號可能是（ ）a5，10，15，20，25，30，35 b3，13 ，23，33，43，53，63c1，2，3，4，5，6，7 d1，8，15，22 ，29，

2、36 ，433（5 分）下列各組事件中，不是互斥事件的是（ ）a 一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于 8 與命中環(huán)數(shù)小于 6b 統(tǒng)計(jì)一個(gè)班級數(shù)學(xué)期中考試成績，平均分?jǐn)?shù)不低于 90 分與平均分?jǐn)?shù)不高于 90 分c 播種菜籽 100 粒，發(fā)芽 90 粒與發(fā)芽 80 粒d 檢查某種產(chǎn)品，合格率高于 70%與合格率為 70%4（5 分）=（ ）abcd5（5 分）執(zhí)行如圖的程序框圖，那么輸出的 s 值是（ ）第 1 頁（共 23 頁）a54 b56 c90 d1806（5 分）某電子元件電路有一個(gè)由三節(jié)電阻串聯(lián)組成的回路，共有 6 個(gè)焊點(diǎn)， 若其中某一焊點(diǎn)脫落，電路就不通現(xiàn)今回路不通，焊點(diǎn)脫落情況的可

3、能有（ ）a5 種 b6 種 c63 種d64 種7（5 分）隨機(jī)調(diào)查某校 50 個(gè)學(xué)生在學(xué)校的午餐費(fèi)，結(jié)果如表：餐費(fèi)（元） 人數(shù)610720820這 50 個(gè)學(xué)生的午餐費(fèi)的平均值和方差分別是（ ）a7.2，0.56 b7.2 ，c7，0.6 d7，8（5 分）一名老師和四名學(xué)生站成一排照相，學(xué)生請老師站在正中間，則不同 的站法為（ ）a4 種 b12 種c24 種d120 種9（5 分）把十進(jìn)制的 23 化成二進(jìn)制數(shù)是（ ）a00 110（2）b10 111（2）c10 1111（2）d11 101（2）10（5 分）某公司在 20122016 年的收入與支出情況如表所示：收入 x（億元）

4、2.2 支出 y（億元） 0.22.61.54.02.05.32.55.93.8根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為 =0.8x+ ，依次估計(jì)如果 2017 年該公司收入第 2 頁（共 23 頁）1 2 31 232為 7 億元時(shí)的支出為（ ）a4.5 億元 b4.4 億元 c4.3 億元 d4.2 億元11（5 分）如圖中，x ，x ，x 為某次考試三個(gè)評閱人對同一道題的獨(dú)立評分， p 為該題的最終得分當(dāng) x =6，x =9，p=8.5 時(shí)，x 等于（ ）a11 b10 c8 d712（5 分）甲、乙兩枚骰子先后各拋一次，a，b 分別表示拋擲甲、乙兩枚骰子 所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，當(dāng)點(diǎn) p（a，b）落在直線

5、 x+y=m（m 為常數(shù)）上的概率最大時(shí)， 則 m 的值為（ ）a6b5 c7 d8二、填空題（本大題共 4 小題，每題 5 分，滿分 20 分）13（5 分）某射擊教練評價(jià)一名運(yùn)動(dòng)員時(shí)說：“你射中的概率是 90%”你認(rèn)為下 面兩個(gè)解釋中能代表教練的觀點(diǎn)的為 1 該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了 100 次，恰有 90 次擊中目標(biāo)2 該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，中靶的機(jī)會是 90%14（5分）在數(shù)軸上 0 和 4 之間任取一個(gè)實(shí)數(shù) x，則使“l(fā)og x1”的概率為 15（5 分）張明與張華兩人做游戲，下列游戲中不公平的是 拋擲一枚均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則張明獲勝，向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)則張 華獲勝第 3 頁（共

6、23 頁）2 同時(shí)拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上則張明獲勝，兩枚都正面向上則張華獲 勝3 從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色的則張明獲勝，撲克牌是 黑色的則張華獲勝4 張明、張華兩人各寫一個(gè)數(shù)字 6 或 8，如果兩人寫的數(shù)字相同張明獲勝，否則 張華獲勝16（5 分）用數(shù)字 1、2、3、4、5 構(gòu)成數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)，要求數(shù)字 1，3 不 相鄰，數(shù)字 2、5 相鄰，則這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是 （用數(shù)字作答）三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演 算步驟.17（10 分）如圖，正方形 abcd 內(nèi)的圖形來自寶馬汽車車標(biāo)的里面部分，正方 形內(nèi)切圓中的黑色

