藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點(diǎn)58 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

1、22 22 2考點(diǎn)五十八數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 知識(shí)梳理1復(fù)數(shù)的概念(1) 虛數(shù)單位 ii 是虛數(shù)單位，滿足 i 1；i 和實(shí)數(shù)在一起進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)原有的加法、 乘法運(yùn)算律仍然成立(2) 復(fù)數(shù)的概念形如 abi(a，br)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中 a，b 分別是它的實(shí)部和虛部若 b0，則 abi 為 實(shí)數(shù)；若 b0，則 abi 為虛數(shù)；若 a0 且 b0，則 abi 為純虛數(shù)把復(fù)數(shù)表示為 a bi(a，br)的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式(3) 復(fù)數(shù)相等abicdiac 且 bd(a，b，c，dr)(4) 共軛復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，即abi 與 cdi 共軛ac

2、，bd(a，b，c，dr)(5) 復(fù)數(shù)的模設(shè)復(fù)數(shù) zabi(a、br)，z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 z，則向量oz的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù) z 的模(或 絕對(duì)值)，記作|z |或|abi|，即|z|abi| a b 2復(fù)平面從復(fù)數(shù)的定義可以知道，任何一個(gè)復(fù)數(shù) zabi(a，br)都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b) 唯一確定，這樣我們可以用建立了直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)當(dāng)用直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn) 來(lái)表示復(fù)數(shù)時(shí)，我們稱這個(gè)直角坐標(biāo)平面為復(fù)平面，x 軸稱為實(shí)軸，y 軸稱為虛軸實(shí)軸上 的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，除了原點(diǎn)，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)在復(fù)平面內(nèi)，表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的 點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱3復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間有一一對(duì)

3、應(yīng)的關(guān)系，復(fù)數(shù)的模表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離(1) 復(fù)數(shù) zabi(2) 復(fù)數(shù) zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) z(a，b)(a，br) 平面向量oz.(3)復(fù)數(shù) zabi 的模或絕對(duì)值：|z | a b . 4復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè) z abi，z cdi (a，b，c，dr)，則 1 2122 2 2224n4n 14n 24n 3 *4n 4n 1 4n 2 4n3* 222 22 2222加法：z z (abi)(cdi)(ac)(bd)i；1 2減法：z z (abi)(cdi)(ac)(bd)i；1 2乘法：z z (abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；

4、1 2z abi (abi)(cdi)除法： z cdi (cdi)(cdi)acbd bcad i(cdi0)c d c d(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何 z 、z 、z c，有1 2 3z z z z ，(z z )z z (z z )1 2 2 1 1 2 3 1 2 35復(fù)數(shù)的運(yùn)算常用結(jié)論1i 1i(1)(1i) 2i； i； i；1i 1i(2)baii(abi)；(3)i 1，i i，i 1，ii，nn ；(4)i i i i 0，nn .1 3(5)設(shè) i，則|1；1 0； .6復(fù)數(shù)的幾點(diǎn)注意事項(xiàng)(1) 兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小(2) 利用復(fù)數(shù)相等 a

5、bicdi 列方程時(shí)，注意 a，b，c，dr 的前提條件(3) 注意不能把實(shí)數(shù)集中的所有運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來(lái)例如，若 z ，z c，1 2z z 0，就不能推出 z z 0；z 0 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立1 2 1 27數(shù)系的發(fā)展自然數(shù)集 n、整數(shù)集 z、有理數(shù)集 q、實(shí)數(shù)集 r 以及復(fù)數(shù)集 c 之間關(guān)系為 n z q r c典例剖析題型一 復(fù)數(shù)的概念例 1 (1) 復(fù)數(shù) z 2i 的共軛復(fù)數(shù)為_(kāi)(2)設(shè) xr，則“x1”是“復(fù)數(shù) z(x 1)(x1)i 為純虛數(shù)”的_充分不必要條件 必要不充分條件 充分必要條件 既不充分也不必要條件 答案 (1) 2i (2) 解析 (1) z

6、 2i，z 2i.x10，(2)由純虛數(shù)的定義知：x10，x1，選.22 2222變式訓(xùn)練 (1)已知 i 為虛數(shù)單位，ar，若(a1)(a1i)是純虛數(shù)，則 a 的值為_(kāi) 1(2) 設(shè) z i，則|z|_1i答案 (1) 1 (2)22解析a10(1)(a1)(a1i)(a 1)(a1)i 是純虛數(shù)， ，a1.a101 1i 1 1(2) z i i i，|z |1i 2 2 21 2 1 2 2 .2解題要點(diǎn) 1.處理有關(guān)復(fù)數(shù)的基本概念問(wèn)題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，從定義出發(fā)， 把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)處理復(fù)數(shù)問(wèn)題的實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的最基本也是最重要 的方法，其依據(jù)是復(fù)數(shù)相等的充

