（推薦）第10章-誤差項(xiàng)自相關(guān)與異方差

1、第十章 誤差項(xiàng)自相關(guān)與異方差,第一節(jié) 誤差項(xiàng)自相關(guān)及其影響 第二節(jié) 誤差項(xiàng)自相關(guān)的檢驗(yàn) 第三節(jié) 誤差項(xiàng)自相關(guān)問(wèn)題的處理 第四節(jié) 時(shí)間序列中的異方差*,06.04.2021,第2頁(yè),學(xué)習(xí)本章后, 您應(yīng)該做到： 1.理解誤差項(xiàng)自相關(guān)的概念、產(chǎn)生的原因及其對(duì)回歸模型的估計(jì)產(chǎn)生的影響； 2.理解誤差項(xiàng)自相關(guān)的檢驗(yàn)方法和原理，能借助于EViews軟件對(duì)具體模型進(jìn)行檢驗(yàn)； 3.了解誤差項(xiàng)自相關(guān)問(wèn)題的補(bǔ)救方法，理解廣義差分法的原理，掌握EViews軟件的具體應(yīng)用操作； 4.了解時(shí)間序列數(shù)據(jù)中的異方差問(wèn)題； 5.理解ARCH模型的特點(diǎn)，掌握模型中ARCH效應(yīng)的檢驗(yàn)方法。,學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn) 理解誤差項(xiàng)自相關(guān)的概念

2、；掌握誤差項(xiàng)自相關(guān)的檢驗(yàn)方法和補(bǔ)救措施；理解時(shí)間序列模型的異方差的特殊性。,06.04.2021,第3頁(yè),由于時(shí)間序列數(shù)據(jù)按照觀測(cè)時(shí)間的先后排序，而對(duì)于變量采集其連續(xù)的觀測(cè)結(jié)果很可能表現(xiàn)出內(nèi)在的相關(guān)，當(dāng)采集頻率較高時(shí)尤其明顯。經(jīng)常關(guān)注股票市場(chǎng)或者外匯市場(chǎng)的人們都知道，短期內(nèi)接連的上漲或下跌是常見(jiàn)現(xiàn)象。,誤差項(xiàng)不存在自相關(guān)（序列相關(guān)）的假定在這種情況下經(jīng)常被發(fā)現(xiàn)是不合理的。在截面數(shù)據(jù)中，由于通常假定搜集的數(shù)據(jù)是在相同時(shí)間對(duì)某一總體中的個(gè)體進(jìn)行隨機(jī)抽樣獲得的，所以沒(méi)有理由認(rèn)為不同觀測(cè)值之間存在內(nèi)在的相關(guān)關(guān)系。因而誤差項(xiàng)自相關(guān)問(wèn)題主要存在于時(shí)間序列數(shù)據(jù)中。 截面數(shù)據(jù)中存在的異方差問(wèn)題在時(shí)間序列數(shù)據(jù)中

3、也有可能存在,而且還有某些特殊性。,06.04.2021,第4頁(yè),第一節(jié) 誤差項(xiàng)自相關(guān)及其影響,本章我們將研究時(shí)間序列數(shù)據(jù)模型中的自相關(guān)問(wèn)題。為了討論和理解方便，按照時(shí)間序列的習(xí)慣做法，我們用t（t=0,1，2）表示時(shí)間序列數(shù)據(jù)的不同的觀測(cè)點(diǎn)，稱之為“期”，將其作為隨機(jī)項(xiàng)或其它變量的下標(biāo)，如ut表示u在第t期所取的值， ut-1表示u在第t-1期所取的值，等等。,一、自相關(guān),在時(shí)間序列中，自相關(guān)(Autocorrelation)可以理解為按一定時(shí)間順序排列的觀測(cè)序列中各觀測(cè)值之間存在相關(guān)性。例如時(shí)間序列數(shù)據(jù)中 和 相關(guān)，則稱該序列存在j階自相關(guān)。 j=1時(shí)，稱之存在1階自相關(guān)，j=2時(shí)，則為存

4、在2階自相關(guān)。,06.04.2021,第5頁(yè),若違背這個(gè)假定， Cov(ut , us)0，即u在不同觀測(cè)點(diǎn)下的取值相關(guān)連，則稱隨機(jī)誤差項(xiàng)u存在序列相關(guān)（Series Correlation）或自相關(guān)（Autocorrelation） 。,在時(shí)間序列回歸中，經(jīng)典線性回歸模型的假定TS.5和TS. ，都假定隨機(jī)誤差項(xiàng)相互之間不存在序列自相關(guān)，即,Cov(ut , us)=0 (ts, t,s=1,2, ,n),自相關(guān)的程度用自相關(guān)系數(shù)表示。為了不與自回歸系數(shù) 混淆，本節(jié)用符號(hào) 表示自相關(guān)系數(shù)。,隨機(jī)誤差項(xiàng) 與滯后一期的 的自相關(guān)系數(shù)為,(10.2),06.04.2021,第6頁(yè),(10.2)式定

5、義的自相關(guān)系數(shù)與普通相關(guān)系數(shù)的公式形式相同， 的取值范圍為 。由于式中 ut-1是ut滯后一期的隨機(jī)誤差項(xiàng)，因此，將上式計(jì)算的自相關(guān)系數(shù) 稱為一階自相關(guān)系數(shù)。,根據(jù)自相關(guān)系數(shù)的符號(hào)可以判斷自相關(guān)的狀態(tài)，如果 0，則ut與ut-1為正相關(guān)；如果 =0，則ut與ut-1為不相關(guān)；,06.04.2021,第7頁(yè),二、自相關(guān)產(chǎn)生的原因,（一）解釋變量的遺漏或省略,自相關(guān)問(wèn)題是利用時(shí)間序列數(shù)據(jù)構(gòu)建結(jié)構(gòu)模型(因果關(guān)系模型)時(shí)面臨的主要問(wèn)題。自相關(guān)產(chǎn)生的原因很多，主要有：,如果模型中省略了某些應(yīng)該被包含到模型中的重要解釋變量，會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，這種誤差存在于隨機(jī)誤差項(xiàng)中，從而帶來(lái)了誤差項(xiàng)自相關(guān)。,06.04.