7、部分和白色部分關(guān)于正方形對邊中點(diǎn)連線成軸對稱，在正方形 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，求此點(diǎn)取自黑色部分的概率18（12 分）為了選拔參加自行車比賽的選手，對自行車運(yùn)動(dòng)員甲、乙兩人在相 同條件下進(jìn)行了 6 次測試，測得他們的最大速度（單位：m/s）的數(shù)據(jù)如下：12273338293038373435283136（1） 畫出莖葉圖，由莖葉圖求出甲乙運(yùn)動(dòng)員的中位數(shù)；（2） 估計(jì)甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員的最大速度的平均數(shù)和方差，并判斷誰參加比賽更合 適19（12 分）關(guān)于圓周率 ，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名 的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì) 的值：先請 200 名同學(xué)，每人

8、隨機(jī)寫下一個(gè) x，y 都小于 1 的正實(shí)數(shù)對（x，y）； 再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與 1 構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對（x，y）的個(gè)數(shù) m；最后再根據(jù)統(tǒng)第 4 頁（共 23 頁）計(jì)數(shù) m 來估計(jì) 的值假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是 m=56，請計(jì)算此時(shí) 的估計(jì)值 20（12 分）某高校在 2012 年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取 100 名中學(xué)生的 筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如所示組號第 1 組第 2 組第 3 組第 4 組第 5 組合計(jì)分組 160 ，165） 165 ，170） 170 ，175） 175 ，180） 180 ，185）100頻數(shù)53020101.00頻率0.0500.3500.2000.10

9、0（1）請先求出頻率分布表中、位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖； （2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第 3、4、5 組中用 分層抽樣抽取 6 名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第 3、4、5 組每組各抽取多少名學(xué)生 進(jìn)入第二輪面試；（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在6 名學(xué)生中隨機(jī)抽取 2 名學(xué)生接受 a 考官進(jìn) 行面試，求：第 4 組至少有一名學(xué)生被考官 a 面試的概率21（12 分）如圖，在三棱錐 pabc 中，ac=bc=2，acb=90，側(cè)面 pab 為等 邊三角形，側(cè)棱 （1） 求證：平面 pab平面 abc；（2） 求二面角 bapc 的余弦值第 5 頁（共 23 頁

10、）222（12 分）已知拋物線 c：y =4x，點(diǎn) m（m，0）在 x 軸的正半軸上，過 m 點(diǎn) 的直線 l 與拋物線 c 相交于 a，b 兩點(diǎn)，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)（1） 若 m=1，且直線 l 的斜率為 1，求以 ab 為直徑的圓的方程；（2） 是否存在定點(diǎn) m ，使得不論直線 l：x=ky+m 繞點(diǎn) m 如何轉(zhuǎn)動(dòng)，恒為定值？第 6 頁（共 23 頁）20172018 學(xué)年黑龍江省牡丹江一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè) 選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意的）1（5 分）兩個(gè)整數(shù) 1908 和 4187

11、 的最大公約數(shù)是（ ）a53 b43 c51 d67【分析】先用 4187 除以 1908，求出余數(shù)；再用 1908 除以余數(shù)，得到余數(shù)；依 此類推，直到余數(shù)為 0，從而可得兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)【解答】解：4187=19082+371 ，1908=3715+53，371=537+0，兩個(gè)整數(shù) 1908 和 4187 的最大公約數(shù)是 53，故選：a【點(diǎn)評】本題考查輾轉(zhuǎn)相除法求解最大公約數(shù)，解題的關(guān)鍵是用較大的數(shù)字除以 較小的數(shù)字，得到商和余數(shù)，然后再用上一式中的除數(shù)和得到的余數(shù)中較大的除 以較小的，以此類推，當(dāng)整除時(shí)，就得到要求的最大公約數(shù)2（5 分）要從已編號（170）的 70 枚最新研制的某型

