函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、 函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用 摘要：本文著重從兩大方面論述了在數(shù)學(xué)解題中如何恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用函數(shù)思想：借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解決有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程、最大值和最小值、有關(guān)方程根存在性以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題；在問(wèn)題的研究中，通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的.關(guān)鍵詞：函數(shù)、求值、不等式、方程、最大值和最小值、存在性、取值范圍我們?cè)诮虒W(xué)的過(guò)程中會(huì)感覺(jué)到，學(xué)生會(huì)在不知不覺(jué)之中就能夠解答許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，也許他們叫不上所用的方法的名字，有時(shí)也不需要知道它的名字，很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在他們那很快屢出頭緒，得以解決他們的數(shù)學(xué)能力

2、增強(qiáng)了，這就是數(shù)學(xué)方法的魅力也是我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中要教給學(xué)生的最重要的內(nèi)容函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，函數(shù)知識(shí)貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，它一直是高考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)內(nèi)容函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題這種思想方法在于揭示問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)特征，重在對(duì)問(wèn)題的變量的動(dòng)態(tài)研究，從變量的運(yùn)動(dòng)變化，聯(lián)系和發(fā)展角度拓寬解題思路一般地，函數(shù)思想就是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、連續(xù)性、最大值和最小值、圖象變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造

3、出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵對(duì)所給的問(wèn)題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型 就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解決有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程、最大值和最小值、有關(guān)方程根存在性以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題讓我們來(lái)看下面的例題：例1設(shè)，為實(shí)數(shù)，滿足=，則 解：令，則為奇函數(shù)且在上為增函數(shù)，由=，則，故例2設(shè)函數(shù)，求使的的取值范圍解：由于是增函數(shù)，等價(jià)于 （1）當(dāng)時(shí)，=2，式恒成立（2）當(dāng)時(shí)，式化為，即（3）當(dāng)時(shí)，式無(wú)解綜上，的取值范圍是例3設(shè)都是正數(shù)，證明對(duì)任意的正整數(shù)，下面

4、的不等式成立：證明：下面的不等式對(duì)任意的都成立：，即構(gòu)造二次函數(shù)，得 注：本題是柯西不等式的一個(gè)特例，還有其他的證法，但惟有輔助函數(shù)法是最簡(jiǎn)捷、最透徹的證法例4討論的最值分析本題不能利用基本不等式作出解答“”，因?yàn)榈忍?hào)只能在時(shí)才能取到，而這是不可能的，可構(gòu)造函數(shù)試解本題解：顯然，設(shè)下面證明當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)當(dāng)，即是上的減函數(shù)是函數(shù)在上的最小值，又，即例5已知、為不全為0的實(shí)數(shù)，求證：方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根證明：若，則，此時(shí)方程的根為，滿足題意當(dāng)時(shí)，令（1）若，則，所以在內(nèi)有一實(shí)根（2）若，則，所以在內(nèi)有一實(shí)根例6若拋物線與連接兩點(diǎn)、的線段（包括、兩點(diǎn)）有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，求的取值范圍解：易知過(guò)點(diǎn)、的

5、直線方程為，而拋物線與線段有兩個(gè)交點(diǎn)就是方程，在區(qū)間上有兩個(gè)不等實(shí)根令，則解不等式組，得的范圍是 從以上的幾個(gè)例子，我們看到，在解題時(shí)要從各種復(fù)雜的函數(shù)中劃分出基本函數(shù)類，這些基本函數(shù)是最常見(jiàn)的、最有用的、最基本的函數(shù)，研究和總結(jié)基本函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其解題的模式（方法），然后把實(shí)際問(wèn)題或其他復(fù)雜函數(shù)化歸為基本函數(shù)來(lái)解決，這就是基本函數(shù)模型方法二是在問(wèn)題的研究中，通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的.讓我們來(lái)看下面的例題例7求使不等式對(duì)于的一切實(shí)數(shù)都成立的的取值范圍我們習(xí)慣上把當(dāng)作自變量，構(gòu)造函數(shù)，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，恒成立，

6、求的取值范圍.解決這個(gè)等價(jià)的問(wèn)題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程的區(qū)間根原理，可想而知，這是相當(dāng)復(fù)雜的.如果把看作自變量，視為參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，則是的一次函數(shù)，就非常簡(jiǎn)單.即令.函數(shù)的圖象是一條線段，要使恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)且，解這個(gè)不等式組即可求得的取值范圍是.本題看上去是一個(gè)不等式問(wèn)題，但是經(jīng)過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化，我們把它化歸為一個(gè)非常簡(jiǎn)單的一次函數(shù)，并借助于函數(shù)的圖象建立了一個(gè)關(guān)于x的不等式組來(lái)達(dá)到求解的目的.解：構(gòu)造函數(shù)，在上恒成立所求的取值范圍是本題看上去是一個(gè)不等式問(wèn)題，但是經(jīng)過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化，我們把它化歸為一個(gè)非常簡(jiǎn)單的一次函數(shù)，并借助于函數(shù)的圖象建立了一個(gè)關(guān)于的不等式組來(lái)達(dá)到求解的目的.這是利用變量相對(duì)

7、的觀點(diǎn)來(lái)構(gòu)造輔助函數(shù)的，從中可以看到數(shù)學(xué)的自由思考的特點(diǎn)在函數(shù)的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)中，要做到熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，充分理解各知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系，如數(shù)列中的、都可以看作是的函數(shù)而應(yīng)用函數(shù)思想以獲得新的解法看下面的例題：例8等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，（1）為何值時(shí)最大？為什么？（2）求證：解法一（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由且，可知，于是是的二次函數(shù)，可設(shè)，其中是拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)由且，得 當(dāng)時(shí)，解得且，這是不可能的，即知拋物線的開(kāi)口向下；且解，得，而，根據(jù)二次函數(shù)的最值性，得最大（2），即，根據(jù)二次函數(shù)的圖象，得解法二（1）根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，得：當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，最大（2），注：本例是利用一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)列問(wèn)題所給兩個(gè)解法，說(shuō)明此類等差數(shù)列問(wèn)題既可用二次函數(shù)求解，也可用一次函數(shù)求解哪個(gè)方法簡(jiǎn)捷，要由問(wèn)題的條件來(lái)分析建立函數(shù)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課題，因?yàn)楹瘮?shù)思