6、2021,第8頁(yè),這種由于設(shè)定誤差造成的自相關(guān)，在計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中經(jīng)?？赡馨l(fā)生。例如，本來(lái)應(yīng)該用兩個(gè)解釋變量去解釋y，即,(10.3),而建立模型時(shí)，模型設(shè)定為,(10.4),這樣， 的影響在便歸入到隨機(jī)誤差項(xiàng)ut中，由于x2t在不同觀測(cè)點(diǎn)上是相關(guān)的，就造成了ut是自相關(guān)的。,在自回歸模型中，由于隨機(jī)變量的動(dòng)態(tài)過(guò)程沒(méi)有被完整設(shè)定，也會(huì)導(dǎo)致誤差項(xiàng)序列相關(guān)。例如，“真實(shí)”的模型是AR(2):,06.04.2021,第9頁(yè),但我們?cè)O(shè)定的回歸方程是AR(1)：,顯然,由于時(shí)間序列 是AR(2)過(guò)程，所以，誤差項(xiàng)肯定表現(xiàn)為自相關(guān)。,更為普遍的是，在建立回歸模型時(shí)，總是要略去某些次要的解釋變量。如果略去的解

7、釋變量有一些存在自相關(guān)，它必然在隨機(jī)項(xiàng)中反映出來(lái)，從而使隨機(jī)項(xiàng)具有自相關(guān)性。,06.04.2021,第10頁(yè),（二）回歸模型函數(shù)形式設(shè)定錯(cuò)誤,若回歸模型所采用的數(shù)學(xué)形式與所研究問(wèn)題的真實(shí)關(guān)系不一致，隨機(jī)誤差項(xiàng)就可能存在自相關(guān)。例如某些商品的銷售量受季節(jié)的影響。設(shè)y代表銷售量，t 代表時(shí)間，則y與t的真實(shí)關(guān)系是周期函數(shù)形式。如果選用了線性函數(shù)形式，其周期項(xiàng)就并入了誤差項(xiàng)之中，誤差項(xiàng)在時(shí)間上是相關(guān)的。,（三）原始數(shù)據(jù)的處理變換,在實(shí)證分析中，所用數(shù)據(jù)有的是由原始數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)一定的變化處理得到的。 例如有些季度數(shù)據(jù)來(lái)自于月度數(shù)據(jù)的平均，有些年度數(shù)據(jù)是由季度數(shù)據(jù)或者月度數(shù)據(jù)計(jì)算得到的，這種處理可能會(huì)產(chǎn)生系

8、統(tǒng)性信息使誤差項(xiàng)產(chǎn)生自相關(guān)；,06.04.2021,第11頁(yè),有時(shí)數(shù)據(jù)來(lái)源于某種特殊假定前提下的推測(cè)，例如想要獲得我國(guó)第五次人口普查(2000年11月1日)與第六次人口普查(2010年11月1日)之間某年的人口數(shù)據(jù)，或者第六次人口普查(2010年11月1日)之后某年如2012年的人口數(shù)據(jù)，就需要運(yùn)用一些假定與技術(shù)進(jìn)行推測(cè)，這些技術(shù)會(huì)帶來(lái)原始數(shù)據(jù)所沒(méi)有的系統(tǒng)性信息導(dǎo)致自相關(guān)。,另外，建模過(guò)程中有時(shí)需要對(duì)原序列進(jìn)行變換，例如由水平形式變?yōu)橐浑A差分形式，原模型中使用原始數(shù)據(jù)誤差項(xiàng)不存在自相關(guān)，而差分變換后數(shù)據(jù)的誤差項(xiàng)就可能導(dǎo)致自相關(guān)的產(chǎn)生。,因?yàn)?，盡管,但,。,06.04.2021,第12頁(yè),（四）

9、 經(jīng)濟(jì)變量的慣性作用,大多數(shù)的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列都有一個(gè)明顯的特點(diǎn)，就是他們的慣性。由于經(jīng)濟(jì)變量的慣性，使得許多經(jīng)濟(jì)變量前后期總是相互關(guān)聯(lián)的。例如GDP、價(jià)格指數(shù)、生產(chǎn)、就業(yè)和失業(yè)等時(shí)間序列都呈現(xiàn)循環(huán)波動(dòng)。在經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇時(shí)，大多數(shù)的經(jīng)濟(jì)序列數(shù)據(jù)從經(jīng)濟(jì)衰退的最低點(diǎn)逐年開(kāi)始上升，這是由經(jīng)濟(jì)的內(nèi)在規(guī)律驅(qū)動(dòng)造成的。因此，在有關(guān)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的回歸中，連續(xù)的觀測(cè)值很可能是自相關(guān)的。,如果被解釋變量不同時(shí)期的取值是相關(guān)聯(lián)的，也就是現(xiàn)期的取值受上期或上幾期取值的影響，即存在自相關(guān)。由于被解釋變量與隨機(jī)項(xiàng)有相同的分布，被解釋變量的自相關(guān)必然意味著隨機(jī)項(xiàng)的自相關(guān)。,06.04.2021,第13頁(yè),（五）誤差項(xiàng)本身存在自相關(guān)

10、,在許多情況下，隨機(jī)因素(如洪水、瘟疫、戰(zhàn)爭(zhēng)、地震等)所產(chǎn)生的影響，常常持續(xù)很長(zhǎng)時(shí)間。例如，嚴(yán)重的偶發(fā)事件 (比如汶川地震、日本福島核泄漏等)不僅對(duì)當(dāng)年的生產(chǎn)、生活造成影響，而且也影響會(huì)持續(xù)到至少35年以后，這樣自然就導(dǎo)致了隨機(jī)誤差項(xiàng)的自相關(guān)，這種由偶發(fā)性事件引起的自相關(guān)也稱為“純粹自相關(guān)”。,06.04.2021,第14頁(yè),三、誤差項(xiàng)自相關(guān)對(duì)回歸的影響,如果模型中的隨機(jī)項(xiàng)存在自相關(guān)，仍然采用普通最小二乘法OLS，會(huì)有以下后果：,1. 斜率系數(shù) 依然是線性的和無(wú)偏的，即 。 因?yàn)閰?shù)OLSE的線性和無(wú)偏性不需要ut無(wú)自相關(guān)假定(假定TS.5和TS. )的支持。但OLSE有效性、漸進(jìn)有效性需要T