12、導(dǎo)彈中隨機(jī)抽取 7 枚來進(jìn)行發(fā)射試驗(yàn)，用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的7枚導(dǎo)彈的編號可能是（ ）a5，10，15，20，25，30，35 b3，13 ，23，33，43，53，63c1，2，3，4，5，6，7 d1，8，15，22 ，29，36 ，43【分析】根據(jù)條件求出樣本間隔是即可得到結(jié)論【解答】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義則編號間距為 707=10 ，則滿足條件是 3，13 ，23，33，43 ，53，63，故選：b【點(diǎn)評】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，根據(jù)條件求出樣本間隔是解決本題的關(guān)第 7 頁（共 23 頁）鍵3（5 分）下列各組事件中，不是互斥事件的是（ ）a 一個(gè)射手進(jìn)行

13、一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于 8 與命中環(huán)數(shù)小于 6b 統(tǒng)計(jì)一個(gè)班級數(shù)學(xué)期中考試成績，平均分?jǐn)?shù)不低于 90 分與平均分?jǐn)?shù)不高于 90 分c 播種菜籽 100 粒，發(fā)芽 90 粒與發(fā)芽 80 粒d 檢查某種產(chǎn)品，合格率高于 70%與合格率為 70%【分析】本題考查的是互斥事件的定義，由互斥事件的定義：如 ab 為不可能 事件（ab=），那么稱事件 a 與事件 b 互斥，其含義是：事件 a 與事件 b 在任 何一次試驗(yàn)中不會同時(shí)發(fā)生我們對四個(gè)答案逐一進(jìn)行分析，即可得到結(jié)論 【解答】解：a 中，一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于 8 與命中環(huán)數(shù)小于 6， 不可能同時(shí)發(fā)生，故 a 中兩事件為互斥事件b 中，

14、當(dāng)平均分等于 90 分時(shí)，兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，故 b 中兩事件不為互斥事件 c 中，播種菜籽 100 粒，發(fā)芽 90 粒與發(fā)芽 80 粒，不可能同時(shí)發(fā)生，故 c 中兩事 件為互斥事件d 中，檢查某種產(chǎn)品，合格率高于 70%與合格率為 70%，不可能同時(shí)發(fā)生，故 c 中兩事件為互斥事件故選：b【點(diǎn)評】概念分析題關(guān)鍵是要熟練掌握概念的核心，如本題中：如 ab 為不可 能事件（ab=），那么稱事件 a 與事件 b 互斥，其含義是：事件 a 與事件 b 在 任何一次試驗(yàn)中不會同時(shí)發(fā)生不能同時(shí)發(fā)生就是概念的核心4（5 分）=（ ）abcd【分析】根據(jù)排列數(shù)公式計(jì)算即可【解答】解：=第 8 頁（共 23 頁

15、）2 2 2 2 22 2 2 2 2=故選：d【點(diǎn)評】本題考查了排列數(shù)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題5（5 分）執(zhí)行如圖的程序框圖，那么輸出的 s 值是（ ）a54 b56 c90 d180【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變 量 s 的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案 【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得程序框圖的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出 變量 s=2 +3 +4 +5 +6 的值，s=2 +3 +4 +5 +6 =90故選：c【點(diǎn)評】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程， 以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題6（5

16、 分）某電子元件電路有一個(gè)由三節(jié)電阻串聯(lián)組成的回路，共有 6 個(gè)焊點(diǎn)，第 9 頁（共 23 頁）62222若其中某一焊點(diǎn)脫落，電路就不通現(xiàn)今回路不通，焊點(diǎn)脫落情況的可能有（ ）a5 種 b6 種 c63 種d64 種【分析】根據(jù)題意，首先分析回路的 6 個(gè)焊點(diǎn)，按其脫落與否的總共情況數(shù)目， 分析可得電路暢通時(shí)有一種情況，進(jìn)而可得，回路不通時(shí)的情況數(shù)目【解答】解：根據(jù)題意，這個(gè)回路中共 6 個(gè)焊點(diǎn)，按其脫落與否，共 222 222=2 =64 種情況，如果電路暢通，則每個(gè)焊點(diǎn)都不能脫落，有一種情況，現(xiàn)今回路不通，至少有一個(gè)焊點(diǎn)脫落，與電路暢通對立，故焊點(diǎn)脫落情況的可能有 64 1=63 種，故選