7、要條件和復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算及性質(zhì)2. 解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為 abi(a，br)的形式，以確定實(shí)部和虛部題型二 復(fù)數(shù)的幾何意義2i例 2 （2015 安徽理）設(shè) i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第_象限.1i答案 第二象限解析2i 2i(1i) 2i(i1) 1i，由復(fù)數(shù)的幾何意義知1i 在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng) 1i (1i)(1i) 2點(diǎn)為(1,1)，該點(diǎn)位于第二象限.變式訓(xùn)練 設(shè)復(fù)數(shù) z ，z 在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z 2i，則 z z _1 2 1 1 2答案 5解析 z 2i 在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，1)，又 z 與 z 在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于 1 1 2虛

8、軸對(duì)稱，則 z 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，1)，即 z 2i，z z (2i)(2i)i 42 2 1 25.解題要點(diǎn) 1.復(fù)數(shù) z、復(fù)平面上的點(diǎn) z 及向量oz相互聯(lián)系，即 zabi(a，br)z(a，b)oz.2.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在 一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀題型三 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算例 3 （2015 山東理）若復(fù)數(shù) z 滿足zi，其中 i 為虛數(shù)單位，則 z_ 1i答案 1iz解析 i， z i(1i)ii 1i，z1i. 1i2222607607 4 151 3 3 607415260822變式訓(xùn)練 （2

9、015 安徽文）設(shè) i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1i)(12i)等于_答案 3i解析 (1i)(12i)12ii2i 1i23i.解題要點(diǎn) 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加法、減法、乘法、除法，1. 復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類(lèi)似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位 i 的看作一類(lèi)同類(lèi) 項(xiàng)，不含 i 的看作另一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，分別合并即可2. 復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把 i 的冪寫(xiě)成 最簡(jiǎn)形式除法實(shí)際上是分母實(shí)數(shù)化的過(guò)程當(dāng)堂練習(xí)1z1（2015 新課標(biāo)理）設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 i，則|z|_1z答案 11z 1i解析 由 i，得 1zizi，z i，|z |i|1.1 z 1i

10、2 （2015 廣東文）已知 i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1i) 等于_答案 2i解析 (1i) 12ii 12i12i.3. （2015 湖北文）i 為虛數(shù)單位，i 等于_答案 i解析 方法一 i i i i.方法二 ii i 1 i. i i i4（2015 北京文）復(fù)數(shù) i(1i)的實(shí)部為_(kāi)答案 1解析 i(1i)ii 1i，實(shí)部為1，15（2015 四川文）設(shè) i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) i _.i答案 2i1 i解析 i i ii2i.i i課后作業(yè)一、 填空題1（2015 福建文）若(1i)(23i)abi(a，br，i 是虛數(shù)單位)，則 a，b 的值分別等 于_222607607 4 1

11、51 3 3 6074152608答案 3，2解析 (1i)(23i)32iabi，a3，b2.2ai2（2015 新課標(biāo) ii 文）若 a 為實(shí)數(shù)，且 3i，則 a 等于_1i答案 42ai解析 由 3i，得 2ai(3i)(1i)24i，即 ai4i，因?yàn)?a 為實(shí)數(shù)， 1i所以 a4.(1i)3（2015 湖南文）已知 1i(i 為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù) z 等于_z答案 1i(1i) (1i) 2i解析 由 1i 知，z 1i.z 1i 1i4（2015 湖北理）i 為虛數(shù)單位，i 的共軛復(fù)數(shù)為_(kāi)答案 i解析 方法一 i i i i，其共軛復(fù)數(shù)為 i.方法二 ii i 1 i，其共軛復(fù)數(shù)為

12、 i. i i i5（2015 廣東理）若復(fù)數(shù) zi(32i)(i 是虛數(shù)單位)，則 z 等于_ 答案 323i解析 因?yàn)?zi(32i)23i，所以 z 23i.1i6(2014 湖北)i 為虛數(shù)單位， 1i答案 12_1i 解析 1i22i 1.2i7(2014 遼寧)設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足(z2i)(2i)5，則 z_答案 23i5 5(2i)解析 利用方程思想求解復(fù)數(shù)并化簡(jiǎn)由(z2i)(2i)5，得 z2i 2i2i (2i)(2i)2i2i23i.z8(2014 安徽理)設(shè) i 是虛數(shù)單位， z 表示復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)若 z1i，則 i z i_答案 2z解析 先根據(jù) z 求出 z 及

13、，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解i22222222222222z 1i i iz1i， z 1i， 1i.i i iz i z 1ii(1i)(1i)(1i)2.i9（2015 江蘇）設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 z 34i(i 是虛數(shù)單位)，則 z 的模為_(kāi)答案5解析 z 34i，|z| |34i|5，即|z | 5.10 （2015 重慶文）復(fù)數(shù)(12i)i 的實(shí)部為_(kāi)答案 2解析 (12i)ii2i 2i，其實(shí)部為2.11（2015 天津理）i 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(12i)(ai)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的值為_(kāi) 答案 2解析 (12i)(ai)a2(12a)i，由已知，得 a20,12a0，a2.二、解答題12計(jì)算：1i 1i(1) ；(1