11、S.5和TS. 的支持，所以自相關(guān)情況下，OLSE不具備有效性和漸進(jìn)有效性，即不具有最小方差性。 這說(shuō)明，當(dāng)誤差項(xiàng)存在自相關(guān)時(shí)，OLSE不再是最佳線性無(wú)偏估計(jì)量(BLUE)。一般情況下，參數(shù)估計(jì)值的真實(shí)方差會(huì)被低估，即使大樣本與于事無(wú)補(bǔ)。,06.04.2021,第15頁(yè),用來(lái)估計(jì)隨機(jī)項(xiàng)的方差會(huì)嚴(yán)重低估真實(shí)的方差，進(jìn)而低估回歸參數(shù)的方差公式和標(biāo)準(zhǔn)差，從而過(guò)高估計(jì)t統(tǒng)計(jì)量的值，夸大所估計(jì)參數(shù)的顯著性，對(duì)本來(lái)不重要的解釋變量可能誤認(rèn)為重要而被保留。這時(shí)通常的回歸系統(tǒng)顯著性的t 檢驗(yàn)將失去意義。類似地，由于誤差項(xiàng)自相關(guān)，參數(shù)的OLSE是無(wú)效的，使得F檢驗(yàn)和 檢驗(yàn)不可靠。,最小二乘估計(jì)量的方差估計(jì)是有偏

12、的。,06.04.2021,第16頁(yè),模型預(yù)測(cè)的精度決定于抽樣誤差和總體誤差項(xiàng)的方差 。抽樣誤差來(lái)自于對(duì)估計(jì)量 的精度，在自相關(guān)情形下， 的方差的最小二乘估計(jì)變得不可靠，由此必定加大抽樣誤差。同時(shí)，在自相關(guān)情形下，對(duì) 的估計(jì) 也會(huì)不可靠。由此可看出，影響預(yù)測(cè)精度的兩大因素都因自相關(guān)的存在而加大不確定性，使預(yù)測(cè)的置信區(qū)間不可靠，從而降低了預(yù)測(cè)的精度。,3. 因變量的預(yù)測(cè)精度降低。,06.04.2021,第17頁(yè),第二節(jié) 誤差項(xiàng)自相關(guān)的檢驗(yàn),隨機(jī)誤差項(xiàng)自相關(guān)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)在于隨機(jī)誤差項(xiàng) 序列的前后數(shù)據(jù)具有相關(guān)性。但真實(shí)的 是無(wú)法觀測(cè)的，與橫截面數(shù)據(jù)的異方差分析類似，由于殘差 可看作 的估計(jì)值，我們可以

13、利用從OLS法中得到的樣本殘差序列 來(lái)判斷誤差項(xiàng)是否自相關(guān)問(wèn)題。 下面介紹幾種常用的自相關(guān)檢驗(yàn)方法。,一、圖示檢驗(yàn)法,根據(jù)給定的樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)用普通最小二乘法回歸后，求出殘差 (t=1, 2, ,n) 。然后可采用兩種繪圖方法。,06.04.2021,第18頁(yè),（一）繪制et、et-1的散點(diǎn)圖,做出 的散點(diǎn)圖如圖10-1。如果大部分散點(diǎn)落在、象限，如圖A所示。那么et和et-1就是正相關(guān)，這表明隨機(jī)項(xiàng) 存在正的自相關(guān)；如果大部分點(diǎn)落在、象限，如圖B所示，那么et和et-1就是負(fù)相關(guān)，這表明隨機(jī)項(xiàng) 存在負(fù)的自相關(guān)。,A 誤差項(xiàng)一階正自相關(guān),B 誤差項(xiàng)一階負(fù)自相關(guān),06.04.2021,第19頁(yè),（

14、二）按照時(shí)間順序繪制殘差et的圖形,做出et(t=1, 2, ,n)隨時(shí)間t變化的圖形。如果隨t的變化et并不存在明顯的規(guī)律性，則ut是非自相關(guān)的; 如果隨著t的變化et是幾個(gè)正的后面跟著幾個(gè)負(fù)的，呈現(xiàn)較長(zhǎng)周期的循環(huán)，則et(ut)之間存在正的自相關(guān)(圖A)； 如果隨著t的變化et不斷地改變符號(hào)，呈現(xiàn)鋸齒型，則判定et之間存在負(fù)自相關(guān)，表明ut存在負(fù)自相關(guān)（圖B）。,A 誤差項(xiàng)一階正自相關(guān),B 誤差項(xiàng)一階負(fù)自相關(guān),06.04.2021,第20頁(yè),二、解釋變量嚴(yán)格外生條件下，誤差項(xiàng)一階自相關(guān)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí)間序列回歸方程的解釋變量嚴(yán)格外生于誤差項(xiàng)時(shí)(類似 的方程顯然不符合要求)，如果總體回歸模型(PR

15、F)的隨機(jī)誤差項(xiàng) 之間存在一階自相關(guān)形式，可以寫(xiě)成如下的誤差項(xiàng)一階自回歸方程，記為AR(1)：,ut=ut-1+vt （10.5),其中，為自回歸系數(shù)，vt為滿足高斯馬爾科夫假定的隨機(jī)誤差項(xiàng)。,在大樣本條件下，可以通過(guò)檢驗(yàn)誤差項(xiàng)自回歸模型(10.5)的斜率系數(shù)是否為0，判斷誤差項(xiàng)是否存在自相關(guān)。一個(gè)自然而然的思路是回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。,06.04.2021,第21頁(yè),步驟如下：,1. 構(gòu)造樣本回歸方程,計(jì)算出殘差,2. 估計(jì)對(duì)應(yīng)于(10.5)的樣本回歸方程：,(10.6),(這個(gè)樣本回歸方程中也可以包括截距項(xiàng)，由此會(huì)對(duì) 的t統(tǒng)計(jì)量產(chǎn)生些許影響，但不影響其漸進(jìn)有效性),自回歸系數(shù) 的計(jì)算公式如