17、：c【點(diǎn)評】本題考查對立事件的意義與運(yùn)用，一般在其對立事件情況簡單便于分析 的情況下使用7（5 分）隨機(jī)調(diào)查某校 50 個(gè)學(xué)生在學(xué)校的午餐費(fèi)，結(jié)果如表：餐費(fèi)（元） 人數(shù)610720820這 50 個(gè)學(xué)生的午餐費(fèi)的平均值和方差分別是（ ）a7.2，0.56 b7.2 ，c7，0.6 d7，【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，求出它們的平均數(shù)和方差即可 【解答】解：根據(jù)題意，計(jì)算這 50 個(gè)學(xué)生午餐費(fèi)的平均值是=（610+720 +820）=7.2，方差是s =10（67.2） +20 （77.2） +20（87.2） =0.56故選：a【點(diǎn)評】本題考查了計(jì)算加權(quán)平均數(shù)和方差的問題，是基礎(chǔ)題8（5 分）一名

18、老師和四名學(xué)生站成一排照相，學(xué)生請老師站在正中間，則不同 的站法為（ ）a4 種 b12 種c24 種d120 種第 10 頁（共 23 頁）442【分析】根據(jù)題意，分 2 步進(jìn)行分析：、由于老師站在正中間，易得其站法數(shù) 目，、將四名學(xué)生全排列，安排在兩邊的4 個(gè)位置，由排列數(shù)公式可得學(xué)生的 站法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案【解答】解：根據(jù)題意，分 2 步進(jìn)行分析：1、 老師站在正中間，有 1 種情況，2、 將四名學(xué)生全排列，安排在兩邊的 4 個(gè)位置，有 a =24 種排法，則 5 人不同的站法有 124=24 種；故選：c【點(diǎn)評】本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意優(yōu)先分析受到限制的元素9（5

19、 分）把十進(jìn)制的 23 化成二進(jìn)制數(shù)是（ ）a00 110（2）b10 111（2）c10 1111（2）d11 101（2）【分析】利用“除 k 取余法”是將十進(jìn)制數(shù)除以 2，然后將商繼續(xù)除以 2，直到商 為 0，然后將依次所得的余數(shù)倒序排列即可得到答案【解答】解：232=111112=5152=2122=1012=01故 23（10）=10111（ ）故選：b【點(diǎn)評】 本題考查的知識點(diǎn)是十進(jìn)制與其它進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化，其中熟練掌握 “ 除 k 取余法”的方法步驟是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題10（5 分）某公司在 20122016 年的收入與支出情況如表所示：收入 x（億元） 2.2 支出 y（

20、億元） 0.22.61.54.02.05.32.55.93.8根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為 =0.8x+ ，依次估計(jì)如果 2017 年該公司收入 為 7 億元時(shí)的支出為（ ）第 11 頁（共 23 頁）1 2 31 23a4.5 億元 b4.4 億元 c4.3 億元 d4.2 億元【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算 、 以及回歸系數(shù)，寫出回歸方程，利用回歸方程計(jì)算 x=7 時(shí) 的值即可【解答】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算 = （2.2+2.6+4.0+5.3+5.9）=4 ，= （0.2+1.5+2.0 +2.5+3.8）=2， =20.84=1.2 ，回歸直線方程為 =0.8x 1.2，計(jì)算 x=7 時(shí)

21、 =0.8 71.2=4.4（億元），即 2017 年該公司收入為 7 億元時(shí)的支出為 4.4 億元故選：b【點(diǎn)評】本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題11（5 分）如圖中，x ，x ，x 為某次考試三個(gè)評閱人對同一道題的獨(dú)立評分， p 為該題的最終得分當(dāng) x =6，x =9，p=8.5 時(shí)，x 等于（ ）a11 b10 c8 d7【分析】利用給出的程序框圖，確定該題最后得分的計(jì)算方法，關(guān)鍵要讀懂該框第 12 頁（共 23 頁）1 21 233 1 23圖給出的循環(huán)結(jié)構(gòu)以及循環(huán)結(jié)構(gòu)內(nèi)嵌套的條件結(jié)構(gòu)，弄清三個(gè)分?jǐn)?shù)中差距小的兩 個(gè)分?jǐn)?shù)的平均分作為該題的最后得分【解答】解：根據(jù)提供的該算法的程

22、序框圖，該題的最后得分是三個(gè)分?jǐn)?shù)中差距 小的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的平均分根據(jù) x =6，x =9，不滿足|x x |2，故進(jìn)入循環(huán)體， 輸入 x ，判斷 x 與 x ，x 哪個(gè)數(shù)差距小，差距小的那兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為該題的最后得分因此由 8.5=，解出 x =8故選：c【點(diǎn)評】本題考查學(xué)生對算法基本邏輯結(jié)構(gòu)中的循環(huán)結(jié)構(gòu)和條結(jié)構(gòu)的認(rèn)識，考查 學(xué)生對賦值語句的理解和認(rèn)識，考查學(xué)生對程序框圖表示算法的理解和認(rèn)識能力， 考查學(xué)生的算法思想和簡單的計(jì)算問題12（5 分）甲、乙兩枚骰子先后各拋一次，a，b 分別表示拋擲甲、乙兩枚骰子 所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，當(dāng)點(diǎn) p（a，b）落在直線 x+y=m（m 為常數(shù)）上的概率最大時(shí)， 則

23、 m 的值為（ ）a6 b5 c7 d8【分析】基本事件總數(shù) n=6 6=36，當(dāng)點(diǎn) p（a，b）落在直線 x+y=m（m 為常數(shù)） 上，分別求出 m 取 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 時(shí)的概率，由此能出 當(dāng)點(diǎn) p（a，b）落在直線 x+y=m（m 為常數(shù)）上的概率最大時(shí)，則 m 的值 【解答】解：甲、乙兩枚骰子先后各拋一次， a，b 分別表示拋擲甲、乙兩枚骰 子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，基本事件總數(shù) n=6 6=36，當(dāng)點(diǎn) p（a，b）落在直線 x+y=m（m 為常數(shù)）上，m=2 的概率為，m=3 的概率為，m=4 的概率為，m=5 的概率為，m=6 的概率為，m=7 的概率為，m=

24、8 的概率為，m=9 的概率為，m=10 的概率為，m=11 的概率為，m=12 的概率為當(dāng)點(diǎn) p（a，b）落在直線 x+y=m（m 為常數(shù)）上的概率最大時(shí)，則 m 的值為 7 故選：c【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，第 13 頁（共 23 頁）22考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題二、填空題（本大題共 4 小題，每題 5 分，滿分 20 分）13（5 分）某射擊教練評價(jià)一名運(yùn)動(dòng)員時(shí)說：“你射中的概率是 90%”你認(rèn)為下 面兩個(gè)解釋中能代表教練的觀點(diǎn)的為 1 該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了 100 次，恰有 90 次擊中目標(biāo)2 該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，中靶的機(jī)會是 90%【分

25、析】利用概率的意義直接求解【解答】解：某射擊教練評價(jià)一名運(yùn)動(dòng)員時(shí)說：“你射中的概率是 90%” 能代表教練的觀點(diǎn)的為該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，中靶的機(jī)會是 90%故答案為：【點(diǎn)評】本題考查概率的意義，考查概率等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算 求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題14（5分）在數(shù)軸上 0 和 4 之間任取一個(gè)實(shí)數(shù) x，則使“l(fā)og x1”的概率為【分析】以長度為測度，根據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算即可【解答】解：由 log x1，得 0x2，區(qū)間長為 2，區(qū)間0，4的長度為 4，所以所求的概率為 p= = 故答案為： 【點(diǎn)評】本題主要考查了幾何概型的概率計(jì)算問題，也考

26、查了對數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用 問題15（5 分）張明與張華兩人做游戲，下列游戲中不公平的是 1 拋擲一枚均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則張明獲勝，向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)則張 華獲勝2 同時(shí)拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上則張明獲勝，兩枚都正面向上則張華獲 勝第 14 頁（共 23 頁）22223 從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色的則張明獲勝，撲克牌是 黑色的則張華獲勝4 張明、張華兩人各寫一個(gè)數(shù)字 6 或 8，如果兩人寫的數(shù)字相同張明獲勝，否則 張華獲勝【分析】分別求出在游戲中張明與張華兩人勝利的概率，由此能求出游戲中不公 平的游戲【解答】解：在中，拋擲一枚均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)和向上的點(diǎn)數(shù)