16、下：,由于,在大樣本情況下,06.04.2021,第22頁(yè),所以有,其中 是自相關(guān)系數(shù) 的樣本估計(jì)值。可以證明， 是總體一階自相關(guān)系數(shù) 的一致估計(jì)量?？梢?jiàn)，在大樣本條件下，一階自回歸系數(shù)大致等于一階自相關(guān)系數(shù)。,3.檢驗(yàn)回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)顯著性。,如果統(tǒng)計(jì)顯著，可以認(rèn)為隨機(jī)誤差項(xiàng)存在一階自相關(guān)。方法是：,第一步，建立假設(shè)：,第二步，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：,如果懷疑誤差項(xiàng)存在異方差可以使用對(duì)異方差穩(wěn)健的方差計(jì)算 。,06.04.2021,第23頁(yè),第三步，統(tǒng)計(jì)推斷。如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的絕對(duì)值大于給定顯著性水平(一般是0.05)下的t檢驗(yàn)臨界值，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為隨機(jī)誤差項(xiàng)存在一階自相關(guān)。,這種方法無(wú)法用于隔

17、期自相關(guān)的診斷，如季（月）度自相關(guān)(即 與 或 的自相關(guān))的診斷。,三、古典假定下，誤差項(xiàng)一階自相關(guān)的DW檢驗(yàn),德賓和沃森(J.Durbin, G.S.Watson, 1951)提出了一種適用于小樣本的檢驗(yàn)序列一階自相關(guān)的方法，被稱為DurbinWatson檢驗(yàn) (DW檢驗(yàn))。該方法的假定條件是：,06.04.2021,第24頁(yè),1.解釋變量x非隨機(jī)變量(固定回歸元)，且不含滯后被解釋變量，即自變量嚴(yán)格外生。 ； 2. 隨機(jī)誤差項(xiàng)ut為一階自回歸形式：ut=ut-1+vt , 其中，-11, 為自回歸系數(shù), vt 滿足所有高斯馬爾科夫假定。 3. 原回歸模型必須含截距項(xiàng)，即只適用于有常數(shù)項(xiàng)的回

18、歸模型； 4. 無(wú)數(shù)據(jù)缺失。 5. 假定誤差項(xiàng) vt服從正態(tài)分布。,06.04.2021,第25頁(yè),第一步，建立假設(shè)：,第二步，估計(jì)樣本回歸方程 ：,檢驗(yàn)步驟如下：,計(jì)算出殘差,第三步，定義DW統(tǒng)計(jì)量為,這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的分子是殘差的一階差分平方和，分母是殘差平方和。由 (10.7) 式可得,(10.7),06.04.2021,第26頁(yè),因?yàn)?，所以，0DW4。,(展開(kāi)DW統(tǒng)計(jì)量)：,隨著序列長(zhǎng)度增大,DW,所以,06.04.2021,第27頁(yè),也就是說(shuō)，DW值越接近于2，ut的自相關(guān)性越小；DW值越接近于零， ut 正自相關(guān)程度越高；DW值越接近于4， ut 負(fù)自相關(guān)程度越高。,二者對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：

19、,06.04.2021,第28頁(yè),第四步， DW統(tǒng)計(jì)量的使用,計(jì)算出來(lái)DW統(tǒng)計(jì)量的值，那么DW值到底在什么樣的情況下，可以判定 自相關(guān)呢？德賓和瓦特森根據(jù)樣本容量和解釋變量的數(shù)目，在給定顯著性水平下，建立了檢驗(yàn)的下臨界值 與上臨界值 (參見(jiàn)附表)。,06.04.2021,第29頁(yè), 當(dāng)DW(4 dL)時(shí),拒絕原假設(shè) H0:=0 ；接受備擇假設(shè)H1:0， ut 存在一階負(fù)自相關(guān)。 當(dāng)dUDW(4dU)時(shí),接受原假設(shè)H0:=0, ut不存在自相關(guān)。 當(dāng)dLDWdU 或 (4dU)DW(4dL)時(shí)，則這種檢驗(yàn)沒(méi)有結(jié)果，即ut是否存在自相關(guān)，不能確定。,DW檢驗(yàn)的準(zhǔn)則如下：,06.04.2021,第3

20、0頁(yè),DW檢驗(yàn)是檢驗(yàn)自相關(guān)的常用方法，許多計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件和統(tǒng)計(jì)軟件都提供DW值。但DW檢驗(yàn) 有其局限性：,DW檢驗(yàn)僅適用于一階自回歸。 DW檢驗(yàn)有著兩個(gè)不能確定的區(qū)域。一但DW值落在這兩個(gè)區(qū)域，就無(wú)法確定是否存在自相關(guān)。在這種情況下，只有通過(guò)增加樣本觀測(cè)值或選取其它的樣本，重新檢驗(yàn)或采用別的檢驗(yàn)方法。 DW檢驗(yàn)僅適用于自變量嚴(yán)格外生的回歸模型，如果模型某些自變量非嚴(yán)格外生，例如以滯后因變量作自變量，如： 即使ut存在自相關(guān)，DW值也經(jīng)常接近于2，DW檢驗(yàn)失效。,：,06.04.2021,第31頁(yè),德賓證明，在無(wú)自相關(guān)的假設(shè)下，h近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對(duì)其顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。這

21、個(gè)統(tǒng)計(jì)量的缺點(diǎn)是，它并不是總能夠計(jì)算出來(lái)，比如存在多個(gè)非嚴(yán)格外生變量時(shí)。,其中， 和 分別是模型中yt-1系數(shù)估計(jì)量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差,T是樣本容量（長(zhǎng)度）。,四、自變量非嚴(yán)格外生條件下，誤差項(xiàng)一階自相關(guān)檢驗(yàn),如前所述，DW檢驗(yàn)僅適用于自變量嚴(yán)格外生的回歸模型。如果模型中存在非嚴(yán)格外生的自變量，如,針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，德賓(J.Durbin,1970)設(shè)計(jì)了兩種應(yīng)對(duì)方法：,第一，使用調(diào)整的DW統(tǒng)計(jì)量，即德賓h統(tǒng)計(jì)量(Durbins h Statistic):,DW檢驗(yàn)失效。,06.04.2021,第32頁(yè),第二，一階自回歸方法。,這種方法可以應(yīng)用于含非嚴(yán)格外生自變量的回歸方程，而且對(duì)非嚴(yán)格外生自變量的個(gè)

22、數(shù)沒(méi)有限制，這是它優(yōu)于德賓h統(tǒng)計(jì)量之處。檢驗(yàn)步驟類似于自變量嚴(yán)格外生條件下，誤差項(xiàng)一階自相關(guān)檢驗(yàn)，都是在大樣本條件下，檢驗(yàn)誤差項(xiàng)自回歸模型(10.5)的斜率系數(shù) 是否為0。,步驟如下：,1. 構(gòu)造樣本回歸方程,計(jì)算出OLS殘差,2. 估計(jì)輔助回歸方程：,(10.8),與(10.6)相比，(10.8)中等號(hào)右邊增加了非嚴(yán)格外生的解釋變量。,06.04.2021,第33頁(yè),即允許 與 存在相關(guān)性，從而保證 在大樣本下，漸進(jìn)服從t分布。而(10.5)忽視了 與 的相關(guān)性問(wèn)題，所以在解釋變量非嚴(yán)格外生條件下無(wú)法使用。,3.利用常規(guī)的t檢驗(yàn)方法，檢驗(yàn)回歸系數(shù) 的統(tǒng)計(jì)顯著性。如果統(tǒng)計(jì)顯著(即拒絕 )，可以

23、認(rèn)為隨機(jī)誤差項(xiàng)存在一階自相關(guān)。,如果懷疑誤差項(xiàng)存在異方差可以使用對(duì)異方差穩(wěn)健的方差計(jì)算 。,06.04.2021,第34頁(yè),五、誤差項(xiàng)高階自相關(guān)的布殊-戈弗雷檢驗(yàn)（BG檢驗(yàn)）,上述幾種檢驗(yàn)方法均是對(duì)誤差項(xiàng)一階自相關(guān)的檢驗(yàn)。布殊(Breusch)和戈弗雷(Godfrey)將自變量非嚴(yán)格外生條件下的一階自相關(guān)檢驗(yàn)擴(kuò)展到高階自相關(guān)，使其適用于誤差項(xiàng)服從AR(p)或MA(q)的情況，被稱為布殊戈弗雷檢驗(yàn)（Breusch-Godfrey Test)，簡(jiǎn)稱BG檢驗(yàn)。,對(duì)于模型,設(shè)隨機(jī)誤差項(xiàng)存在p階自相關(guān)：,(vt滿足古典假定),檢驗(yàn)假設(shè)是,(不存在p階自相關(guān)),06.04.2021,第35頁(yè),BG檢驗(yàn)步驟

24、如下：,檢驗(yàn)假設(shè)是,1. 用OLS估計(jì)樣本回歸方程,2. 將 對(duì)解釋變量和殘差的滯后值 進(jìn)行回歸，估計(jì)輔助回歸方程：,(不存在p階自相關(guān)),計(jì)算出OLS殘差,如果確知某個(gè)(些)解釋變量嚴(yán)格外生，可以將其從等號(hào)后面省略掉。,06.04.2021,第36頁(yè),注意：實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可以從1階，2階逐次向高階檢驗(yàn)。EViews的殘差分析中有BG檢驗(yàn)的選項(xiàng)，所以使用也比較方便。,3.自相關(guān)檢驗(yàn)。 有兩種檢驗(yàn)方法，其一是對(duì)假設(shè) 作F檢驗(yàn)。,其二是計(jì)算這個(gè)輔助回歸模型的決定系數(shù) ，布羅施和戈弗雷證明了誤差項(xiàng)不存在p階自相關(guān)的原假設(shè)下（要求大樣本）， 漸進(jìn)服從 (其中的T為樣本容量)，從而可以對(duì)原假設(shè)進(jìn)行 檢驗(yàn)。

25、由于 檢驗(yàn)基于拉格朗日乘數(shù)原理，所以后一種方法也被稱為拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)（LM Test）。,06.04.2021,第37頁(yè),第三節(jié) 誤差項(xiàng)自相關(guān)問(wèn)題的處理,通過(guò)檢驗(yàn)，如果確定模型的隨機(jī)誤差項(xiàng) 存在自相關(guān)，就應(yīng)對(duì)產(chǎn)生自相關(guān)的原因進(jìn)行分析。 如果自相關(guān)是由于模型中省略某些解釋變量造成的,那么就應(yīng)根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論找出被省略的解釋變量，將它包含在模型之中。如果自相關(guān)是由于錯(cuò)誤地確定模型的函數(shù)形式造成的，比如說(shuō)本來(lái)是非線性關(guān)系而錯(cuò)誤地確定為線性關(guān)系，那么就應(yīng)該修正模型的函數(shù)形式。 若排除了上述造成自相關(guān)的原因之后，經(jīng)過(guò)自相關(guān)檢驗(yàn)，隨機(jī)項(xiàng) 仍存在自相關(guān)，則認(rèn)為存在“純粹”的自相關(guān)。,06.04.2021,第3