27、為 偶數(shù)的概率均為 ，故在中的游戲公平；在中，同時(shí)拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上的概率 p= ，兩枚都正面向上的概率 p= ，故在中的游戲不公平；在中，從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色與撲克牌是黑色的 概率均為 ，故在中的游戲公平；在中，張明、張華兩人各寫一個(gè)數(shù)字 6 或 8，如果兩人寫的數(shù)字相同的概率 p= ，故在中的游戲公平故答案為：【點(diǎn)評】本題考查不公平的游戲的判斷，考查概率的求法及應(yīng)用，考查古典概型 等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、是基礎(chǔ) 題16（5 分）用數(shù)字 1、2、3、4、5 構(gòu)成數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)，要求數(shù)字 1，3 不相鄰，數(shù)字 2

28、、5 相鄰，則這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是 24（用數(shù)字作答）【分析】根據(jù)題意，分 3 步進(jìn)行分析：、將 2、5 看成一個(gè)整體，考慮其順序， 、將這個(gè)整體與 4 全排列，分析可得排好后有 3 個(gè)空位，、在 3 個(gè)空位中任 選 2 個(gè)，安排 1、3 ，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案【解答】解：根據(jù)題意，分 3 步進(jìn)行分析：1、 將 2、5 看成一個(gè)整體，考慮其順序，有 a =2 種情況，2、 將這個(gè)整體與 4 全排列，有 a =2 種排法，排好后有 3 個(gè)空位，、在 3 個(gè)空位中任選 2 個(gè)，安排 1、3，有 a32=6 種情況，第 15 頁（共 23 頁）則符合條件的五位數(shù)有 226=24 個(gè)；故答案為：

29、24【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，注意常見排列組合問題的處理方法三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演 算步驟.17（10 分）如圖，正方形 abcd 內(nèi)的圖形來自寶馬汽車車標(biāo)的里面部分，正方 形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形對邊中點(diǎn)連線成軸對稱，在正方形 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，求此點(diǎn)取自黑色部分的概率【分析】根據(jù)題意知本題是幾何概型的計(jì)算問題，求出對應(yīng)區(qū)域的面積比即可 【解答】解：設(shè)正方形的邊長為 2a（a0），則黑色部分的面積為：，結(jié)合幾何概型的計(jì)算公式可得，滿足題意的概率值為： 【點(diǎn)評】本題考查了幾何概型的概率計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題18（12 分）為了

30、選拔參加自行車比賽的選手，對自行車運(yùn)動(dòng)員甲、乙兩人在相 同條件下進(jìn)行了 6 次測試，測得他們的最大速度（單位：m/s）的數(shù)據(jù)如下：12273338293038373435283136（1） 畫出莖葉圖，由莖葉圖求出甲乙運(yùn)動(dòng)員的中位數(shù)；（2） 估計(jì)甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員的最大速度的平均數(shù)和方差，并判斷誰參加比賽更合 適【分析】（1）作出莖葉圖，由莖葉圖能求出甲乙運(yùn)動(dòng)員的中位數(shù)第 16 頁（共 23 頁）（2）甲的平均數(shù)為：=33 ，乙的平均數(shù)為：=33，由此求出甲的方差和乙的方差，由甲、乙的平均數(shù)相等，乙的方差更小，則乙的發(fā)揮更穩(wěn)定，故乙參加比 賽更合適【解答】解：（1）莖葉圖如下：甲的中位數(shù)為：（2）

31、甲的平均數(shù)為：=33 ，乙的中位數(shù)為： =33.5=33 ，乙的平均數(shù)為：1 的方差為：2 的方差為：= （28+29+33 +34 +36+38）=33，甲、乙的平均數(shù)相等，乙的方差更小，則乙的發(fā)揮更穩(wěn)定，故乙參加比賽更合適【點(diǎn)評】本題考查莖葉圖的作法，考查中位數(shù)、平均數(shù)、方差的求法，考查莖葉 圖等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ) 題19（12 分）關(guān)于圓周率 ，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名 的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì) 的值：先請 200 名同學(xué)，每人隨機(jī)寫下一個(gè) x，y 都小于 1 的正實(shí)數(shù)對（x，y

32、）； 再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與 1 構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對（x，y）的個(gè)數(shù) m；最后再根據(jù)統(tǒng) 計(jì)數(shù) m 來估計(jì) 的值假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是 m=56，請計(jì)算此時(shí) 的估計(jì)值 【分析】由題意，根據(jù)古典概型與幾何概型的概率計(jì)算公式，計(jì)算所求的概率值，由此求出圓周率 的估計(jì)值【解答】解：由題意，200 對都小于 1 的正實(shí)數(shù)對（x，y），第 17 頁（共 23 頁）22滿足 ，面積為 1，兩個(gè)數(shù)能與 1 構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對（x，y），滿足 x+y1，且 ，區(qū)域面積為由已知，解得 【點(diǎn)評】本題考查了古典概型的概率與幾何概型的概率計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題20（12 分）某高校在 2012 年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取