26、8頁(yè),前面已經(jīng)討論過(guò)誤差項(xiàng)自相關(guān)的后果，知道OLSE不再有效，就需要對(duì)自相關(guān)進(jìn)行修正。本節(jié)僅針對(duì)解釋變量嚴(yán)格外生條件下，誤差項(xiàng)存在一階自相關(guān)的情況討論補(bǔ)救方法。,一、 已知的廣義差分回歸,其中, ut具有一階自回歸形式:,ut=ut-1+vt vt滿足古典假設(shè),為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，仍以一元線性模型為例。設(shè)模型為,(10.9),如果(10.9)在t時(shí)刻成立，則在(t-1)時(shí)刻也成立，即,(10.10),06.04.2021,第39頁(yè),假設(shè)已知, 將乘以(10.10)式兩邊得：,(10.11),(10.9)減(10.11)，得：,(10.12),其中,作數(shù)據(jù)變換：,(10.13),(10.13)式的變換，

27、稱為廣義差分變換，或準(zhǔn)差分變換(Quasi-Differenced Transform)。,06.04.2021,第40頁(yè),在進(jìn)行廣義差分變換時(shí)，解釋變量x與被解釋變量y均以廣義差分形式出現(xiàn)，因而樣本容量由T減為T(mén)-1，即丟失了第一個(gè)觀測(cè)值。如果樣本容量較大，減少一個(gè)觀測(cè)值對(duì)估計(jì)結(jié)果影響不大。但是，如果樣本容量較小，則會(huì)對(duì)估計(jì)量的BLUE性質(zhì)產(chǎn)生不利影響。此時(shí)，可采用普萊斯-溫斯頓變換(Prais-Winsten Transform)，將第一個(gè)觀測(cè)值分別變換為,補(bǔ)充到差分序列 中，以補(bǔ)足期數(shù)。,06.04.2021,第41頁(yè),(10.14),經(jīng)過(guò)（10.13)的變換， （10.12)式變?yōu)?滿

28、足古典假定，對(duì)模型(10.14)使用OLS估計(jì)，可得到參數(shù)估計(jì)量 和 (進(jìn)而推出 )，從而得到關(guān)于(10.9)的樣本回歸方程 。,在(10.9) 增加更多解釋變量，情況大致相同。廣義差分回歸實(shí)際上是廣義最小二乘法(GLS)針對(duì)誤差項(xiàng)自相關(guān)應(yīng)用的一個(gè)例子。廣義差分回歸得到的估計(jì)量是BLUE，這種情況下得的的t、F統(tǒng)計(jì)量繼續(xù)生效(至少漸進(jìn)生效，如果 是正態(tài)變量，則完全生效)。,06.04.2021,第42頁(yè),二、 未知的廣義差分回歸,在解釋變量嚴(yán)格外生條件下，如果誤差項(xiàng)存在一階自相關(guān)，上述作為GLS的應(yīng)用的廣義差分回歸方法簡(jiǎn)單明了，方便操作，但事實(shí)上我們經(jīng)常無(wú)法知道 的值，致使這種方法難以實(shí)現(xiàn)。為

29、此我們借助于可行的廣義最小二乘法(FGLS)思路進(jìn)行處理。,步驟包括：,第一步，得到 的估計(jì)值 ；,第二步，比照(10.13)的方法，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行廣義差分變換，唯一的不同點(diǎn)是將(10.13)中的 改為第一步估計(jì)出來(lái)的 ；,第三步，對(duì)變換后的數(shù)據(jù)運(yùn)行OLS，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和顯著性檢驗(yàn)。,06.04.2021,第43頁(yè),可見(jiàn)，后面兩步與第一種方法完全相同，區(qū)別在于多了第一步，即如何得到一階自相關(guān)系數(shù) 的估計(jì)值 的方法。這樣得到的估計(jì)量實(shí)際上是一種可行的廣義最小二乘估計(jì)量（FGLSE）。,用 代替 的代價(jià)是，F(xiàn)GLSE失去了易于處理的有限樣本性質(zhì)。特別是，如果時(shí)間序列數(shù)據(jù)弱相關(guān)，F(xiàn)GLSE盡管具有一

30、致性，但不再無(wú)偏。而且由于存在 的估計(jì)誤差，t統(tǒng)計(jì)量和F統(tǒng)計(jì)量只是服從漸進(jìn)的t分布和F分布。尤其是在小樣本條件下，我們必須慎重使用這種方法。,未知時(shí)，估計(jì) 的方法很多，所以由此命名的廣義差分回歸的名稱有好幾種。下面介紹常用的幾種。,06.04.2021,第44頁(yè),（一）一階差分法,以一元模型為例,其中, ut為一階自回歸AR(1):,若模型存在完全一階正自相關(guān)，即=1，則上式變?yōu)椋?ut=ut-1+vt vt滿足高斯馬爾科夫假定,ut =ut-1 + vt,由于,故從 取值的一個(gè)極端開(kāi)始嘗試。,如果,稱之為一階差分法。,該方法是模型存在完全一階正自相關(guān)時(shí)消除自相關(guān)的一種簡(jiǎn)單有效方法。,(10.

31、15),06.04.2021,第45頁(yè),由于：,式(10.15)減去(10.17)，可得：,由于vt為滿足古典假定的誤差項(xiàng)，無(wú)自相關(guān)問(wèn)題。對(duì)上式使用OLS估計(jì)參數(shù)，可得到1最佳線性無(wú)偏估計(jì)量。,(10.17),(10.18),注意： 1.嚴(yán)格講，一階差分法只有 時(shí)才能成立，而實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中完全一階正自相關(guān)并不多見(jiàn)。經(jīng)驗(yàn)表明，只要是正的且比較大或DW值很低時(shí)， 一階差分法往往是有效的。,06.04.2021,第46頁(yè),2. 一階差分法得到的回歸方程中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，需要通過(guò) 進(jìn)行推算，然后才能得到對(duì)應(yīng)原模型的樣本回歸方程：,另外， 一階差分法在消除一階自相關(guān)的同時(shí)，還有一個(gè)“意外”的好處，即消除變量

32、可能存在的隨機(jī)趨勢(shì)或高度持久性(參見(jiàn)第八章)。,06.04.2021,第47頁(yè),第一步，由廣義差分變換后的模型(10.12)移項(xiàng)可得,則(10.19)可寫(xiě)作:,(10.19),(10.20),對(duì)上式進(jìn)行OLS估計(jì)，求得的估計(jì)值 ,它是的一個(gè)有偏、一致估計(jì) 。,(二) 德賓(Durbin)兩步法,這是一個(gè)參數(shù)非線性的模型。令,06.04.2021,第48頁(yè),第二步，用 對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行廣義差分變換，即：,應(yīng)用OLS，求得a0, 1的估計(jì)值 ，進(jìn)而得到：,得：,06.04.2021,第49頁(yè),（三）基于DW統(tǒng)計(jì)量的估計(jì),在DW檢驗(yàn)中，我們推導(dǎo)得到過(guò)DW統(tǒng)計(jì)量與 之間的關(guān)系,這樣可以把 作為 的估計(jì)值。,

33、因而,06.04.2021,第50頁(yè),（四）基于殘差的回歸估計(jì),因?yàn)闅埐?可以看作是誤差項(xiàng) 的估計(jì)，所以若,ut=ut-1+vt 成立,一個(gè)估計(jì) 的簡(jiǎn)單方法就是做如下回歸，得到 ：,殘差 是從原模型(10.15)的回歸中得到的。因?yàn)镺LS估計(jì)的殘差總和為零 （ ），所以(10.21)中沒(méi)有引入截距項(xiàng)。,(10.21),06.04.2021,第51頁(yè),（五）科克倫-奧克特迭代法 (Cochrane-Orcutt Itetative Procedure),用 代替 進(jìn)行廣義差分變換，會(huì)存在兩個(gè)問(wèn)題。其一，所得參數(shù)估計(jì)值的精確度依賴于 的精確度； 其二，廣義差分變換后模型的誤差項(xiàng)有可能仍存在自相關(guān)。

34、,這就需要進(jìn)一步提高 估計(jì)的精確度，以達(dá)到進(jìn)一步消除自相關(guān)的目的。于是引入迭代方法很有必要。,上面討論的所有估計(jì) 的方法都只提供了 的一個(gè)估計(jì)值，但迭代法可多次估計(jì)出 來(lái)，從 的某個(gè)初始值開(kāi)始，反復(fù)估計(jì) 的值，逐次逼近，通過(guò)迭代過(guò)程改進(jìn) 的估計(jì)精度，從而降低變換后的模型中誤差項(xiàng)自相關(guān)的程度。我們這里介紹其中廣為流行的科克倫-奧克特迭代法(Cochrane-Orcutt Iterative Procedure)。,06.04.2021,第52頁(yè),(1)采用OLS法估計(jì)原模型 （10.15） , 計(jì)算殘差et .,(2)對(duì)(10.21)用最小二乘法做回歸，得到 的估計(jì)值 ：,對(duì)廣義差分?jǐn)?shù)據(jù) ， 進(jìn)

35、行OLS回歸；,以誤差項(xiàng)存在一階自相關(guān)為例，科克倫-奧克特迭代法具體步驟如下：,(3) 利用 進(jìn)行廣義差分變換：,(所缺的第1期數(shù)據(jù)可以采用普萊斯-溫斯頓變換補(bǔ)齊),06.04.2021,第53頁(yè),(4)利用上述估計(jì)結(jié)果，重新計(jì)算殘差et，回到步驟(2),重復(fù)各步驟。 這一過(guò)程直到前后兩步估計(jì)的 值相差很小(滿足精度要求)，或回歸所得DW統(tǒng)計(jì)量說(shuō)明已不存在自相關(guān)時(shí)為止。,通常，宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)一般經(jīng)過(guò)兩次迭代就能得到有較高精度的 。從理論上講，迭代多次的參數(shù)估計(jì)量 和 與只進(jìn)行一次迭代的參數(shù)估計(jì)量具有相同的大樣本性質(zhì)。 很難說(shuō)多進(jìn)行一次迭代就一定更好一些，盡管有些情況下確實(shí)如此。,06.04.20

36、21,第54頁(yè),三、非線性回歸方法,這是一個(gè)參數(shù)非線性的模型。可以通過(guò)高斯牛頓迭代法(Gauss-Newton Iterative method)， 通過(guò)數(shù)值計(jì)算直接得到參數(shù)的估計(jì)值 。借助軟件，這種方法方便易行。如在EViews中，可以通過(guò)在回歸方程中添加變量AR(1)來(lái)進(jìn)實(shí)現(xiàn)。,如果誤差項(xiàng)存在一階自相關(guān)，由（10.12)移項(xiàng)可得廣義差分變換后的模型(10.19),06.04.2021,第55頁(yè),四、尼威-威斯特(Newey-West)方法,尼威和威斯特(Newey &West，1987) 對(duì)誤差項(xiàng)自相關(guān)問(wèn)題提出了一個(gè)修正參數(shù)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤的方法，稱為尼威-威斯特(Newey-West)方法。

37、該方法在仍用OLS估計(jì)模型參數(shù)，但引入一個(gè)對(duì)自相關(guān)(和異方差)穩(wěn)健的方差估計(jì)量，對(duì)OLSE的標(biāo)準(zhǔn)誤進(jìn)行修正，得到所謂的序列相關(guān)穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤(Serial Correlation - Robust Standard Errors)，或稱為尼威-威斯特異方差和自相關(guān)一致性標(biāo)準(zhǔn)誤(Newey-West Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Standard Errors )，以取代常規(guī)的OLS標(biāo)準(zhǔn)誤，用于回歸系數(shù)t統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算。,其計(jì)算公式比較繁瑣，一般計(jì)量軟件會(huì)自動(dòng)給出備選，此處不展開(kāi)介紹。,06.04.2021,第56頁(yè),使用序列相關(guān)穩(wěn)