33、100 名中學(xué)生的 筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如所示組號第 1 組第 2 組第 3 組第 4 組第 5 組合計(jì)分組 160 ，165） 165 ，170） 170 ，175） 175 ，180） 180 ，185）100頻數(shù)53020101.00頻率0.0500.3500.2000.100（1）請先求出頻率分布表中、位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖； （2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第 3、4、5 組中用 分層抽樣抽取 6 名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第 3、4、5 組每組各抽取多少名學(xué)生 進(jìn)入第二輪面試；（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在6 名學(xué)生中隨機(jī)抽取

34、 2 名學(xué)生接受 a 考官進(jìn) 行面試，求：第 4 組至少有一名學(xué)生被考官 a 面試的概率第 18 頁（共 23 頁）1 2 31 21【分析】（1）由頻率分布直方圖能求出第 2 組的頻數(shù)，第 3 組的頻率，從而完成 頻率分布直方圖（2）第 3、4、5 組共有 60 名學(xué)生，由此利用分層抽樣在 60 名學(xué)生中抽取 6 名 學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，能求出第 3、4、5 組分別抽取進(jìn)入第二輪面試的人數(shù) （3）設(shè)第 3 組的 3 位同學(xué)為 a ，a ，a ，第 4 組的 2 位同學(xué)為 b ，b ，第 5 組 的 1 位同學(xué)為 c ，利用列舉法能出從這六位同學(xué)中抽取兩位同學(xué)，第 4 組至少 有一名學(xué)生被考官

35、 a 面試的概率【解答】解：（1）由題可知，第 2 組的頻數(shù)為 0.35 100=35 人，第 3 組的頻率為=0.300，頻率分布直方圖如圖所示，（4 分）（2）因?yàn)榈?3、4、5 組共有 60 名學(xué)生，所以利用分層抽樣在 60 名學(xué)生中抽取 6 名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，每組抽取的人 數(shù)分別為：第 3 組：第 4 組：6=3 人，6=2 人，第 19 頁（共 23 頁）1 2 31 211 21 31 11 21 12 32 1222 13 13 23 11 21 12 11 21 11 22 12 23 13 21 2112 1第 5 組： 6=1 人，所以第 3、4、5 組分別抽取 3 人

36、、2 人、1 人進(jìn)入第二輪面試 （7 分） （3）設(shè)第 3 組的 3 位同學(xué)為 a ，a ，a ，第 4 組的 2 位同學(xué)為 b ，b ，第 5 組 的 1 位同學(xué)為 c ，則從這六位同學(xué)中抽取兩位同學(xué)有 15 種選法，分別為：（a ，a ），（a，a ），（a，b ），（a，b ），（a，c ），（a，a ），（a，b ），（a， b ），（a ，c ），（a ，b ），（a ，b ），（a ，c ），（b ，b ），（b ，c ），（b ，c ）， 其中第 4 組的 2 位同學(xué) b ，b 中至少有一位同學(xué)入選的有 9，分別為： （a ，b ），（a，b ），（a，b ），（a，b ），（a

37、，b ），（a，b ），（b，b ），（b， c ），（b ，c ），第 4 組至少有一名學(xué)生被考官 a 面試的概率為= （12 分）【點(diǎn)評】本題考查頻率分直方圖、分層抽樣的應(yīng)用，考查概率的求法，考查數(shù)據(jù) 處理能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題21（12 分）如圖，在三棱錐 pabc 中，ac=bc=2，acb=90，側(cè)面 pab 為等 邊三角形，側(cè)棱 （1） 求證：平面 pab平面 abc；（2） 求二面角 bapc 的余弦值【分析】（1）設(shè) ab 中點(diǎn)為 d，連結(jié) pd ，cd，推導(dǎo)出 pdab，cdab，pd cd從 而 pd 平面 abc，由此能證明平面 pab平面 abc（2）由 dc，db，dp 兩兩垂直以 d 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法 能求出二面角