38、健標(biāo)準(zhǔn)誤不會(huì)改變參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，只改變參數(shù)的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差，以解決利用OLS方法計(jì)算參數(shù)估計(jì)量方差的有偏性問(wèn)題。在不知道自相關(guān)的具體形式時(shí)，尤其是誤差項(xiàng)同時(shí)具有異方差時(shí)，這是一種比較好的選擇。,五、案例分析,例10-1 2003年中國(guó)農(nóng)村人口占59.47，而消費(fèi)總量卻只占41.4%，農(nóng)村居民的收入和消費(fèi)是一個(gè)值得研究的問(wèn)題。消費(fèi)模型是研究居民消費(fèi)行為的常用工具。通過(guò)中國(guó)農(nóng)村居民消費(fèi)模型的分析可判斷農(nóng)村居民的邊際消費(fèi)傾向，這是宏觀經(jīng)濟(jì)分析的重要參數(shù)。同時(shí)，農(nóng)村居民消費(fèi)模型也能用于農(nóng)村居民消費(fèi)水平的預(yù)測(cè)。,06.04.2021,第57頁(yè),影響農(nóng)村居民消費(fèi)的因素很多，但由于受各種條件的限制，通常只引入農(nóng)村

39、居民收入一個(gè)變量做解釋變量，即消費(fèi)模型設(shè)定為 式中，y為農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出，x為農(nóng)村人均居民純收入，u為隨機(jī)誤差項(xiàng)。表10-2是從中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒收集的中國(guó)農(nóng)村居民1985-2003年的收入與消費(fèi)數(shù)據(jù)。,試?yán)帽?0-2數(shù)據(jù)建立農(nóng)村居民消費(fèi)收入模型；檢驗(yàn)誤差項(xiàng)序列相關(guān)；采取措施消除序列相關(guān)對(duì)模型的影響。,06.04.2021,第58頁(yè),表10-2 1985-2003年農(nóng)村居民人均收入和消費(fèi)（單位： 元）,06.04.2021,第59頁(yè),(一)建立模型,為了消除價(jià)格變動(dòng)因素對(duì)農(nóng)村居民收入和消費(fèi)支出的影響，不宜直接采用現(xiàn)價(jià)人均純收入和現(xiàn)價(jià)人均消費(fèi)支出的數(shù)據(jù)，而需要用經(jīng)消費(fèi)價(jià)格指數(shù)進(jìn)行調(diào)整后的1985

40、年可比價(jià)格計(jì)的人均純收入和人均消費(fèi)支出的數(shù)據(jù)作回歸分析。,根據(jù)表10-2中調(diào)整后的1985年可比價(jià)格計(jì)的人均純收入x和人均消費(fèi)支出y的數(shù)據(jù)，使用普通最小二乘法估計(jì)消費(fèi)模型得(具體見(jiàn)Eviews分析結(jié)果）,該回歸方程樣本決定系數(shù)較高，回歸系數(shù)均顯著。,06.04.2021,第60頁(yè),(二)自相關(guān)檢驗(yàn),1.DW檢驗(yàn)與圖示法,本例樣本量,解釋變量個(gè)數(shù)k1，按照顯著性水平0.05，查DW臨界值表可知，dL=1.18，dU= 1.401，從分析結(jié)果知， DW0.77dL，顯然消費(fèi)模型中存在誤差項(xiàng)自相關(guān)問(wèn)題。這一點(diǎn)從殘差時(shí)序圖中也可從看出(圖10-4)。,殘差圖中，殘差的變動(dòng)有一定的規(guī)律，連續(xù)為正和連續(xù)為

41、負(fù)，表明殘差項(xiàng)存在一階正自相關(guān)，模型中t統(tǒng)計(jì)量和F統(tǒng)計(jì)量的結(jié)論不可信，需采取補(bǔ)救措施。,06.04.2021,第61頁(yè),2. BG檢驗(yàn),在用EViews對(duì)所建模型回歸得到的Equation主題窗口，點(diǎn)擊菜單view/Residual Tests,在下拉菜單中選擇Serial Correlation LM Test,如圖10-5所示。,彈出需輸入要檢驗(yàn)的自相關(guān)階數(shù)對(duì)話框，我們?cè)O(shè)定為1，即進(jìn)行誤差項(xiàng)一階自相關(guān)檢驗(yàn)?？傻玫紹G檢驗(yàn)結(jié)果如下：,結(jié)果中，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量、LM統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的相伴概率分別為0.0388和0.0326，說(shuō)明在0.05的顯著性水平下,可以認(rèn)為回歸方程的殘差序列存在一階自相關(guān)。,06.04

42、.2021,第62頁(yè),(三)自相關(guān)的處理,1.廣義差分法,由模型的OLS估計(jì)可得殘差序列et，在EViews中，每次回歸的殘差存放在resid序列中，為了對(duì)殘差進(jìn)行回歸分析，需生成命名為e的殘差序列。 在主菜單選擇Quick/Generate Series或點(diǎn)擊工作文件窗口工具欄中的Procs/ Generate Series，在彈出的對(duì)話框中輸入“e= resid”，點(diǎn)擊OK得到殘差序列et。使用et進(jìn)行滯后一期的自回歸，在EViews命今欄中輸入“l(fā)s e e (-1)”可得回歸方程,可知,06.04.2021,第63頁(yè),對(duì)原模型進(jìn)行廣義差分，得到廣義差分方程,對(duì)廣義差分方程(10.24)進(jìn)行回歸，在EViews運(yùn)行命令“l(fā)s y-0.4960*y (-1) c x-0.4960*x (-1)”，可得回歸方程為：,由于使用了廣義差分?jǐn)?shù)據(jù)，樣本容量減少了1個(gè)，為18個(gè)。,解釋變量個(gè)數(shù)k1，按照顯著性水平0.05，查DW臨界值表可知，dL=1.16，dU= 1.39，從分析結(jié)果知，4- dU DW1.3979dU ，說(shuō)明廣義差分模型中已無(wú)自相關(guān)，不必再進(jìn)行迭代。同時(shí)可見(jiàn)，樣本決定系數(shù)R2、t、F統(tǒng)計(jì)量也均達(dá)到理想水平。,(10.25),06.04.2021,第64頁(yè),對(duì)比模型(10.23)和(10.25)，很明顯普通最小二乘法低估了回歸系數(shù)